1、 - 1 - 2016 级高二火箭班 10 月调研考试 数学（理）试题 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1已知椭圆 x25y2m 1 的离心率 e105 ，则 m 的值为 ( ) A 3 B 3 或 253 C. 15 D. 15或 5 153 2已知函数 f(x)在 x 1 处的导数为 12，则 f(x)的解析式可能为 ( ) A f(x) 12x2 lnx B f(x) xex C f(x) sin(2x 3) D f(x) 1x x 3有 4 个命题： 若 p xa yb，则 p 与 a、 b 共面； 若 p 与 a、 b 共面，则 p xa yb； 若 MP xMA yMB，
2、则 P、 M、 A、 B 共面； 若 P、 M、 A、 B 共面， 则 MP xMA yMB. 其中真命题的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 4对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A， B， C，且有 OP xOA yOB zOC(x， y， z R)，则x 2， y 3， z 2 是 P， A， B， C 四点共面的 ( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 5直线 l 经过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F，且与抛物线交于 P、 Q 两点，由 P、 Q 分别向准线引垂线 PR、 QS，垂足分别为 R、 S.若 |PF| a， |QF
3、| b， M 为 RS 的中点，则 |MF|的值为 ( ) A a b B.12(a b) C ab D. ab 6已知 AB 为半圆的直径， P 为半 圆上一点，以 A、 B 为焦点且过点 P 作椭圆，当点 P 在半圆上移动时，椭圆的离心率有 ( ) A最大值 12 B最小值 12 C最大值 22 D最小值 22 7设 e 是椭圆 x24y2k 1 的离心率，且 e (12， 1)，则实数 k 的取值范围是 ( ) A (0,3) B (3， 163) C (0,3) (163 ， ) D (0,2) - 2 - 8 (2014东北三校一模 )已知双曲线 x29y216 1，过其右焦点 F
4、的直线交双曲线于 P、 Q 两点，PQ 的垂直平分线交 x 轴于点 M，则 |MF|PQ|的值为 ( ) A.53 B.56 C.54 D.58 9已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)， M， N 是椭圆上关于原点对称的两点， P 是椭圆上任意一点，且直线 PM， PN 的斜率分别为 k1， k2，若 |k1k2| 14，则椭圆的离心率 e ( ) A.12 B. 22 C. 32 D. 23 10、已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为32 .双曲线 x2 y2 1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为 ( )
5、A.x28y22 1 B.x212y26 1 C.x216y24 1 D.x220y25 1 11. 如图，过抛物线 y2 4x 焦点的直线依次交抛物线和圆 (x 1)2 y2 1 于 A、 B、 C、 D 四点，则 |AB| |CD| ( ) A 4 B 2 C 1 D.12 12、抛物线 C1： y 12px2(p0)的焦点与双曲线 C2： x23 y2 1 的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p ( ) A. 316 B. 38 C.2 33 D.4 33 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13、在平面直角坐标系 xO
6、y 中，已知 ABC 的顶点 A( 6,0)和 C(6,0)，若顶点 B 在双曲线 x225y211 1 的左支上，则sinA sinCsinB _. 14、抛物线 y2 2px(p0)的焦点为 F，其准线经过双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的左顶点，点 M为这两条曲线的一个交点，且 |MF| 2p，则双曲线的离心率为 _ 15、已知两点 A(1,0)， B(b,0)，若抛物线 y2 4x 上存在点 C 使 ABC 为等边三角形，则 b_. 16若抛物线 y ax2 1 上恒有关于直线 x y 0 对称的相异两点 A、 B，则 a 的取值范围是_ - 3 - 三、解 答题（共 70
7、 分） 17（ 10 分）求两条渐近线为 x 2y 0 和 x 2y 0 且截直线 x y 3 0 所得的弦长为 8 33 的双曲线的方程 18（ 12 分）、已知两个命题 r(x)： sinx cosx m， s(x)： x2 mx 1 0.如果对 ? x R， r(x) s(x)为假， r(x) s(x)为真，求实数 m 的取值范围 19（ 12 分）、已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，设 A、 B 是抛物线 C 上的两个动点 (AB 不垂直于 x 轴 )，且 |AF| |BF| 8，线段 AB 的垂直平分线恒经过定点 Q(6,0)，求此抛物线的方程 - 4 -
8、 20（ 12 分）、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率 e23，且椭圆 C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)在椭圆 C 上，是否存在点 M(m， n)使得直线 l： mx ny 1 与圆 O： x2 y2 1 相交于不同的两点 A， B，且 OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及相对应 的 OAB 的面积；若不存在，请说明理由 21（ 12 分） . 在三棱柱 ABC A1B1C1中，已知 AB AC AA1 5， BC 4，点 A1在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O. (
