1、第 23 章 图形的相似 231 成比例线段 231.1 成比例线段 1了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例 2会利用比例的性质，求出未知线段的长 重点 成比例线段的定义；比例的基本性质及直接运用 难点 比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其他性质 一、情境引入 教师多媒体展示两幅相似的图片，提问： 1这两个图形有什么联系？ 它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形 2这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会 相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征， 本节课先学习线段 的成比例 二、探究新知 (1)回忆什么叫两个
2、数的比，怎样度量线段的长度，怎样比较两条线段的大小 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB，CD 的长度分别是 m，n，那么就说这两条 线段的比 ABCDmn，或写成AB CD m n，其中，线段 AB，CD 分别叫做这两个线段比的 前项和后项 如果把m n表示成比值 k，则 AB CDk 或 ABk CD. 注意：在量线段时要选用同一个长度单位 (2)做一做 量出数学书的长和宽(精确到 0.1 cm)，并求出长和宽的比 改用 m 作单位，则长为 0.211 m，宽为 0.148 m，长与宽的比为 0.2110.148211148. 只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不
3、变 (3)求两条线段的比时要注意的问题 两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位， 再求它们的比； 两条线段的比没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； 两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数 问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？(学生讨论) (答：线段的长度比与所采用的长度单位无关) 2成比例线段的定义 四条线段 a，b，c，d 中，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比， 如a b c d，那么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段 3比例的基本性质 两条线段的比实际上就是两个数的比，如果 a，b，c
4、，d 四个数满足a b c d，那么 adbc 吗？反过来，如果说 adbc，那么a b c d吗？与同伴交流 如果a b c d，那么 adbc. 若 adbc(a，b，c，d 都不等于 0)，那么a b c d. 教师多媒体展示例 1，例 2，教师引导，学生自主完成，小组内交流，教师点评 例 1 在某市城区地图(比例尺 19000)上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长 度分别是 16 cm，10 cm. (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 解：(1)1440 米，900 米； (2)85，85. 例 2
5、如图，已知a b c d3，求 ab b 和cd d . 解：ab b 4，cd d 4. 三、练习巩固 教师展示课件，可由学生自主完成，点名展示，教师点评 1已知a b c d3，求 ab b 和cd d 及ab b cd d 成立吗？ 2已知a b c d e f2(bdf0)，求： (1)ace bdf；(2) ace bdf； (3)a2c3e b2d3f；(4) a5e b5f. 【答案】1.ab b 2，cd d 2.ab b cd d 成立 2(1)2； (2)2； (3)2； (4)2. 四、小结与作业 小结 1注意点：(1)两线段的比值总是正数；(2)讨论线段的比时，不指明长
6、度单位；(3)对两 条线段的长度一定要用同一长度单位表示 2比例尺：图上长度与实际长度的比 3熟记成比例线段的定义 4掌握比例的基本性质，并能灵活运用 布置作业 从教材相应练习和“习题 23.1”中选取 本课时从生活实例情境引入线段的比及成比例线段的概念， 并引导学生探究比例的基本 性质及其应用，通过互动交流加强对知识的理解，培养学生的合作意识 231.2 平行线分线段成比例 了解平行线分线段成比例定理的证明， 掌握定理的内容 能应用定理证明线段成比例等 问题，并会进行有关的计算 重点 定理的应用 难点 定理的推导证明 一、情境引入 问题 1 翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线
7、组成的，如图在作业 本上任意画一条直线 m 与相邻的三条平行线交于 A，B，C 三点，得到两条线段 AB，BC， 量一量，你发现这两条线段的长度有什么关系？ 相等即 ABBC.(由学生回答) 思考：再任意画一条直线 n 与这组平行线相交，得到两条线段 DE 和 EF，你发现 DE 与 EF 的长度存在什么关系？ (1) 由此，我们可以得到AB BC DE EF. 问题 2 选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画直线 m，n 与它们相交，如果 m， n 这两条直线平行，观察并思考这时所得的 AD，DB，FE，EC 这四条线段的长度有什么关 系，如果 m，n 这两条直线不平行，你再观察一下，量一量
