1、 1 安徽省太和县 2016-2017 学年高二数学上学期竞赛试题（实验班） 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D锐角三角形 2. 抛物线 24xy? 的准线方程是 ( ) A. 1x? B. 116x? C. 116x? D. 1x? 3. 已知向量 (2, ), (1, 2)a m b? ? ?，若 2 2( 2 )a a b b m? ? ? ?，则实数 m 等于（ ） A.21 B
2、.25 C. 45 D.45 4. 函数 2ln| |xy x?的图象大致为 （ ） 5.若13t a n , ,t a n 2 4 2? ? ? ? ?，则sin 2 4?的值为（ ） A 5?B C 210?D 6. 下列选项错误的是（ ） A命题：“若 2x? ，则 2 5 6 0xx? ? ? ”的逆否命题是“若 2 5 6 0xx? ? ? ，则 2x? ” B“ 1x ? ”是“ 2 3 2 0xx? ? ? ”的充分不必要条件 C. 若命题“ 2: , 1 0p x R x x? ? ? ? ?”，则“ 20 0 0: , 1 0p x R x x? ? ? ? ? ?” D若“
3、 pq? ”为真命题，则 ,pq均为真命题 2 7. 若实数 yx, 满足条件 102 2 010xyxyx? ? ? ? ?，则yxz 34 5?的最大值为（ ） A. 815? B. 45? C. 21? D. 1? 8. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A 73B 83?C 83D 73?9. 在 棱长为 2 的 正方体 1111 DCBAABCD ? 中， P 为底面正方形 ABCD 内一 个 动点， Q 为棱 1AA 上的一个动点，若2PQ? ， 则 PQ 的中点 M 的轨迹所形成图形的 面积 是 A 24? B 2? C 3 D 4? 10.如图， 1F ， 2F
4、 是双曲线 222 124xya ?（ 0a? ）的左、右 焦点，过 1F 的直线 l 与双曲线交于点 A 、 B ， 若 2ABF? 为等边 三角形 ， 则 12BFF? 的面积为 （ ） A 8 B 82 C 83 D 16 11. 阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为 58，则判断 框中应填入的条件为（ ） A 3k? B 4k? C 5k? D 6k? 12. 若分子为 1且分母为正整数的分数称为单位分数我们 可以把 1分拆为若干个不同的单位分数之和如：1 1 11 2 3 6? ? ?，1 1 11 4 6 12? ? ? ?，1 1 1 1 11 2 5 6 12 20? ? ?
5、，?， 依此类推可得：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 6 12 30 42 56 72 90 110 132 156mn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 其中nm?，*,mn?N 设nymx ? 1,1，则12?xyx的最小值为（ ） 3 A223B25C78D334第 II卷 二填空题 ： 本大题共 4小题， 每小题 5分， 共 20分 。 请将答案填在 答题卡对应题号 的位置 上 。 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 。 13. 不等式? ?2 1 0xx? ? ?的解集是 14. 在ABC?中 ,60ABC?, 且5, 7AB AC?,则BC
6、? 15. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其 姓名 命名的函数? ? 1,0, RxQfx x C Q? ? ?，被称为狄利克雷函数，其中 R 为实数集， Q 为有理数集，则关于函数 ?fx有如下四个命题： ? ? ? 0f f x ? ； 函数 ?fx是偶函数； 任取一个不为零的有理数 T , ? ? ? ?f x T f x? 对任意的 xR? 恒成 立； 存在三个点 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 3 3, , , , ,A x f x B x f x C x f x，使得 ABC? 为等边三角形 . 其中真命题的个数是 。 16. 我国 齐梁时代的数学家
7、祖暅（公元前 56? 世纪）提出了一条原理“ 幂势既同，则积不容异 ”这句话的意思是： 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等 设由曲线 2 4xy? 和直线 4x? ， 0y? 所围成的平面图形，绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体为1 ；由同时满足 0x? ， 2216xy?， 22( 2) 4xy? ? ?， 22( 2) 4xy? ? ?的点 (, )xy 构成的平面图形，绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体为 2 ，根据祖暅原理等知识，通过考察 2 可以得到 1 的体积为 三解答题：解答应写出文字说明
8、，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分 10分） 某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据 )6,2,1)(,( ?iyx ii 如下表所示 ： 4 已知变量 yx, 具有线性负相关关系，且 66113 9 , 4 8 0iiiixy?， 现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其线性回归方程分别为：甲 544 ? xy ；乙 1064 ? xy ；丙 1052.4 ? xy ，其 中有且仅 有一位同学的计算结果是正确的 .（ 1)试判断谁的计算结果正确？并求出 ba, 的值；（ 2） 若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过 1，则
9、该检测数据是“理想数据”。现从检测数据中随机抽取 2 个，求这两个检验数据均为“理想数据”的概率。 18. （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 2 3 sin4f x x? ?在同一半周期内的图象过点 ,OPQ ，其中 O为坐标原点， P 为函数 ()fx图象的最高点， Q 为函数 ()fx的图象与 x 轴的正半轴的交点 。 （ 1）试判断 OPQ? 的形状，并说明理由 ； （ 2）若将 OPQ? 绕原点 O 按逆时针方向旋转角 02?时，顶点 ,PQ?恰好同时落在曲线 kyx? ? ?0x?上（如图），求实数 k 的值 。 19. （本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n