9、1)证明：在侧棱 AA1上存在一点 E，使得 OE平面 BB1C1C，并求出 AE 的长； (2)求平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值 - 5 - 22（ 12 分）已知椭圆 C： x2 y24 1，过点 M(0,3)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、 B. (1)若 l 与 x 轴相 交于点 N，且 A 是 MN 的中点，求直线 l 的方程； (2)设 P 为椭圆上一点，且 OA OB OP(O 为坐标原点 )求当 |AB|m，5 m5 105 . m 3. 若焦点在 y 轴上，则有? m5，m 5m 105 . m 253 . 2、答案 D 3、答案 B 解析
10、 正确，中若 a， b 共线， p 与 a 不共线，则 p xa yb 就不成立正确中若 M， A， B 共线，点 P 不在此直线上，则 MP xMA yMB不正确 4、答案 B 解析 当 x 2， y 3， z 2 时， 即 OP 2OA 3OB 2OC， 则 AP AO 2OA 3(AB AO) 2(AC AO)，即 AP 3AB 2AC，根据共面向量定理，知 P， A，B， C 四点共面；反之，当 P， A， B， C 四点共面时，根据共面向量定理 AP mAB nAC， 即 OPOA m(OB OA) n(OC OA)， 即 OP (1 m n)OA mOB nOC， 即 x 1 m
11、n， y m， z n，这组数显然不 止 2， 3,2.故是充分不必要条件故选 B. - 6 - 5、答案 D 解析 根据抛物线的定义，有 |PF| |PR|， |QF| |QS|.易知 RFS 为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长在直角梯形 PRSQ 中，容易求得 |RS| 2 ab. 故 |FM| 12|RS| ab. 6、答案 D 解析 椭圆的离心率 e |AB|PA| |PB| |AB|2 |PA|2 |PB|22 22 ，当 |PA| |PB|时“”成立故选 D. 7、答案 C 解析 当 k4 时， c k 4，由条件知 14163 ；当 00，解得 a34. 17、答案
12、 x24 y2 1 解析 渐近线方程为 y 12x， 可设双曲线方程为x24my2m 1，则? x24my2m 1，x y 3 0.可得 3x2 24x 36 4m 0， x1 x2 8， x1x2 36 4m3 . 由弦长公 式 |AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2，得 |AB| 2 48 16m3 . 又 |AB| 8 33 ， m 1. 双曲线方程为 x24 y2 1. 18、 sinx cosx 2sin(x 4) 2， 当 r(x)是真命题时， m 2. 又对 ? x R， s(x)为真命题，即 x2 mx 1 0 恒成 立， 有 m2 4 0， 2 m 2. 当 r(x)
13、为真， s(x)为假时， m 2，同时 m 2 或 m 2，即 m 2. 当 r(x)为假， s(x)- 8 - 为真时， m 2且 2 m 2，即 2 m 2. 综上，实数 m 的取值范围是 m 2 或 2m 2. 19、答案 y2 8x 解析 设抛物线的方程为 y2 2px(p0)， 其准线方程为 x p2. 设 A(x1，y1)， B(x2， y2)，因为 |AF| |BF| 8， 所以 x1 p2 x2 p2 8，即 x1 x2 8 p. 因为 Q(6,0)在线段 AB 的中垂线上，所以 QA QB， 即 (x1 6)2 y21 (x2 6)2 y22. 又 y21 2px1，y22
14、2px2， 所以 (x1 x2)(x1 x2 12 2p) 0. 因为 x1 x2，所以 x1 x2 12 2p. 故 8 p 12 2p.所以 p 4. 所以所求抛物线方程是 y2 8x. 20、解析 (1)因为 e 23 ca a2 b2a ， 所以 a2 3b2，即椭圆 C 的方程可写为 x23b2y2b2 1. 设 P(x， y)为椭圆 C 上任意给定的一点， |PQ|2 x2 (y 2)2 2(y 1)2 6 3b2 6 3b2，y b， b， 由题设知存在点 P1满足 |P1Q| 3，则 9 |P1Q|2 6 3b2，所以 b 1. 当 b 1时，由于 y 1 b， b，此时 |P
15、Q|2取得 最大值 6 3b2， 所以 6 3b2 9?b2 1， a2 3.故所求椭圆 C 的方程为 x23 y2 1. (2)存在点 M 满足要求，使 OAB 的面积最大 假设存在满足条件的点 M，因为直线 l： mxny 1 与圆 O： x2 y2 1 相交于不同的两点 A， B，则圆心 O 到 l 的距离 d 1m2 n2 3，与题意不符 当 AB 的方程为 y kx 3 时， 由题设可得 A、 B 的坐标是方程组? y kx 3，x2 y24 1的解， 消去 y，得 (4 k2)x2 6kx 5 0. 所以 (6k)2 20(4 k2)0，即 k25. 则 x1 x2 6k4 k2， x1 x2 54 k2， y1 y2 (kx1 3) (kx2 3) 244 k2. 因为 |AB| x1 x2 2 y1 y2 2 3， 所以 1 k2 ? ? 6k4 k2 2 204 k2 3， 解得 1613k28，所以 5k28. 因为 OA OB OP，即 (x1， y1) (x2， y2) (x3， y3)， 所以当 0 时，由 OA OB 0， 得x1 x2 6k4 k2 0， y1 y2 244 k2 0. 上述方程无
