1、 第 14 章 勾股定理 141 勾股定理 141.1 直角三角形三边的关系 1体验勾股定理的探索 2会用勾股定理求直角三角形的边长 重点 用勾股定理求直角三角形的边长 难点 用拼图法证明勾股定理 一、创设情境 下图是我国三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图和希腊政府为纪念希腊历史 上著名的数学家毕达哥拉斯而发行的一张邮票观察这两个图形，你有什么感想？ 二、探究新知 活动一： 问题：如图所示是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，回答下 列问题： (1)设每个小正方形的边长为 1 个单位，则小正方形 P 的面积_，小正方形 Q 的面积_，两者之和_，大正方形 R 的两积_.
2、 (2)你发现了什么？ (3)你能把你的发现与ABC 的三边 a，b，c 联系起来吗？ _ 活动二： 观察下图，如果每一小方格表示 1 平方厘米，用观察到的结果填空： (1)正方形 P 的面积_平方厘米；正方形 Q 的面积_平方厘米；正方 形 R 的面积_平方厘米； (2)正方形 P，Q，R 的面积之间的关系是_； (3)由此得到 RtABC 的三边的长度之间存在关系_ 活动三： 在练习本上，用三角尺画出两条直角边分别为 5 cm、12 cm 的直角三角形，然后用刻度 尺量出斜边的长，并验证上述关系式对这个直角三角形是否成立两条直角边的长为 6 cm 和 8 cm 呢？ 活动四： (1)根据你
3、所得到的关系式，你能用数学语言把这个结论叙述出来吗？ (2)运用此定理的前提条件是什么？ (3)公式 a2b2c2的变形公式有哪些？ (4)由(3)知在直角三角形中，只要知道_条边，就可以利用_求 出_ 三、练习巩固 1(1)在 RtABC 中，C90，AC5，BC12，则 AB_； (2)在 RtABC 中，C90，AB25，AC20，则 BC_； (3)在 RtABC 中，C90，它的两边长是 6 和 8，则它的第三边长是_ 2如图，在ABC 中，AB13，BC14，AC15，求 BC 边上的高 四、小结与作业 小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流， 在学生发言的基础上
4、， 教师 归纳总结 作业 教材第 117 页习题 14.1 第 1，2，3 题 新课程标准对勾股定理这部分教学要求与旧大纲有所不同， 新课程标准对勾股定理这部 分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单的实际问题本节课教 师从引导结构的图形入手，用面积法证明勾股定理难度不大，但面积法在教材中首次用到， 基于此教师在教学过程中应给予适当的引导，让学生体会成功的快乐 141.2 直角三角形的判定 1理解勾股定理的逆定理的证明方法 2能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形 重点 用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形 难点 勾股定理逆定理的证明 一、创设情境 实验观察
5、 实验方法：用一根打上 13 个等距离结的细绳子，让同学操作，把钉子钉在第一个结上， 再钉在第 4 个结上，再钉在第 8 个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起，然后用角 尺量出最大角的度数(90)，可以发现这个三角形是直角三角形 显示投影片 1 二、探究新知 教师活动： 古埃及人曾经用过这种方法来得到直角， 这个三角形三边长分别为多少？(3， 4，5)这三边满足了怎样的条件呢？(324252)，是不是只有三边长为 3，4，5 的三角形 才能构成直角三角形呢？请同学们动手画一画，如果三角形的三边分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，满足关系式“2.52626.52” ，画出的三角形
6、是直角三角形吗？换成三边分别为 5 cm， 12 cm，13 cm 或 8 cm，15 cm，17 cm 呢？ 学生活动：动手画图，体验发现，得到猜想 教师活动：操作投影仪，提出探究的问题，引导学生思考，然后再提问个别学生 学生活动：拿出事先准备好的纸片、剪刀，实验、领会、感悟：(1)它们完全重合； (2)理由：在ABC中，AB2BC2AC2a2b2，因为 a2b2c2，因此，A Bc.在ABC 和ABC中，BCaBC，ACbAC，ABcAB，推出 ABCABC，所以CC90，可见ABC 是直角三角形 教师归纳：如果一个三角形的三边长 a，b，c 有关系 a2b2c2，那么这个三角形是直 角三
7、角形，且边 c 所对的角是直角 教学说明：采用实验、观察、比较的教学方法，突破难点 出示习题：(投影显示) 1以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( ) A5，6，7 B10，8，4 C7，25，24 D9，17，15 2以下列各组正数为边长，能组成直角三角形的是( ) Aa1，2a，a1 Ba1，2 a，a1 Ca1， 2a，a1 Da1， 2a，a1 答案：1.C 2.B，(a1)2(2 a)2(a1)2. 教学说明： 引导学生用勾股定理的逆定理判别直角三角形的方法 两较小边的平方和等 于第三边的平方 三、练习巩固 1某港口位于东西方向的海岸线上， “远航号”和“海天号”轮船同时离开港
