1、第六节第六节 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用 ( (10年年9考，近考，近9年连续考查，考则年连续考查，考则1题，题，48分分) ) 目 录 考点精讲考点精讲 成都成都10年真题年真题+2019诊断检测诊断检测 教材改编题教材改编题 【对接教材】北师：九下第一章北师：九下第一章P1P27. 考点精讲考点精讲 锐角三角函 数及其应用 锐角三 角函数 直角三角形 的边角关系 锐角三角函 数的实际应用 锐角三角 函数的定义 特殊角 （30、45、 60、） 的三角函数值 三边关系 三角关系 边角关系 1.仰角、俯角 2.坡度、坡角 3.方向角 正弦 余弦 正切 sin cos tan A的
2、余弦：的余弦：cosA= = . 锐角三锐角三 角函数角函数 锐角三角函数的定义：如图，在锐角三角函数的定义：如图，在RtABC中，中，ACB90，A为为 ABC的一个锐角，的一个锐角， 则有则有 A的正弦：的正弦：sinA= = . A 的的对对边边 斜斜边边 A 的的邻邻边边 斜斜边边 A的正切：的正切：tanA= = . A A 的的对对边边 的的邻邻边边 a c b c a b 图 返回思维导图返回思维导图 特殊角的三特殊角的三 角函数值角函数值 30 45 60 sin . . cos . . tan . 锐角三锐角三 角函数角函数 1 2 2 2 3 3 3 1 2 2 2 3 2
3、 3 2 1 三角函数三角函数 返回思维导图返回思维导图 直直 角角 三三 角角 形形 的的 边边 角角 关关 系系 如图如图，在，在RtABC 中，中，C为直角，三为直角，三 边长分别为边长分别为a，b，c 三边关系：三边关系：a2+b2=c2 两锐角关系：两锐角关系：A+B=90 边角关系：边角关系：sinA=cosB= ， cosA=sinB= ， tanA= ，tanB= a c b c b a a b 图 返回思维导图返回思维导图 Rt ABC中中 ，C=90 已知已知 选择的边角关系选择的边角关系 斜边和一直角边斜边和一直角边 c，a 由由sinA= ，求求A；B=90- -A ；
4、b= . 两直角两直角边边 a，b 由由tanA= ，求求A；B=90- -A ；c= . 斜边和一锐角斜边和一锐角 c， A B=90-A；a=c sinA；b=c cosA 一直角边和一锐角一直角边和一锐角 a， A B=90-A；b= ；c= 直直 角角 三三 角角 形形 的的 边边 角角 关关 系系 a c a b tan a Asin a A 22 ca 22 ab 返回思维导图返回思维导图 锐角三角锐角三角 函数的实函数的实 际应用际应用 1.仰角、俯角：如图仰角、俯角：如图，在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线，在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线 上方的角叫上方的角叫
5、，视线在水平线下方的角叫，视线在水平线下方的角叫 . 2.坡度（坡比）、坡角：如图坡度（坡比）、坡角：如图，坡面的铅直高度，坡面的铅直高度h和水平宽度和水平宽度l的比叫的比叫 坡度（坡比），用字母坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的表示；坡面与水平线的 夹角夹角叫坡角，叫坡角，i=tan= . 仰角仰角 俯角俯角 h l 返回思维导图返回思维导图 3.方向角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为始方方向角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为始方 向旋转到目标方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成向旋转到目标方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成 北（南）偏（
6、西）多少度，如图北（南）偏（西）多少度，如图，A点位于点位于O点的北偏东点的北偏东 30方向，方向，B点位于点位于O点南偏东点南偏东60方向，方向，C点位于点位于O点的北点的北 偏西偏西45方向（或西北方向）方向（或西北方向） 锐角三角锐角三角 函数的实函数的实 际应用际应用 返回思维导图返回思维导图 成都成都10年真题年真题+2019诊断检测诊断检测 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系（在解直角三角形的实际应用中涉及在解直角三角形的实际应用中涉及） 命题点命题点 1 基础训练基础训练 1. (2019金牛区一诊金牛区一诊)如图，如图，ABC的顶点都在正方形网格的的顶点都在正方形网格的