8、，算一算，看看它们是否存在类 似关系 (2) (3) 归纳：AD DB FE EC. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(简称“平行线分线段成比例”) 二、探究新知 教师结合问题 1，2，引导学生深入分析，归纳定理 思考：(1)如图，当图(3)中的点 A 与点 F 重合时就形成一个三角形的特殊情况，此时， AD，DB，AE，EC 这四条线段之间会有怎样的关系？ (2)如图，当图(3)中的直线 m，n 相交于第二条平行线上某点时，是否也有类似的成比 例线段呢？ 归纳：平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比 例 教师多媒体展示例 1，例 2，引导学生分
9、析，学生自主完成，教师点评 例 1 如图，l1l2l3. (1)已知 AB3，DE2，EF4，求 BC； (2)已知 AC8，DE2，EF3，求 AB. 【分析】根据题目中的已知和所求线段，寻求有关的比例式，注意选择合理简捷的方 法如第(2)问，有以下两种解法：若选AB BC DE EF，则 ABx，BC8x，可得 x 8x 2 3； 若选AB AC DE DF，则列出 AB 8 2 23，得 AB 16 5 . 例 2 如图，DEBC，AD2，DB5，EC3，求 AC 的长 解：DEBC， DB AB EC AC， 5 52 3 AC， AC21 5 . 三、练习巩固 教师展示课件，可由学生
10、自主完成，抢答，教师点评 1如图，已知 l1l2l3，下列比例式中错误的是( ) A.AC CE BD DF B. AC AE BD BF C.CE AE DF BF D. AE BF BD AC 第 1 题图 第 2 题图 2如图，已知 l1l2l3，下列比例式中成立的是( ) A.AD DF CE BC B. AD BE BC AF C.AD AF BC BE D. DF AF BE CE 四、小结与作业 小结 1平行线分线段成比例定理及其推论，注意“对应”的含义 2研究问题的方法：从特殊到一般，类比联想 布置作业 从教材相应练习和“习题 23.1”中选取 本课时从学生所熟知的作业本入手，
11、通过学生动手画图，测量、观察思考发现规律，归 纳总结并加以应用，体会从特殊到一般的数学思维过程，进一步培养学生类比的数学思想 232 相似图形 知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等，识别两个多边形是否相似的方 法 重点 相似图形的定义和性质 难点 相似图形的性质 一、情境引入 回顾 1若线段 a6 cm，b4 cm，c3.6 cm，d2.4 cm，那么线段 a，b，c，d 会成比例 吗？ 2两张相似的地图中的对应线段有什么关系？(都成比例) 二、探究新知 教师多媒体展示问题，提出问题，引导学生分析 相似的两张地图中的对应线段都会成比例， 对于一般的相似多边形， 这个结论是否成立 呢
12、？同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第 58 页两个相似四边形的 边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结果与 同伴交流 同学们会发现有什么关系呢？经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比 例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果？反映它们的 边之间、角之间的关系是什么关系？ 同学们用格点图画相似的两个三角形，观察、度量，它们是否也具有这种关系(对应边 成比例，对应角相等)? 由此可以得到两个相似多边形的特征： (由同学回答，教师板书)对应边成比例，对应角相等 实际上这两个特征， 也是我们识别两个多边形是
13、否相似的方法， 即如果两个多边形的对 应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似 识别两个多边形是否相似的标准有： (数相同)， 对应边要(成比例)， 对应角要(都相等) (括 号内要求同学填) 填一填： (1)两个三角形一定是相似图形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？两个等腰 直角三角形呢？ (2)所有的菱形都相似吗？所有的矩形呢？正方形呢？ 学生小组内交流，代表发言，教师点评教师课件展示例 1，例 2，学生可自主完成， 小组内交流，点名展示，教师点评 例 1 矩形 ABCD 与矩形 ABCD中， AB1.5 cm， BC4.5 cm， AB0.8 cm， B C2.4 cm，这两个
14、矩形相似吗？为什么？ 解：相似， AB AB BC BC AD AD DC DC 15 8 . 例 2 如图，四边形 ABCD 与四边形 ABCD相似，求A 的度数与 x 的值 解：由相似图形的性质知 AA107，4 x 5 2， x8 5. 三、练习巩固 教师多媒体展示，学生独立完成，点名展示，并讲解，师生共同点评 1在矩形 ABCD 与矩形 ABCD中，已知 AB16 cm，AD10 cm，AD6 cm， 矩形 ABCD的面积为 54 cm2，这两个矩形相似吗？为什么？ 2如图，四边形 ABCD 与四边形 ABCD是相似的，且 CDBC，根据图中的条件， 求出未知的边 x、y 及角 . 四
