1、 - 1 - 2017 2018 学年第一学期第二次月考考试试卷 高二数学 (理科 ) 第 I卷 一、选择题 :（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1 与向量 a (1， -3,2)平行的一个向量的坐标为 ( ) （ A） (1,3,2) （ B） (-1， -3,2) （ C） (-1,3， -2) （ D） (1， -3， -2) 2 已知 ( 2,0)M? ， (2,0)N ， | | 3|PM PN|?，则动点 P 的轨迹是（ ） 21 （ A） 圆 （ B） 椭圆 （ C） 抛物线 （ D） 双曲线 3. 已知命
2、题 p ： R?x ,cos 1?x ，则 p? 是（ ） （ A） ?0x R, 1cos 0 ?x （ B） ?x R, 1cos ?x （ C） ?0x R, 1cos 0 ?x （ D） ?x R, 1cos ?x 4.已知 22xy?，则 93xy? 的最小值为 ( ) （ A） 2 （ B）3（ C）6（ D）95 “ ? ? ?a c b d ” 是 “ ?ab且 ?cd” 的 ( ) （ A） 充分不必要条件 （ B） 必要不充分条件 （ C） 充分必要条件 （ D） 既不充分也不必要条件 6 设等比数列 na 的公比 2q? ， 前 n 项和为 nS ，则24aS 的值为（
3、） （ A） 154 （ B） 152 （ C） 74 （ D） 72 7 下列命题中，真命题是 ( ) （ A） ? x0 R， 0xe 0 （ B） ? x R,2x x2 （ C）双曲线 122 ?yx 的离心率为 22 （ D）双曲线 1422 ? yx 的渐近线方程为 xy 2? 8 已知实数 xy， 满足 2203xyxyy?，则 2z x y?的最小值是（ ） （ A） 5 （ B） 52 （ C） 5? （ D） 52? 9已知 12( 1,0), (1,0)FF? 是椭圆的两个焦点，过 1F 的直线 l 交椭圆于 ,MN两点，若 2MFN?的周长为 8 ，则椭圆方程为（ ）
4、（ A） 134 22 ? yx （ B） 134 22 ? xy - 2 - （ C） 11516 22 ? yx （ D） 11516 22 ? xy 10 设 33 , ( 3 ) , 32xy xyxyM N P? ? ?（ ?yx, R? ,且 yx? ）， 则 ,MNP 大小关系为（ ） （ A） M N P?（ B） N P M? （ C） P M N?（ D） P N M? 11. 设正方体 ABCD A B C D? ? ? ? 的棱长为 a ， AC? 与 BD? 相交于点 O ,则（ ） （ A） 2AB AC a? (B) 22AB AC a? (C) 12AB AO
5、a? (D) 2BC DA a? 12.已知 离心率 52e? 的 双曲 线 C : 2222 1( 0, 0 )xy abab? ? ? ?右焦点为 F， O 为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线相交于 O， A两点，若 AOF的面积为 4，则 a 的值为 ( ) （ A） 22（ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 第 II卷 二 、 填空题 :本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 13抛物线 yx 22? 的焦点 F 到准线 l 的距离是 . 14. nS 为 等差数列 na 的前 n 项和， 266aa?，则 ?7S 15 下列命题中： 命题 :Px?R 使
6、得 22 1 0x ? ”，则 P 是假命题； “若 0xy?，则 ,xy互为相反数”的逆命题为假命题； x?R ，若 102x? ，则 1002x? ”； 命题“若 p ，则 q ”的逆否命题是“若 q 则 p ”， 其中真命题的序号是 16.过点 )3,22( 的双曲线 C 的渐近线方程为 ,23xy ? P 为双曲线 C 右支上一点， F 为双曲线 C 的左焦点，点 ),3,0(A 则 PFPA? 的最小值为 . 三、解答题： 本大题共 6小题 ,共 70分 ,解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17（本小题满分 10分） 解关于 x 的不等式 2(1 ) 1ax? 18 (本
7、小题满分 12分 ) 数列 ?na 的前 n 项和为 nS , 1 1a? , *1 2 ( N )nna S n? ? - 3 - （） 求数列 ?na 的通项 na ； （） 求数列 ? ?nna 的前 n 项和 nT 19 (本小题满分 12分 ) 已知 ABCD 为直角梯形， o90? ABCD AB , ?PA 平面ABCD ， .1,2 ? ADBCABPA ( )求证： ?BC 平面 PAB ; ( )求平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值 . 20（本小题满分 12分） 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 O ，对称轴为 x 轴，焦点为 F ,抛物线上一点 A 的横
8、坐标为 2，且 16?OAFA . （）求抛物线的方程； （）过点 )0,8(M 作直线 l 交抛物线于 B ， C 两点 ,求证 : OCOB? . 21（本小题满分 12分） 如图，在 正 三棱柱 ABC A1B1C1中， 21 ? ABAA . () 求直线 1AB 与平面 CCAA11 所成角的正弦值 ； ( )在线段 1AA 上是否存在点 D ？使得 二面角 11 CDCB ? 的大小为 60 ， 若存在， 求 出AD 的长 ；若不存在，请 说明理由 . 22（本小题满分 12分） 设一个 焦点为 （ -1,0) ,且离心率 22e? 的 椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab
9、? ? ? ?上 下两 顶点 分别 为,AB,直线 2y kx?交椭圆 C 于 QP, 两点 ,直线 PB 与直线 12y? 交于点 M . () 求椭圆 C 的 方程； - 4 - ( )求证： ,AMQ 三点共线 . - 5 - 2017 2018学年第一学期期末考试参考答案与评分标准 高二数学（理科） 一、选择题 1 C； 2 D； 3.C； 4.C； 5 B； 6 B； 7 D； 8 C； 9 A； 10 D； 11. A； 12 C 二、填空题 13.1 14. 21 15.(1)(4) 16.8 三、解答题 17解：由 2(1 ) 1ax? 得 22 2 1 1a x ax? ?