7、格点上，则格点上，则tanBAC的值是的值是( ) A. B. 2 C. D. 第1题图 1 2 3 2 2 3 C 2. 如图，在如图，在ABC中，中，BC12，tanA ，B30，则，则AB的长为的长为( ) A. 12 B. 14 C. 66 D. 86 第2题图 3 4 33 D 解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用（10年年9考考） 命题点命题点 2 类型一类型一 解一个直角三角形解一个直角三角形(10年年5考考) 3. (2013成都成都14题题4分分 源自北师九下源自北师九下P21第第1题题)如图，某山坡的坡面如图，某山坡的坡面AB200米，米， 坡角坡角BAC30，则该
8、山坡的高，则该山坡的高BC的长为的长为_米米 第3题图 100 4. (2014成都成都16题题6分分 源自北师九下源自北师九下P10第第4题题)如图，在一次数学课外实践活动中，如图，在一次数学课外实践活动中， 小文在点小文在点C处测得树的顶端处测得树的顶端A的仰角为的仰角为37，BC20 m，求树的高度，求树的高度AB.(参考数参考数 据：据：sin 370.60，cos 370.80，tan 370.75) 解：解：在点在点C处测得树的顶端处测得树的顶端A的仰角为的仰角为 37，tan37 ，(2分分) ABBC tan37200.7515.(5分分) 答：树的高度答：树的高度AB约为约为
9、15 m(6分分) AB BC 第4题图 5. (2011成都成都16题题6分分 源自北师九下源自北师九下P10第第4题题)如图，在亚丁湾一海域执行护航任务如图，在亚丁湾一海域执行护航任务 的我海军某军舰由东向西行驶在航行到的我海军某军舰由东向西行驶在航行到B处时，发现灯塔处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向在我军舰的正北方向 500米处，当该军舰从米处，当该军舰从B处向正西方向行驶到达处向正西方向行驶到达C处时，发现灯塔处时，发现灯塔A在我军舰的北在我军舰的北 偏东偏东60的方向求该军舰行驶的路程的方向求该军舰行驶的路程(计算过程和结果均不取近似值计算过程和结果均不取近似值) 第5题图 解：解
10、： 由题意可知，由题意可知，B90，由，由C处看灯塔处看灯塔A在北偏东在北偏东60方方 向可知向可知A60， AB500，(1分分) 在在RtABC中，中，BCAB tanA500tan60500 .(5分分) 答：该军舰行驶的路程为答：该军舰行驶的路程为500 米米 (6分分) 3 3 6 . (2016成都成都17题题8分分 源自北师九下源自北师九下P10第第4题题)在学习完在学习完“利用三角函数测高利用三角函数测高”这节这节 内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动如图，在测点内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动如图，在测点A处处 安置测倾器，量出高度安置测倾
11、器，量出高度AB1.5 m，测得旗杆顶端，测得旗杆顶端D的仰角的仰角DBE32，量出测，量出测 点点A到旗杆底部到旗杆底部C的水平距离的水平距离AC20 m根据测量数据，求旗杆根据测量数据，求旗杆CD的高度的高度(参考参考 数据：数据：sin320.53，cos320.85，tan320.62) 第6题图 解：由题意得解：由题意得BEAC20， 在在RtDBE中，中，tanDBE ， DEBE tanDBE200.6212.4.(4分分) 又又CEAB1.5， CDCEDE1.512.413.9.(7分分) 答：旗杆答：旗杆CD的高度约为的高度约为13.9 m(8分分) 【思维教练】要求【思维
12、教练】要求CD的长，可通过求的长，可通过求DE的长求解已知的长求解已知AC，即可得，即可得BE的长，的长， 解解RtBDE即可求得即可求得DE的长，进而求解的长，进而求解 DE BE 类型二类型二 解两个直角三角形解两个直角三角形(10年年4考考) 7 . (2019成都成都18题题8分分 源自北师九下源自北师九下P26第第17题题)2019年，年， 成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这 大幅提升了成都市的国际影响力如图，在一场马拉松大幅提升了成都市的国际影响力如图，在一场马拉松 比赛中，某人在大楼比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门
