1、 - 1 - 江西省新干县第二中学等四校 2017-2018学年高二数学 12月联考试题 理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1直线 x+ y 3=0的倾斜角为（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 2 方程 222 ?kyx 表示焦点在 y轴上的椭圆，则 k的取值范围是（ ） A ),0( ? B（ 0， 2） C（ 1， + ） D（ 0， 1） 3设 l、 m是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A若 m l， m ，则 l B若 m ， l m，则 l C若
2、 ， l ， m ，则 l m D若 m? ， m ， l? ， l ，则 4已知命 题 ：“若 x 0， y 0，则 xy 0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 5圆 O1： x2+y2 2x=0和圆 O2： x2+y2 4x=0的公切线条数（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 6. 已知椭圆 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?,A 是椭圆长 轴的一个端点 ,B 是椭圆短轴的一个端点 ,F 为椭圆的一个焦点 . 若 AB BF? ,则该椭圆的离心率为（ ） A 512?B 512?C 514?D
3、514?7.设 a R，则“ a 1”是“直线 l1： ax 2y 1 0与直线 l2： x 2y 4 0平行”的 ( ) A充分不必要条件 B必要 不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8已知平面 外不共线的三点 A， B， C到 的距离相等，则正确的结论是（ ） A平面 ABC必不垂直于 B平面 ABC必平行于 C平面 ABC必与 相交 D存在 ABC的一条中位线平行于 或在 内 9. 若椭圆 122 ?nymx 与直线 01?yx 交于 BA, 两点，过原点与线段 AB 的中点的直线的斜率为22，则 mn 的值为（ ） - 2 - A22B 2 C23D9210如图是一个几
4、何体的三视图，在该几何体的各个面中面积最小的面的面积为（ ） A 4 B 4 C 4 D 8 11曲线 y 1= （ 2 x 2）与直线 y=kx 2k+4 有两个不同的交点时，实数 k 的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， +） C（ ， ） D（， ）（ ， +） 12如图，边长为 2的正方形 ABCD中，点 E、 F分别 是 AB、 BC的中点，将 ADE， EBF， FCD分别沿 DE， EF， FD折起，使得 A、 B、 C三点重合于点 A ，若四面体 A EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A 8 B 6 C 11 D 5 二、填空题：本大 题共 4小题，每小
5、题 5分，共 20 分 13已知直线 ax+4y 4=0与直线 x+ay 2=0平行，则 a= 14命题“若 a?A，则 b B”的逆否命题是 _ 15. 过点 (1,1)M 作一直线与椭圆 22194xy?相交于 A、 B两点，若 M 点恰好为弦 AB 的中点，则 AB 所在直线的方程为 - 3 - 16在平面直角坐标系 xOy中，圆 C的方程为 x2+y2 4x=0若直线 y=k（ x+1）上存在一点 P，使过 P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k的取值范围是 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（ 10分）已知圆 C的圆心在直线 x
6、2y+4=0上，且与 x轴交于两点 A（ 5， 0）， B（ 1， 0） （ 1）设圆 C与直线 x y+1=0交于 E， F两点，求 |EF|的值； （ 2）已知 Q（ 2， 1），点 P在圆 C上运动，求线段 PQ 中点 M的轨迹方程 18 (本小题满分 12分 )给出两个命题：命题甲：关于 x的不等式 x2 (a 1)x a2 0的解集为 ?，命题乙：函数 y (2a2 a)x为增函数 分别求出 符合下列 条件的实数 a的范围 (1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙中有且只有一个是真命题 19（ 12 分）如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，
7、ABC= ， OA底面 ABCD， OA=2， M是 OA的中点， N为 BC 的中点 （ 1）证明：直线 MN平面 OCD； （ 2）求点 M到平面 OCD的距离 20. 已知椭圆 C： 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的上顶点坐标为 (0, 3) ，离心率为 12 . （ 1）求椭圆方程； （ 2）设 P为椭圆上一点， A为左顶点， F为椭圆的右焦点，求 AP FP? 的取值范围 . - 4 - 21.如图，在梯形 ABCD 中， AB CD， AD=DC=CB=1， 60ABC? 四边形 ACFE为矩形，平面 ACFE平面 ABCD， CF=1. ( ) 求证： BC平面
8、ACFE； ( ) 若点 M在线段 EF 上移动，试问是否存在点 M ，使得平面 MAB与 平面 FCB所成的二面角为 45 ，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 说明理由 . 22. 已知椭圆 22:1xyCab?( 0)ab?经过点 3(1, ),2M 其离心率为 12 . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B两点，以线段 ,OAOB 为邻边作平行四边形 OAPB，其中顶点 P在椭圆 C 上， O 为坐标原点 .求 O 到直线 l 距离的最小值 . 高二四校联考数学答案 一、选择题 1-12 DDCBAB CDBBAB 13 a= 2 14若