15、、小结与作业 小结 1相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等 2相似多边形的判定 布置作业 从教材相应练习和“习题 23.2”中选取 本节课学生通过动手测量， 探究相似图形的有关性质， 经历观察、 实验归纳等思维过程， 从中获得数学知识与技能，体验数学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观 233 相似三角形 233.1 相似三角形 1知道相似三角形的概念 2能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角 3会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知 的边长 4掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边(或两边的延长线)相交所构成的 三角形与原三角形相似”来
16、判断两个三角形相似 重点 掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似 难点 熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数 一、情境引入 复习：什么是相似图形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？ 二、探究新知 教师展示多媒体，从复习引入，引导学生进行探究 1相似三角形的有关概念 由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相 似 三角形是最简单的多边形由此可以说什么样的两个三角形相似？ 如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在 ABC与ABC中， AA， BB， CC， AB AB BC BC AC
17、 AC， 那么ABC与ABC 相似，记作ABCABC.“”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两个三角形 相似就读作“ABC 相似于ABC” 由于AA，BB，CC，所以点 A 与点 A是对应顶点，点 B 与点 B 是对应顶点，点 C 与点 C是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以 便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边如果记 AB AB BC BC AC ACk，那么这个比 值 k 就表示这两个相似三角形的相似比，相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系如 ABCABC， 它的相似比为k， 即指 AB ABk， 那么ABC与ABC的相似比应是 AB AB ， 就不是 k
18、 了，应为多少呢？同学们想一想 如果ABCABC，相似比 k1，你会发现什么呢？ AB AB BC BC AC AC1，所以可 得 ABAB，BCBC，ACAC，因此这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同， 这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例试问：全等的两个三 角形一定相似吗？相似的两个三角形会全等吗？ 教师利用多媒体展示问题，引导学生探究问题，学生归纳总结，教师点评 2在ABC 中，点 D 是 AB 上任意一点，过点 D 作 DEBC，交 AC 边于点 E，那么 ADE 与ABC 是否相似？ 教师引导分析： 判断它们是否相似，由对应角是否相等，对应边是否成比例去考虑
19、能否得对应角 相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出， 而对应边是否成比例呢？可根据平行线分 线段成比例的基本事实，推得AE AC DE BC，通过度量发现 DE BC AD AB，所以可以判断出ADE 与 ABC 相似 思考 (1)你能否通过演绎推理证明你的猜想？ (2)若是 DEBC，DE 与 BA，CA 的延长线交于点 E，D，那么ADE 与ABC 还会 相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式 学生归纳总结： 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角 形相似 教师再展示例题，可由学生自主完成，点名上台展示，教师点评 例 1 如图，在ABC 中
20、，点 D 是边 AB 的三等分点，DEBC，DE5，求 BC 的长 解：DEBC， ADEABC， DE BC AD AB 1 3， BC3DE15. 三、练习巩固 第 1 题可由学生自主完成，第 2 题教师适当点拨，小组讨论后完成，上台展示，教师点 评 1如图，DEBC. (1)如果 AD2，DB3，求 DEBC 的值； (2)如果 AD8，DB12，AC15，DE7，求 AE 和 BC 的长 2如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，点 E 是边 AD 的中点，连接 BE 交 AC 于点 F， BE 的延长线交 CD 的延长线于点 G. (1)求证：GE GB AE BC； (2)若 GE2
21、，BF3，求线段 EF 的长 四、小结与作业 小结 你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑问？ 布置作业 从教材相应练习和“习题 23.3”中选取 本节课通过复习相似多边形的性质与判定引入三角形相似的概念，表示方法及判定方 法，通过思考探究、动手测量、猜想、演绎证明推导出相似三角形的判定的预备定理，即平 行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似， 并通过例题练习运用新知，深化理解 233.2 相似三角形的判定 第 1 课时 相似三角形的判定(1) 会判定两个三角形相似的方法： 两个角分别相等的两个三角形相似 会用这种方法判断 两个三角形是否相似 重点 相似三