13、处，测得起点拱门CD的顶部的顶部C的的 俯角为俯角为35，底部，底部D的俯角为的俯角为45，如果，如果A处离地面的高处离地面的高 度度AB20米，求起点拱门米，求起点拱门CD的高度的高度(结果精确到结果精确到1米；米； 参考数据：参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70) 第7题图 解：如解图，过点解：如解图，过点C作作CFAB于点于点F. AEBD，BDAB， CFBDAE. ADBEAD45，ACFEAC35. ABD90，AB20， BD20. 【思维教练】过点【思维教练】过点C作作CFAB于点于点F，要求，要求CD即要求即要求BF的长已知的长已知AB及及AD
14、B， 解解RtADB即可求得即可求得BD长，即可得长，即可得CF的长，已知的长，已知ACF，解，解RtACF即可求得即可求得 AF的长，进而求得的长，进而求得BF. 第7题解图 CDBD，BFBD，CFAB， 四边形四边形BDCF是矩形是矩形 CFBD20，CDBF.(4分分) 在在RtACF中，中，tanACF ，CF20， AF20 tan35. CDBFABAF2020 tan356.(7分分) 答：起点拱门答：起点拱门CD的高度约为的高度约为6米米(8分分) AF CF 第7题解图 8. (2015成都成都17题题8分分 源自北师九下源自北师九下P12)如图，登山缆车从点如图，登山缆车
15、从点A出发，途经点出发，途经点B后到后到 达终点达终点C. 其中其中AB段与段与BC段的运行路程均为段的运行路程均为200 m，且，且AB段的运行路线与水平面的段的运行路线与水平面的 夹角为夹角为30，BC段的运行路线与水平面的夹角为段的运行路线与水平面的夹角为42，求缆车从点，求缆车从点A运行到点运行到点C的的 垂直上升的距离垂直上升的距离(参考数据：参考数据：sin420.67，cos420.74，tan420.90) 解：在解：在RtABD中，中，sinBAD ， BDAB sin30200 100，(2分分) 在在RtCBE中，中，sinCBE ， CEBC sin422000.671
16、34 ，(4分分) BDCE100134234 m，(7分分) 答：缆车从点答：缆车从点A运行到点运行到点C垂直上升的距离约为垂直上升的距离约为234 (m)(8分分) BD AB 1 2 CE BC 第8题图 9. (2018成都成都18题题8分分 源自北师九下源自北师九下P21第第4题题)由我国完全自主设计、自主建造的首由我国完全自主设计、自主建造的首 艘国产航母于艘国产航母于2018年年5月成功完成第一次海上试验任务如图，航母由西向东航行，月成功完成第一次海上试验任务如图，航母由西向东航行， 到达到达A处时，测得小岛处时，测得小岛C位于它的北偏东位于它的北偏东70方向，且与航母相距方向，
17、且与航母相距80海里，再航行海里，再航行 一段时间后到达一段时间后到达B处，测得小岛处，测得小岛C位于它的北偏东位于它的北偏东37方向如果航母继续航行至方向如果航母继续航行至 小岛小岛C的正南方向的的正南方向的D处，求还需航行的距离处，求还需航行的距离BD的长的长(参考数据：参考数据：sin700.94， cos700.34，tan702.75，sin370.60，cos370.80，tan370.75) 第9题图 解：由题可知：解：由题可知：ACD70，BCD37，AC80， 在在RtACD中，中，cosACD ， CDAC cos70800.3427.2.(5分分) 在在RtBCD中，中，
18、tanBCD ， BDCD tan3727.20.7520.4.(7分分) 答：还需航行的距离答：还需航行的距离BD的长约为的长约为20.4海里海里(8分分) CD AC BD CD 10. (2017成都成都18题题8分分 源自北师九下源自北师九下P15第第4题题)科技改变生活，手机导航极大地科技改变生活，手机导航极大地 方便了人们的出行如图，小明一家自驾到古镇方便了人们的出行如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达游玩，到达A地后，导航显示地后，导航显示 车辆应沿北偏西车辆应沿北偏西60方向行驶方向行驶4千米至千米至B地，再沿北偏东地，再沿北偏东45方向行驶一段距离方向行驶一段距离 到达古镇到
19、达古镇C，小明发现古镇，小明发现古镇C恰好在恰好在A地的正北方向，求地的正北方向，求B，C两地的距离两地的距离 第10题图 解：如解图，过点解：如解图，过点B作作BDAC于点于点D， 在在RtABD中，中，AB4，sin60 ， BD ，(6分分) 在在RtBCD中，中，cos45 ， BC . 答：答：B，C两地的距离为两地的距离为 千米千米(8分分) 第10题解图 3 2 BD AB 2 2 BD BC 2 3 2 6 2 6 教材改编题教材改编题 (北师九下北师九下P10第第4题题)如图，身高如图，身高1.75 m的小丽用一个两锐角分别为的小丽用一个两锐角分别为30和和60 的三角尺测量