10、项和为 nS ，若 1 1a? ， 13 4( 2)nna S n? ? ?. （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）令 22log 7nn ab ?，12nn nbc ?，其中 *nN? ，记数列 nc 的前项和为 nT ，求 22n nnT ?的值 . 20. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面ABCD 是平行四边形， 2CD? ， 1BC AC?， O 为 AC 的中点， PO? 平面 ABCD ， 2PO? ， M 为 PD 的中点 （ 1）证明： /PB 平面 ACM ； （ 2）证明：平面 PAD? 平面 PAC ； 试销价格 x （元） 4
11、5 6 7 a 9 产品销量 y （件） b 84 83 80 75 68 xyPQQPO5 （ 3）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值 21. （本小题满分 12 分） 同学们都有这样的解题经验：在某些 数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和“斐波那契数列”是数 学史上一个著名的数列， 这 个 数 列 中 的 每 一 项 称 为 “ 斐 波 那 契 数” . 在斐波那契数列 ?na 中，? ?1 2 2 11 , 1 , 3 .n n na a a a a n? ? ? ? ? （ 1） 若 2016 ,aa? 那么数列 ?na 的前
12、2014项的和； （ 2）证明： 2 2 2 21 2 3 1n n na a a a a a ? ? ? ? ?。 22.（本小题满分 12分）已知动圆 P 与圆 221 : ( 2) 49F x y? ? ?相切，且与 圆 1)2(: 222 ? yxF 相内切，记圆心 P 的轨迹为曲线 C . （ ）求曲线 C 的方程； （ ）设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴上的动点， O 为坐标原点，过点 2F 作 OQ的平行线交曲线 C 于 ,MN两个不同的点 , 求 QMN 面积的最大值 参考答案 一、选择题 ABDBD DCBBC BC 12.提示 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
13、 1 1 111 2 2 3 3 4 5 6 6 7 12 13mn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即1 1 1 1 1 04 5 13mn? ? ? ? ? ?，所以 1 1 1 113 20mn? ? ? ，即 13, 20mn?， 而? ? ?121111 1 1yx y yx x x ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 二填空题 13. ? ? ? ?2, 1? ?U ； 14.8； 15 3； 提示 根据函数的对应法则，可得不管 x 是有理数还是无理数，均有 ? ? ? 1f f x ? ， 故 不正确； 根据函数奇偶性的定义，可得 ?fx是偶函数，故 正
14、确； 6 根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，故 正确； 取1 2 3330x x x? ? ? ?， ，可得 330 0 1 0A B C ?（ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ，三点恰好构成等边三角形故 正确 16.32? 提示 ： 作出两曲线所表示的可行区域知， 2 的轴截面为一半径为 4 的半圆内切两半径为 2的小圆所形成，面积近似为 1 的轴截面面积的两倍，符合祖暅原理又 2 的体积为34 43V ? ? ? 342 2 643 ? ? ? ，于是 1 所表示几何体的体积应为 32? 故填 32? 三解答题： 17. 解析：（ 1） 因为变量 yx, 具有线性负相关关
15、系，所以甲的答案是错误的； 又 66113 9 , 4 8 0iiiixy?， 所以 6.5, 80xy?，满足方程 1064 ? xy ，不满足 1052.4 ? xy ， 所以 乙的答案是正确的； 又 66113 9 , 4 8 0iiiixy?，所以 8, 90ab?； 5分 （ 2）计算可得“理想数据”有三个，分别是 ? ? ? ? ? ?4 , 9 0 , 6 , 8 3 , 8, 7 5，从检测数据中随机抽取 2个，共有 15 种不同的情形，其中这两个检测数 据均为“理想数据”有 3 种情形，故所求概率为3115 5P?。 10分 18.解析： （ 1） OPQ? 为等边三角形 。
16、 理由如下： 因为函数 ( ) 2 3 sin4f x x? ?，所以 284T?，所以函数 ()fx的半周期为 4， 所以 4OQ? ； 又因为 P 为函数 ()fx图象的最高点，所以点 P 坐标为 (2 2 3)， ， 4OP? ， 又 Q 坐标为 (4,0) ，所以 22( 2 4 ) ( 2 3 0 ) 4PQ ? ? ? ? ?， 故 OPQ? 为 等边三角形 。 6分 （ 2）由 （ 1）知， 4OP OQ?， 所以点 P? ,Q? 的坐标分别为 4 c o s 4 s in33? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，,(4cos 4sin )?, ， 7 代入 kyx?，得 21 6 c o s s i n 8 s i n ( 2 )3 3 3k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 且 1 6 sin c o s 8 sin 2k ? ? ?， 所以 2sin 2 sin(2 )3?， 由 22sin (2 ) co s (2 ) 1?， 02? ?，解得 1sin22?， 所以 4k? ， 即 所求的实数 k 的值为 4。 12分 另法： （ 2）由 （ 1）知， OPQ? 为等边三角形 ， 因为函数 ( 0)kyxx?的图象关于直线 yx? 对称， 由图象可知，当12? ?时 ，点 P? ,Q? 恰在函数 ( 0)kyxx?的图