9、b?B，则 a A 15. 013-94 ? yx 16 2 ， 2 17：（ 1）由圆 C与 x轴交于 A（ 5， 0）， B（ 1， 0）， 可得圆心 C在 AB 的中垂线上，即 C在直线 x= 2上，与 x 2y+4=0联立， 可得 C（ 2， 1），半径 r= = ， 则圆 C的方程为（ x+2） 2+（ y 1） 2=10， 圆心到直线 x y+1=0的距离 d= = ， A B C D F E M - 5 - 则 |EF|=2 =2 =4 ； （ 2）设 M（ x， y）， M为 PQ的中点， 且 Q（ 2， 1），可得 P（ 2x 2， 2y 1）， 由 P在圆 C上运动，将其坐
10、标代入圆 C的方程可得， （ 2x 2+2） 2+（ 2y 1 1） 2=10， 即为 x2+（ y 1） 2= 则线段 PQ中点 M的轨迹方程为 x2+（ y 1） 2= 18：甲命题为真时， (a 1)2 4a2 0，即 a13或 a 1. 乙命题为真时， 2a2 a 1，即 a 1或 a 12. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集， a的取值范围是 ? a? ?a 12或 a 13 . (2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况： 甲真乙假时， 13 a 1，甲假乙真时， 1 a 12， 甲、乙中有且只有一个真命题时， a的取值范围为 ? a? ?13 a 1或
11、1 a 12 19.证明：（ 1）取 OB 中点 E，连结 ME、 NE， ME AB， AB CD， ME CD， 又 ME?平面 OCD， CD?平面 OCD， ME平面 OCD， OB中点 E， N为 BC 的中点， EN OC， EN?平面 OCD， OC?平面 OCD， EN平面 OCD， EN EM=E， EN， EM?平面 EMN， 平面 EMN平面 OCD， MN?平面 MNE， MN平面 OCD 解：（ 2） M是 OA的中点， M到平面 OCD的距离是点 A到平面 OCD距离的 ， 取 CD的中点为 P，连结 OP，过点 A作 AQ OP于点 Q， - 6 - AP CD，
12、 OA CD， CD平面 OAP， AQ OP， AQ平面 OCD， 线段 AQ 的长是点 A到平面 OCD的距离， OP= = = ， AP= ， AQ= = = 点 A到平面 OCD的距离为 ， 点 M到平面 OCD的距离为 20解：（ 1）依题意得 ：2 2 232112bacecaa b c? ? ? ? ?， ?椭圆方程为 22143xy?（ 2）解：设 ( , )Pxy ， ( 2,0), (1,0)AF? ，则 222AP FP x x y? ? ? ? ?-（ *） 点 P 满足 223 4 12xy?， 22 3(1 )4xy? ? ?代入（ *）式，得： 21 1 ( 2
13、2 )4A P F P x x x? ? ? ? ? ? ? 根据二次函数的单调性可得： APFP? 的取值范围为 0,4 21（ ）证明：在梯形 ABCD中， AB CD， AD=DC=CB=1， ABC=60o， 2AB? ，则 2 2 2 2 c o s 6 0 3A C A B B C A C B C? ? ? ? ?， 2 2 2AB AC BC?， AC BC? ， 又平面 ACFE 平面 ABCD，平面 ACFE 平面 ABCD=AC， BC? 平面 ABCD， BC 平面 ACFE. （ ）由（ ）知， AC、 BC、 CF两两垂直，以 C 为原点， AC、 BC、 CF 所在
14、的直线为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系（如图）， 则 ( 3 0 0)A ， ， ， (010)B ， ， ，设 ( 01)Ma， ， ， 则 )0,1,3(?AB ， )1,1,( ? aBM ， 设 ),( zyxm? 是平面 AMB的法向量，则 A B C D F E M x y z 第 13 题图 - 7 - 300m A B x ym B M ax y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ?取 x=1，得 (1, 3, 3 )ma?， 显然 (1,0,0)n? 是平面 FCB的 一个法向量， 于是212c o s 24 ( 3 )mn a? ? ? ?， 化简得 22 ( 3
15、 ) 0a? ? ?，此方程无实数解， 线段 EF上不存在点 M使得平面 MAB与平 面 FCB 所成的二面角为 45o. 22.（ 1）由已知 2222 14abe a?，所以 2234ab? , 又点 3(1, )2M 在椭圆 C 上，所以221914ab?， 由 解之得 224, 3ab?,故椭圆 C 的方程为 22143xy?（ 2）当直线 l 有斜率时，设 y kx b?时，则由 22143y kx bxy? ?消去 y 得 22( 3 4 8 4 1 2 0k x k m x m? ? ? ? ?） ， 2 2 2 26 4 4 ( 3 4 ) ( 4 1 2 )k m k m?
16、? ? ? ? ?2248(3 4 k ) 0m? ?， 设 1 1 2 2 0 0A ( , ) , B ( , ) , P ( , )x y x y x y则 002286x,3 4 k 3 4 kkm my? ? ?，由于点 P 在椭圆 C 上，所以2200143xy?，从而2 2 22 2 2 21 6 1 2 1( 3 4 k ) ( 3 4 k )k m m?，化简得 224 3 4km ? ，经检验满足 式，又点 O 到直线 l 的距离为： 221 1 3114 ( 1 ) 4 21kmd k? ? ? ? ? ?，并且仅当 0k?时等号成立；当直线 l 无斜率时，由对称性知，点 P 一定在 x 轴上，从而 P 点为 ( 2,0)(2,0)? ，直线 l 为 x1? ，所以点 O 到直线 l 的距离为 1，所以点 O 到直线 l 的距离最小值为 32. - 8 - 2017年下半年高二四 校联考数学答题卷 一、选择题（ 5分 12=60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