20、一棵树的高度的三角尺测量一棵树的高度(A30)，已知她与树之间的距离为，已知她与树之间的距离为5 m，那么，那么 这棵树大约有多高？这棵树大约有多高？(结果精确到结果精确到0.1 m，参考数据：，参考数据： 1.73) 教材母题1图 3 教材母题教材母题 1 解：由题意得解：由题意得ADBE5，DEAB1.75，在，在RtACD中，中， tanCAD ，即，即tan30 ， CD5 tan30， CECDDE5 tan301.754.6， 答：这棵树大约高答：这棵树大约高4.6 m. CD AD5 CD 对接中考对接中考 1. (2018锦州锦州)如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防如图，
21、某消防队在一居民楼前进行演习，消防 员利用云梯成功救出点员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点处的求救者后，又发现点B正上方点正上方点 C处还有一名求救者，在消防车上点处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点处测得点B和点和点C的仰的仰 角分别为角分别为45和和65.点点A距地面距地面2.5米，点米，点B距地面距地面10.5米，为米，为 救出点救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少约为多少 米？米？(结果保留整数，参考数据：结果保留整数，参考数据：tan652.1，sin650.9， cos650.4， 1.4) 2 第1题图 解：如解图
22、，过点解：如解图，过点A作作ADBN，垂足为，垂足为D，则，则CAD65，BAD45， 由题意得由题意得BN10.5，DN2.5， BDBNDN10.52.58， 在在RtABD中，中，ABDBAD45， ADBD8， 在在RtACD中，中， CDAD tanCAD8tan6582.116.8， BCCDBD16.888.89. 答：云梯需要继续上升的高度答：云梯需要继续上升的高度BC约为约为9米米 第1题解图 (北师九下北师九下P19想一想想一想)如图，小明想测量塔如图，小明想测量塔CD的高度，他在的高度，他在A处仰望塔顶，测得处仰望塔顶，测得 仰角为仰角为30，再往塔的方向前进，再往塔的方
23、向前进50 m至至B处，测得仰角为处，测得仰角为60，那么该塔有多，那么该塔有多 高？高？(小明的身高忽略不计，结果精确到小明的身高忽略不计，结果精确到1 m，参考数据：，参考数据： 1.73) 3 教材母题2图 教材母题教材母题 2 解：解：DAB30，DBC60，DCAC， BDC90DBC30，ADBDAB30， BDAB50 m， 在在RtDCB中，中，DCBD sin6050 25 43. 答：该塔高约为答：该塔高约为43 m. 3 2 3 对接中考对接中考 2. (2019湘潭湘潭)我国于我国于2019年年6月月5日首次完成运载火箭海上发射，日首次完成运载火箭海上发射， 这标志着我
24、国火箭发射技术达到了一个崭新的高度如图，运这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度如图，运 载火箭从海面发射站点载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点处垂直海面发射，当火箭到达点A处处 时，海岸边时，海岸边N处的雷达站测得点处的雷达站测得点N到点到点A的距离为的距离为8千米，仰角千米，仰角 为为30.火箭继续直线上升到达点火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边处，此时海岸边N处的雷达处的雷达 测得测得B处的仰角增加处的仰角增加15，求此时火箭所在点，求此时火箭所在点B处与发射站点处与发射站点M 处的距离处的距离(结果精确到结果精确到0.1千米，参考数据：千米，参考数据： 1.4
25、1， 1.73) 32 第2题图 解：由题意得解：由题意得AMN90，ANM30，BNM45，AN8. 在在RtAMN中，中，cosANM ， MNAN cosANM8cos308 . 在在RtBMN中，中，BNM45， MBMN 41.736.9. 答：此时火箭所在点答：此时火箭所在点B处与发射站点处与发射站点M处的距离约为处的距离约为6.9千米千米 MN AN 3 2 4 3 4 3 教材母题教材母题3 (北师九下北师九下P15第第4题题)如图，物华大厦离小伟家如图，物华大厦离小伟家50 m，小伟从自家的窗中眺望大厦，小伟从自家的窗中眺望大厦， 并测得大厦顶部的仰角是并测得大厦顶部的仰角是