22、角形的判定定理 1 以及推导过程，并会用判定定理 1 来证明和计算 难点 相似三角形的判定定理 1 的运用 一、情境引入 教师展示课件，提出问题 1两个矩形一定会相似吗？为什么？ 2如何判断两个三角形是否相似？根据定义：对应角相等，对应边成比例 3如图，ABC 与ABC会相似吗？为什么？是否存在判定两个三角形相似的简便 方法？本节就是探索识别两个三角形相似的方法 二、探究新知 同学们观察你与你的同伴用的三角尺，及老师用的三角板，如有一个角是 30的直角 三角尺，它们的大小不一样，这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索 (1)45角的三角尺是等腰直角三角形，它们是相似的； (2)3
23、0的三角尺，另一个锐角为 60，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学 们量一量它们的对应边，是否成比例呢？ 这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好 像就会“相似”，是这样吗？请同学们动手试一试： 1画两个三角形，使它们的三个角分别相等 画ABC 与DEF，使AD，BE，CF，在实际画图过程中，同学 们画几个角相等？为什么？ 实际画图中，只画AD，BE，则第三个角C 与F 一定会相等，这是根 据三角形内角和为 180所确定的 2用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？与同伴交流，是否有相同结 果 3发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个
24、三角形的三个角对应相等， 那么这两个三角形相似 4两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢？ 这是由于三角形具有它特殊的性质，三角形有稳定性，而四边形有不稳定性 于是我们得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法： 如果一个三角形的两角分别 与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说，两角对应相等，两三 角形相似 同学们思考， 能否再简便一些， 仅有一对角对应相等的两个三角形， 是否一定会相似呢？ 教师再展示课件，展示例 1，例 2，教师引导学生分析，学生完成 例 1 在ABC 与ABC中，AA50，B70，B60，这两个 三角形相似吗？ 解：由三角形的内角和定理知
25、 C180 AB180506070， CB， 又AA， ABCACB. 例 2 如图，在ABC 中，DEBC，EFAB，试说明ADEEFC. 证明：DEBC， AEDC. 又EFAB， CEFA. ADEEFC. 三、练习巩固 教师用多媒体展示习题，第 1 题由学生自主完成，第 2 题教师可适当点拨，注意分类讨 论 1在ABC 中，ACB90，CDAB 于点 D，找出图中所有的相似三角形 第 1 题图 第 2 题图 2 在ABC中， 点 D 是AB 边上的一点， 过点D 作一直线与AC相交于点 E， 要使ADE 与ABC 相似，你怎样画这条直线？说明理由，和你的同伴交流作法是否一样 【答案】1
26、.ACDCBDABC. 2有两种不同的画法： 过点 D 作 DEBC，DE 交 AC 于点 E： 以 AD 为一边在ABC 内部作ADEC，另一边 DE 交 AC 于点 E. 四、小结与作业 小结 这节课你学到哪些判定三角形相似的方法？还有什么疑惑，说说看 布置作业 从教材相应练习和“习题 23.3”中选取 本课时从学生所熟悉的特殊三角板入手， 通过学生动手操作探究相似三角形的判定定理 1，从中感受学习几何的乐趣，从而激发学生学习兴趣，培养学生的几何推理能力 第 2 课时 相似三角形的判定(2) 1掌握相似三角形的判定定理 2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似 2掌握相似三角形的判
27、定定理 3：三条边对应成比例的两个三角形相似 3能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似 重点 相似三角形的判定定理 2，3 的推导过程，掌握相似三角形的判定定理 2，3 并能灵活应 用 难点 相似三角形的判定定理的推导及应用 一、情境引入 复习 1现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？ 有两种方法：(1)根据定义；(2)有两个角对应相等的两个三角形相似 2如图，在ABC 中，点 D，E 是 AB，AC 上的三等分点(即 AD1 3AB，AE 1 3AC)， 那么ADE 与ABC 相似吗？你用的是哪一种方法？ 由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量得什么后可以
28、判断它们是否相 似？ 【教学说明】 可能有一部分同学用量角器量角， 有一部分同学量线段， 看看能否成比例， 无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学们说出是应用哪一种方法判断出的 二、探究新知 同学们通过量角或量线段计算之后，得出：ADEABC.从已知条件看，ADE 与 ABC 有一对对应角相等，即AA(是公共角)，而一个条件是 AD1 3AB，AE 1 3AC， 即是AD AB 1 3， AE AC 1 3，因此 AD AB AE AC.ADE 的两条边 AD，AE 与ABC 的两条边 AB，AC 对应成比例， 它们的夹角又相等， 符合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实 验，
