1、复习和小结 第第2222章章 一元二次方程一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 一、本章知识结构图 实际问题 实际问题的答案 数学问题 00 2 acbxax 数学问题的解 a acbb x 2 4 2 降 次 设未知数，列 方程 检 验 解 方 程 配方法 公式法 分解因式法 知识梳理知识梳理 1.比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数 与次数你能写出各种方程的一般形式吗？ 所学过的整式方程有：一元一次方程、一元二次方程和二 元一次方程 一元一次方程的未知数的个数为1个，次数为1 一元二次方程的未知数的个数为1个，次数为2 二元一次方程的未知数的个数为2个，次数为
2、1 一元一次方程的一般形式为： ax + b = 0 ( a0 ) 一元二次方程的一般形式为： ax2 + bx + c = 0 ( a0 ) 二元一次方程的一般形式为： ax + by = 0 ( a0, b0 ) 二、回顾与思考 2.一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下适用？ 体会降次在解一元二次方程中的作用 配方法、公式法和因式分解法 配方法、公式法适用于所有的一元二次方程 因式分解法适用于某些一元二次方程 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为 一次方程，即降次. 思 想 化为一次方程 得到一元二次 方程的解 降 次 解一元一 次方程 3.求根公式与配方法有什么关系？
3、什么情况下一元二次方 程有实数根？ 求根公式是通过配方法得到的，即任何一个一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a0 )，都可以通过配方转化为 2 2 2 4 4 2a acb a b x 当b24ac0时，一元二次方程 有实数根 ax2 + bx + c = 0 ( a0 ) a b x 2 , 4 4 2 2 a acb 1.若(a-3) +4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为 ( ) A.3 B.-3 C.3 D.无法确定 【自主解答】选B.因为方程是关于x的一元二次方程,所以a2- 7=2,且a-30,解得a=-3. 一元二次方程及根的有关概念 一 考点分类考点
4、分类 2 7a x 2.下列方程中,一定是一元二次方程的是( ) A.ax2+bx+c=0 B. x2=0 C.3x2+2y- =0 D. x2+ -5=0 【解析】选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中 含有两个未知数,D中的方程不是整式方程. 1 2 1 2 4 x 解方程x2-2x-1=0. 【自主解答】移项得x2-2x=1,配方得x2-2x+1=2,即(x-1)2=2, 开方得x-1= , x=1 ,所以x1=1+ , x2=1- . 2 22 2 一元二次方程的解法 二 用适当方法解下列方程. 0)1( 2 x 054 2 xx 05 2 xx 0263 2 xx （5） 0
5、423 2 2 xx （1） （2） （4） (3) （直接开方法） （配方法） （因式分解法） （公式法） （因式分解法） x1=x2=1 x1=-1,x2=5 x1=0, x2= 1 5 12 315315 33 x,x 12 2 2 5 x,x 若5k+200,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况 是( ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判断 【自主解答】选A.=16+4k= (5k+20), 5k+200,0,没有实数根. 4 5 根的判别式及根与系数的关系 三 已知一元二次方程:x2+2x+3=0,x2-2x-3=0,下列说法
6、正 确的是( ) A.都有实数解 B.无实数解,有实数解 C.有实数解,无实数解 D.都无实数解 【解析】选B.一元二次方程的判别式的值为= b2-4ac=4- 12=-80,所以方程有两个不相等的实数根. 关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根 x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是( ) A.1 B.-1 C.1或-1 D.2 【解析】选B.由题意得 x1+x2= , x1x2= ,因为x1- x1x2+x2=1-a,所以 解得a1=1,a2=-1. 当a=1时,原方程有两个相等的实数根,不合题意,舍去.所以 a=-1. 31a a 22a
7、 a 31221 11 aaa a,a, aaa 即 某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设 计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直 径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲 运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l= t2+ t(t0),乙以4cm/s 的速度匀速运动,半圆的长度为21cm. 1 2 3 2 一元二次方程的应用 四 (1)甲运动4s后的路程是多少? (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间? (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间? 【自主解答】(1)当t=4时, l= 42+ 4=1
8、4(cm). 答:甲运动4s后的路程是14cm. (2)设它们运动了ms后第一次相遇,根据题意,得: +4m=21, 解得m1=3,m2=-14(不合题意,舍去). 答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3s. 2 13 ( mm) 22 1 2 3 2 (3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: +4n=213, 解得n1=7,n2=-18(不合题意,舍去). 答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s. 2 13 ( nn) 22 【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审审清题意,找出等量关系. 2.设直接设未知数或间接设未知数. 3.列根据等量关系列出
9、一元二次方程. 4.解解方程,得出未知数的值. 5.验既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符合 实际情况. 6.答完整地写出答案,注意单位. 为响应“美丽广西清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西清 洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积 为498m2,绿化150m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天 的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿 化工作. (1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2? (2)在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地,矩形的长比 宽的2倍少3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米? 【解析】(1)设该项绿化工作原计划每天完成
10、xm2,则提高工作 量后每天完成1.2xm2,根据题意,得 ,解得x=22. 经检验,x=22是原方程的根. 答:该项绿化工作原计划每天完成22m2. (2)设矩形宽为ym,则长为(2y-3)m, 根据题意,得y(2y-3)=170, 解得y=10或y=-8.5(不合题意,舍去). 2y-3=17. 答:这块矩形场地的长为17m,宽为10m. 150498 150 20 1 2x. x 实际问题 设未知数， 列方程 数学问题 2 00axbxca 解 方 程 配方法 公式法 因式分解法 降 次 数学问题的解 2 2 4 40 2 bbac xbac a 检 验 实际问题的答案 复习归纳复习归纳 (1)直接开平方法 x2=b(b 0) (2)因式分解法 1、提取公因式法 2、平方差公式 3、完全平方公式 (3) 配方法 (4)公式法 当二次项系数为1的时 候，方程两边同加上 一次项系数一半的平 方 当b2-4ac0时，方程没有实数根 一 元 二 次 方 程 的 解 法 适应于任何 一个一元二 次方程 适应于任何 一个一元二 次方程 适应于左边能分解 为两个一次式的积， 右边是0的方程 当 时 04 2 acb a acbb x 2 4 2 适应于没有一次项的 一元二次方程