8、口，各自 沿固定的方向航行， “远航号”每小时行 16 海里， “海天号”每小时行 12 海里，它们离开港 口 1.5 小时后相距 30 海里，如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪 个方向航行吗？ 2若ABC 的三边 a，b，c 满足条件 a2b2c233810a24b26c，试判断ABC 的形状 四、小结与作业 小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结 作业 教材第 118 页习题 14.1 第 5 题 这节课在勾股定理的基础上， 让学生学会如何从三边的关系来判定一个三角形是直角三 角形，即“勾股定理的逆定理”在证明它
9、时，学生可能有些困难，因此课堂教学时先动手 操作观察，进而得出用勾股定理证明 ABAB. 教案中设计题型前呼后应， 使知识有序推进， 有助于学生理解与掌握； 通过合作、 交流、 反思、感悟的过程，激发学生探究的兴趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的 主人 141.3 反证法 1理解反证法 2会用反证法证明较简单的题 重点 用反证法证明几何命题 难点 反证法中渗透“正难则反”的思想 一、创设情境 出示多媒体，展示路旁苦李的故事的动画场景，引入反证法的课题 二、探究新知 (一)提出问题 1 两点确定_条直线： 过直线外一点有且只有_条直线与已知直线平行； 过一点有且只有_条直线与已知直线
10、垂直 2在 RtABC 中，如果 ABc，BCa，ACb，且C90，那么 a，b，c 三边 有怎样的关系？ (二)问题探究 1问题：若将上面的条件改为“在ABC 中，ABc，BCa，ACb，C90” ， 请问结论 a2b2c2成立吗？请说明理由 2探究：假设 a2b2c2，由勾股定理可知三角形 ABC 是直角三角形，且C90， 这与已知条件C90矛盾，因此假设不成立，从而说明原结论 a2b2c2成立 3归纳：这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后 经过正确的逻辑推理， 得出与已知、 定理、 公理、 定义矛盾的结论， 从而得到原结论正确 像 这样的证明方法叫做反证法
11、4应用 例 1 (教材第 116 页例 5)求证：两条直线相交只有一个交点 已知：两条相交直线 l1与 l2. 求证：l1与 l2只有一个交点 证明：假设 l1与 l2不止一个交点，不妨假设 l1与 l2有两个交点 A 和 B，因为两点确定 一条直线，即经过点 A 和 B 的直线只有一条，与已知两条直线矛盾，所以两条直线相交只 有一个交点 例 2 (教材第 116 页例 6)求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60. 已知：ABC. 求证：ABC 中至少有一个内角小于或等于 60. 例 3 (补充)求证：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 (1)你首先会选择哪
12、一种证明方法？ (2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ (3)能不用反证法证明吗？你是怎样证明的？ 三、练习巩固 1写出用“反证法”证明下列命题的第一步假设 (1)互补的两个角不能都大于 90； (2)在ABC 中，最多有一个钝角； (3)在ABC 中，最大的一个内角不小于 60. 2反证法证明：如果实数 a，b 满足 a2b20，那么 a0 且 b0. 四、小结与作业 小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结 作业 教材第 117 页练习第 2 题 反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学的难点，如何突破这一难点，并让
13、学生更 好地理解和掌握是需要教师精心设计的 在教学时应注意三个思维障碍： 1.思维方向的转换， 不能总用直接法；2.证明步骤存在障碍；3.归谬起点推证存在障碍为使学生更好地理解并 掌握反证法，应积极引导学生克服上述思维上的障碍，并通过有关题目训练，使学生掌握反 证法 教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时，应穷举；“归谬”这一步应包含 “归导”与“揭谬”两个层次 142 勾股定理的应用 第 1 课时 勾股定理的应用(1) 1会用勾股定理解决较综合的问题 2树立数形结合的思想 重点 勾股定理的综合应用 难点 勾股定理的综合应用 一、创设情境 如图，在 55 的正方形网格中，每个小正方形的边
14、长都要为 1，请在网格中按下列要 求画出图形： (1)从点 A 出发画一条线段 AB，使它的另一个端点 B 在格点(即小正方形的顶点)上，且 长度为 2 2； (2)画出所有的以(1)中 AB 为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长 度都是无理数 二、探究新知 如图，滑竿在机械槽内运动，ACB 为直角，已知滑竿 AB 长 2.5 米，顶点 A 在 AC 上运动，量得滑竿下端 B 距点 C 的距离为 1.5 米，当端点 B 向右移动 0.5 米时，求滑竿顶端 A 下滑多少米？ 分析：滑竿在下滑中它的长度是不变的，先在 RtACB 中利用勾股定理求出 AC 的长， 然后再在 RtEC