29、观察教材图 23.3.10， 如果有一点 E 在边 AC 上， 那么点 E 应该在什么位置才能使ADE 与ABC 相似呢？ 图中的两个三角形的一组对应边 AD 与 AB 的长度的比值为1 3，将点 E 由点 A 开始在 AC 上移动，可以发现当 AE1 3AC 时，ADE 与ABC 相似，此时 AD AB AE AC. 猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并有夹角相等， 那么这两个三角形相似 你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？ 教师在此引导学生证明上述猜想，并在小组内交流，让学生归纳总结出判定定定理 2. 相似三角形的判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相
30、似 强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似，你能 画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？ (画顶角与底角相等的两个等腰三角形)BB， AB AB AC AC. 教师再展示课件，由学生自主完成 例 1 如图，在ABC 中，点 D，E 是 AB，AC 上的点，AB7.8，AD3，AC6， CE2.1，试判断ADE 与ABC 是否会相似，小张同学的判断理由是这样的： 解：ACAECE， 而 AC6，CE2.1， AE62.13.9， AD AB AE AC，ADE 与ABC 不相似 你同意小张同学的判断吗？请你说说理由 解：小张同学的判断是错
31、误的 AD AC 3 6， AE AB 3.9 7.8 1 2， AD AC AE AB， 而A 是公共角，AA，ADEACB. 请同学们再做一次实验， 看看如果两个三角形的三边都成比例， 那么这两个三角形是否 相似？ 看课本 69 页“做一做” 通过实验得出： 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例， 那么这 两个三角形相似，简单地说就是，三边成比例的两个三角形相似 教师可根据上述结论，再展示例 2，可由学生自主完成，教师点评 例 2 在ABC 和ABC中，AB6 cm，BC8 cm，AC10 cm，AB18 cm， BC24 cm，AC30 cm，试判定它们是否相似，并说明
32、理由 解： AB AB AC AC BC BC 1 3， ABCABC. 三、练习巩固 教师展示课件，引导学生自主完成，学生代表在黑板上展示，教师点评 1如图，ADE 与ABC 相似吗？请说明理由 第 1 题图 第 2 题图 2如图，已知AB AD BC DE AC AE，BAD20，求CAE 的大小 【答案】1.解：ADE 与ABC 相似 理由：AD AB 2 24 1 3， AE AC 2.5 2.55 1 3， AD AB AE AC. 又AA， ADEABC. 2解：AB AD BC DE AC AE， ABCADE， BACDAE， 又DAC 是公共角， CAEBAD20. 四、小结
33、与作业 小结 1相似三角形的判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 2相似三角形的判定定理 3：三边成比例的两个三角形相似 3根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似 布置作业 从教材相应练习和“习题 23.3”中选取 本节课通过复习上节课学习的相似三角形的判定定理入手， 提出新问题引入新课， 再通 过学生动手测量、猜想结论并证明等活动中的体验，完成对相似三角形的判定定理 2，3 的 认识，加深对判定定理的理解 教学过程中，强调学生自主探究和合作交流， 经历观察、 实验、 猜想、 证明等思维过程， 从中获得知识与技能，培养学生的综合能力 233.3 相似三角形的性质 会说出
34、相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比 等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 重点 1相似三角形中的对应线段比值的推导 2相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导 3运用相似三角形的性质解决实际问题 难点 相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用 一、情境引入 复习： 1判定两个三角形相似的简便方法有哪些？ 2在ABC 与ABC中，AB10 cm，AC6 cm，BC8 cm，AB5 cm，A C3 cm，BC4 cm，这两个三角形相似吗？说明理由如果相似，它们的相似比是 多少？ 二、探究新知 教师结合上述第
35、2 题，引导学生探究： 上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，ABCABC，相 似比为 AC AC2. 相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之处，还会得出什么结 果呢？ 一个三角形内有三条主要线段高线、中线、角平分线，如果两个三角形相似，那么 这些对应的线段有什么关系呢？我们先探索一下它们的对应高之间的关系 同学们画出上述的两个三角形， 作对应边 BC 和 BC边上的高， 用刻度尺量一量 AD 与 AD的长，AD AD等于多少呢？与它们的相似比相等吗？得出结论： 相似三角形对应高的比 等于相似比我们能否用推理的方法来说明这个结论呢？ ABD 和ABD都是直角三角