10、?，即 ( 2) 0ax ax?. 2分 (1)当 0a? 时，不等式转化为 00? ，故 x 无解 4分 (2)当 0a? 时，不等式转化为 2( ) 0xxa?. 2 0a? ， 不等式的解集为 2|0xxa?.6分 (3)当 0a? 时，不等式转化为 2( ) 0xxa?，又 2 0a? ， 不等式的解集为 2|0xxa?.8 分， 综上所述 ：当 0a? 时，不等式解集为 ? ；当 0a? 时，不等式解集为 2|0xxa?； 当 0a? 时，不等式解集为 2|0xxa?. 10分 18. 解：（） 1 2nnaS? ? ， 1 2n n nS S S? ? ? ， 1 3nnSS? 2
11、分 又 111Sa?， ?数列 ?nS 是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 1*3 ( )nnSn?N4 分 ， 当 2n 时， 212 2 3 ( 2 )nnna S n? ，21132n nna n? ?， ， 6分 （） 1 2 323nnT a a a na? ? ? ? ?，当 1n? 时， 1 1T? ； 当 2n 时， 0 1 21 4 3 6 3 2 3 nnTn ? ? ? ? ? ? ? ?， 1 2 13 3 4 3 6 3 2 3 nnTn ? ? ? ? ? ? ? ?， ? 得： 1 2 2 12 2 4 2 ( 3 3 3 ) 2 3nnnTn ? ? ? ?
12、 ? ? ? ? ? ? 8分 2 13 (1 3 )2 2 2 313n nn? ? ? ? ? ? 11 (1 2 ) 3nn ? ? ? ? 10分 111 3 ( 2 )22 nnT n n? ? ? ? 又 111Ta?也满足上式， 1*11 3 ( )22 nnT n n? ? ? ? ? N 12 - 6 - 19.解：如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系， 可得 )2,0,0(),0,1,0(),0,2,2(),0,0,2( PDCB 。 2分 （）证明法一：因为 )2,0,0(),0,0,2(),0,2,0( ? APABBC ， 所以 0,0 ? APBCABBC , 4
13、分 所以 APBCABBC ? , , AP AB A?I , ?PA 平面 PAB ， AB? 平面 PAB ， 所以 ?BC 平面 PAB . 6分 证明法二：因为 ?PA 平面 ABCD ， BC? 平面 ABCD ，所以 PA BC? ,又因为ABC? =90，即 BC AB? ， AP AB A?I ,PC? 平面 PAB ， AB? 平面 PAB ， 所以 ?BC 平面 PAB . 6分 （ ） 由 （）知 平面 PAB 的一个法向量 )0,1,0(1?n ， 设平面 PCD 的法 向量 ),(2 zyxn ? ， 又 )2,1,0(),2,2,2( ? PDPC ,且? ? ,0
14、,022 PDn PCn所以? ? ? ,02 ,0222 zy zyx所以平面 PCD 的一个法向量为 ),1,2,1(2 ?n 所以 ,36,c o s 21 2121 ? nn nnnn所以平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为 36 . 12分 20.解：（）由题设抛物线的方程为： 2 2y px? )0( ?p ， 则点 F 的坐标为 ( ,0)2p ，点 A 的一个坐标为 (2,2 )p ， 2分 16?OAFA ， (2 , 2 )(2 , 2 ) 1 62?p pp， 4分 4 4 16pp? ? ? ， 4p? ， 2 8yx? . 6分 （）设 B 、 C 两点坐标分别为 11( , )xy 、 22( , )xy ， 法一：因为直线 当 l 的斜率不为 0，设直线 当 l 的方程为 8x ky? 方程组 2 8,8yxx ky? ? ?得 2 8 64 0y ky? ? ?， 1 2 1 28 , 64y y k y y? ? ? ?g 因为 1 1 2 2( , ), ( , ),O B x y O C x y?uuur uuur 所以 1 2 1 2 1 2 1 2( 8 ) ( 8 )? ? ? ? ? ? ?u uur u u u