26、45，而大厦底部的俯角是，而大厦底部的俯角是37，求该大厦的高度，求该大厦的高度 (结果精确到结果精确到0.1 m，参考数据：，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75) 教材母题3图 教材母题教材母题 3 在在RtAEC中，中， ECAE tanEAC50 tan37， 在在RtADE中，中， DAE45，AED90， DEAEBC50， DCDECE5050 tan3787.5. 答：该大厦的高度约为答：该大厦的高度约为87.5m. 教材母题3解图 解：如解图，过点解：如解图，过点A作作AECD于点于点E， ABBC，DCBC， 四边形四边形ABCE是矩形，是矩
27、形， BC50，AEBC50， 对接中考对接中考 3. (2018眉山眉山)知识改变世界，科技改变生活导航装备的不断更知识改变世界，科技改变生活导航装备的不断更 新极大方便了人们的出行如图，某校组织学生乘车到黑龙滩新极大方便了人们的出行如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用用 C表示表示)开展社会实践活动，车到达开展社会实践活动，车到达A地后，发现地后，发现C地恰好在地恰好在A地的地的 正北方向，且距离正北方向，且距离A地地13千米，导航显示车辆应沿北偏东千米，导航显示车辆应沿北偏东60方方 向行驶至向行驶至B地，再沿北偏西地，再沿北偏西37方向行驶一段距离才能到达方向行驶一段距离才能到达C地，地
28、， 求求B，C两地的距离两地的距离(参考数据：参考数据：sin53 ，cos53 ， tan53 ) 4 5 3 5 4 3 第3题图 解：如解图，过点解：如解图，过点B作作BDAC于点于点D， 根据题意得根据题意得A60， CBD903753， 在在RtBCD中，中， cosCBD ， BDBC cosCBDBC cos53 BC, sinCBD ， CDBC sinCBDBC sin53 BC, 在在RtABD中，中，tan60 ， AD , ADCDAC，AC13， BC BC13, 解得解得BC20 . 答：答：B，C两地的距离约为两地的距离约为(20 )千米千米 BD BC 3 5
29、CD BC BD AD 4 5 33 tan6035 BD BDBC 3 5 4 5 5 3 5 3 第3题解图 (北师九下北师九下P26第第17题题)如图，大楼高如图，大楼高30 m，远处有一塔，远处有一塔BC，某人在楼底，某人在楼底A处测得处测得 塔顶的仰角为塔顶的仰角为60，爬到楼顶，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为测得塔顶的仰角为30，求塔高，求塔高BC及大楼与塔及大楼与塔 之间的距离之间的距离AC.(结果精确到结果精确到0.01 m) 解：根据题意得，四边形解：根据题意得，四边形ADEC是矩形，是矩形， ADCE30 m，ACDE，BAC60，BDE30， 设设ACDEx， 在在RtABC
30、中，中，tanBAC ， BCAC tan60 x， 教材母题4图 3 BC AC 教材母题教材母题 4 在在RtBDE中，中，tanBDE ， BEDE tanBDEDE tan30 ， BCBEEC 30， ， 解得解得x 25.98， BC 45 . 答：塔高答：塔高BC为为45 m，大楼与塔之间的距离，大楼与塔之间的距离AC约为约为25.98 m. 3 3 x 3 3 x BE DE 3 330 3 xx 15 3 3315 3x 对接中考对接中考 4. (2019黄冈黄冈)如图，两座建筑物的水平距离如图，两座建筑物的水平距离BC为为40 m，从，从A点测得点测得D点的俯角点的俯角 为
31、为45，测得，测得C点的俯角点的俯角为为60.求这两座建筑物求这两座建筑物AB，CD的高度的高度(结果保留小结果保留小 数点后一位，数点后一位， 1.414， 1.732.) 23 第4题图 解：如解图，过点解：如解图，过点D作作DEAB于点于点E， 45，60， DAB45，CAB30. AED为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， 易得四边形易得四边形BCDE为矩形为矩形 AEDEBC40. 在在RtABC中，中，AB 401.73269.3， CDBEABAE69.34029.3. 答：答：AB的高度约为的高度约为69.3 m，CD的高度约为的高度约为29.3 m. 第4题解图 40 40 3 tantan30 BC CAB 点击链接至练习册点击链接至练习册 W