36、形，且BB. ABDABD， AD AD AB ABk. 接下来，教师再提出问题让学生归纳，并引导学生通过演绎推理来证明 思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系？ SABC SABC 1 2AD BC 1 2ADBC AD AD BC BCk 2 归纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方 同学们用上面类似的方法得出： 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比； 相似三角 形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比 教师展示例 1，引导学生分析，学生独立完成，小组内交流 例 1 如图， 梯形 ABCD 的对角线交于点 O， DC AB 2 3， 已知 SDOC4， 求 SAO
37、B， SAOD. 三、练习巩固 教师展示课件，可由学生自由完成，教师点名上台展示，教师点评 1如图，这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成 阴影(图形)的示意图已知桌面的直径为 1.2 m，桌面距离地面为 1 m，若灯泡距离地面 3 m， 则地面上阴影部分的面积为_ 【教学说明】运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键 2如图，在ABC 中，BC24 cm，高 AD12 cm，矩形 EFGH 的两个顶点 E，F 在 BC 上，另两个顶点 G，H 分别在 AC，AB 上，且 EFEH43，求 EF，EH 的长 四、小结与作业 小结 1相似三角形对应角相等，
38、对应边成比例 2相似三角形对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比 等于相似比的平方 布置作业 从教材相应练习和“习题 23.3”中选取 本课时从复习已经学习过的相似三角形的性质入手， 提出问题继续探究相似三角形的有 关性质，通过动手测量，猜想出结论，并加以证明，加深对知识的理解，提高学生分析、归 纳、表达、逻辑推理等能力，并通过对知识方法的总结，培养反思问题的习惯，形成理性思 维 233.4 相似三角形的应用 会应用相似三角形的有关性质， 测量简单的物体的高度或宽度 自己设计方案测量高度， 体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用 重点 构建相似三角形解决实际问题 难点
39、 把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决 一、情境引入 复习 1相似三角形有哪些性质？ 2如图，点 B，C，E，F 在同一直线上，ABBF，DEBF，ACDF. (1)DEF 与ABC 相似吗？为什么？ (2)若 DE1，EF2，BC10，那么 AB 等于多少？ (1)DEFABC.(2)AB5. 二、探究新知 教师结合多媒体展示，引导学生分析 第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出 AB 的长人们从 很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度 教师课件展示例 1，可由学生小组讨论交流，代表发言，教师点评 例 1 古代的数学家想出了一种测
40、量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度 OB， 先竖一根已知长度的木棒 OB，比较木棒的影长 AB与金字塔的影长 AB，即可近似算出金 字塔的高度 OB，如果 OB1 米，AB2 米，AB274 米，求金字塔的高度 OB. 【分析】因为太阳光是互相平行的，易得AOBAOB，从而求得 OB 的长度 解：太阳光是平行光线即 OAOA， OABOAB. 又ABOABO90， OABOAB. OB OB AB AB， OB2741 2 137(米) 答：金字塔的高度 OB 为 137 米 教师多媒体展示例 2，3，可由学生自主完成，点名上台展示，教师点评 例 2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河
41、对岸选定一个目标作为点 A，再在河的 这一边上选定点 B 和 C，使 ABBC，然后选定点 E，使 ECBC，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D，此时如果测得 BD120 米，DC60 米，EC50 米，求两岸间的大致距离 AB. 解：ADBEDC， ABCECD90， ABDECD(两角分别相等的两个三角形相似)， AB EC BD CD， 解得 ABBD EC CD 12050 60 100(米) 答：两岸间的大致距离 AB 为 100 米 这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法 例 3 如图， 已知点 D， E 是ABC 的边 AB， AC 上的点， 且ADEC.求证：
42、 AD AB AE AC. 【分析】把等积式化为比例式AD AC AE AB，猜想ADE 与ABC 相似，从而找条件加以 证明 证明：ADEC，AA， ADEACB(两角分别相等的两个三角形相似)， AD AC AE AB， ADABAE AC. 三、练习巩固 1如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间 隔都是 10 m，在这岸离开岸边 16 m 处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树 的树干遮住，这岸的两棵树之间有一棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，这段河的 河宽是多少米？ 【教学说明】先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得ABEACD，再根