15、D 中利用勾股定理求出 CE 的长，即可求出 AE 的长 教师点拨：勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，它的前提是直角三角形，在求解时 常运用题目中的条件构造直角三角形， 而构造直角三角形的方式有两种： 一是根据已知条件 中的直角构造；二是作垂线构造 三、练习巩固 1如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)， 计算两圆孔中心 A 和 B 之间的距离 2从地图上看(如图所示)，南京玄武湖东西向隧道与中央路北段及龙蟠路大致成直角 三角形从 B 处到 C 处，如果直接走湖底隧道 BC，将比绕道 BA(约 1.36 km)和 AC(约 2.95 km)减少多少行程(精
16、确到 0.1 km)? 四、小结与作业 小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流， 在学生发言的基础上， 教师 归纳总结 作业 教材第 123 页习题 14.2 第 13 题 本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题(或数学问题)在实际生活中，很多 问题可以用勾股定理解决， 而解决这类问题都需要将其转化为数学问题， 也就是通过构造直 角三角形来完成教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量，或 者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建立 直角三角形模型 第 2 课时 勾股定理的应用(2) 1会用勾股定理解决简单的实际问
17、题 2树立数形结合的思想 重点 勾股定理的应用 难点 实际问题向数学问题的转化 一、创设情境 从实际问题中抽象出几何图形， 让学生画好图； 在实际问题向数学问题的转化过程中， 注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不同条件、不 同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用、灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参 与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性 二、探究新知 例 1 如图，一圆柱体底面周长为 20 cm，高 AB 为 4 cm，BC 是上底面的直径一只 蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程 分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，
18、如果将这半个侧面展开(如图)，得到长 方形 ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图长方形对角线 AC 之长(精确到 0.01 cm) 解：如图，在 RtABC 中，BC底面周长的一半10 cm， AC AB2BC2 42102 11610.77(cm)(勾股定理) 答：爬行的最短路程约为 10.77 cm. 例 2 在 RtABC 中，已知两直边 a 与 b 的和为 p cm，斜边长为 q cm，求这个三角形 的面积 解：abp，cq， a22abb2(ab)2p2， a2b2q2(勾股定理)， 2abp2q2， SRtABC1 2ab 1 4(p 2q2)(cm2
19、) 教学说明：因为 RtABC 的面积等于1 2ab，所以只要求出现 ab 就可以完成本道题分 析已知条件可知 abp，cq，再联想到勾股定理 a2b2c2，则这个问题就可以化归到 一个代数问题上解决，由 abp，a2b2q2，求出 ab. 教师活动：操作投影仪，显示“课堂演练”，启发、引导学生，关注“学困生” 学生活动：先独立完成，当有困难时，寻求同伴的帮助，通过相互交流以解决问题 三、练习巩固 1一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂， 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂门上方为半圆形拱门)? 2如图，CD6 cm，AD8 cm，ADC90，B
20、C24 cm，AB26 cm.求图中阴 影部分的面积 四、小结与作业 小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结 作业 教材第 123 页习题 14.2 第 4，5 题 本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题(或数学问题)在实际生活中，很多 问题可以用勾股定理解决， 而解决这类问题都需要将其转化为数学问题， 也就是通过构造直 角三角形来完成教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量，或 者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建立 直角三角形模型本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意化 “曲”为“平” ，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系