43、据 对应线段成比例可求出河宽，即线段 BC 的长 2亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子方法测算其楼高，但恰逢阴天，于 是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自 己的位置，当楼的顶部 M，颖颖的头顶 B 及亮亮的眼睛 A 恰好在一条直线上时，两人分别 标定自己的位置 C，D，然后测出两人之间的距离 CD1.25 m，颖颖与楼之间的距离 DN 30 m(C，D，N 在一条直线上)，颖颖的身高 BD1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离 AC0.8 m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？ 【教学说明】过点 A 作 MN 的垂线段，构造
44、相似三角形 四、小结与作业 小结 这节课你学习了哪些知识，有哪些收获？还有哪些疑问？ 布置作业 从教材相应练习和“习题 23.3”中选取 本节课以生活实例为情境，引导学生探究如何建立相似的数学模型，构造相似三角形， 把实际问题转化为数学问题(相似)来解决，进一步提高学生应用数学知识的能力 23.4 中位线 1经历三角形中位线的性质定理形成过程 2掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单的问题 3通过命题的教学了解常用的辅助线的作法，并能灵活运用它们解题，进一步训练说 理的能力 重点 三角形中位线的性质定理 难点 三角形中位线的性质定理的应用 一、情境引入 在前面 23.3 节中，我们曾解
45、决过如下的问题：如图，在ABC 中，DEBC，则 ADEABC.由此可以进一步推知，当点 D 是 AB 的中点时，点 E 也是 AC 的中点，现 在换一个角度考虑，如果点 D，E 原来就是 AB 与 AC 的中点，那么是否可以推出 DEBC 呢？DE 与 BC 之间存在什么样的数量关系呢？ 二、探究新知 教师从课件展示的图片中引导学生进行猜想， 证明， 归纳得出三角形中位线的性质定理 1猜想：从画出的图形看，可以猜想： DEBC，且 DE1 2BC. 2证明：如图，在ABC 中，点 D，E 分别是 AB 与 AC 的中点， AD AB AE AC 1 2， 又AA， ADEABC(如果一个三角
46、形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并 且夹角相等，那么这两个三角形相似)， ADEABC，DE BC 1 2(相似三角形的对应角相等，对应边成比例)， DEBC，且 DE1 2BC. 思考：本题还有其他的解法吗？ 已知：如图，在ABC 中， ADDB，AEEC.求证：DEBC，DE1 2BC. 【分析】要证 DEBC，DE1 2BC，可延长 DE 到 F，使 EFDE，于是本题就转化为 证明 DFBC，DEBC，故只要证明四边形 BCFD 为平行四边形 还可以作如下的辅助线 【归纳结论】 我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线， 并且有三角形的 中位线平行于第三边，并且等于
47、第三边的一半 教师展示多媒体例 1，例 2，可由学生自主完成，教师可略作指导，分析 例 1 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分 已知：如图，在ABC 中，ADDB，BEEC， AFFC. 求证：AE，DF 互相平分 【分析】要证 AE，DF 互相平分，即要证四边形 ADEF 为平行四边形 证明：连结 DE、EF. ADDB，BEEC， DEAC， 同理可得 EFBA. 四边形 ADEF 是平行四边形 AE，DF 互相平分 例 2 如图，在ABC 中，点 D，E 分别是边 BC，AB 的中点，AD，CE 相交于点 G， 求证：GE CE GD AD 1 3. 【分析】有两边中点易想
48、到连结两边中点构造三角形的中位线 证明：连结 ED. 点 D，E 分别是边 BC，AB 的中点， DEAC，DE AC 1 2， ACGDEG， GE GC GD GA DE AC 1 2， GE CE GD AD 1 3. 思考：在例 2 的图中取 AC 的中点 F，假设 BF 与 AD 相交于点 G，如图，那么我们同 理可得GD AD 1 3，即两图中的 G 与 G是重合的，由此我们可以得出什么结论？ 归纳：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的 连线的长是对应中线长的1 3. 三、练习巩固 教师课件展示练习题 1，2，可由学生自主完成，小组内交流，再由教师点名上台展示， 教师点评 1如图，在ABCD 中，点 E，F 分别是 AD，BC 上的点，且 DECF，BE 和 AF 的 交点为点 M，CE 和 DF 的交点为点 N.求证：MNAD，MN1 2AD. 第 1 题图 第 2 题图 2如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 E，F 分别是 AB，CD 的 中点，且 ACBD，求证：OMON. 【答案】1.解：连结 EF，证四边形 ABFE 和四边形 DCFE 均为平行四边形，得 FM AM，FNDN，
