1、3.4 反 证 法课件1.1.了解反证法是间接证明的一种重要的方法了解反证法是间接证明的一种重要的方法.2.2.理解反证法的思考过程与特点，并会用反证法证明数学问题理解反证法的思考过程与特点，并会用反证法证明数学问题.1.1.本课重点是反证法的思考过程与特点本课重点是反证法的思考过程与特点.2.2.本课难点是反证法的综合应用本课难点是反证法的综合应用.1.1.反证法的概念反证法的概念在证明数学命题时，先假定命题结论的在证明数学命题时，先假定命题结论的_成立，在这个前成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相提下，若推出的结果与定义、公理、定理相_，或与命题，或与命题中的已知条件相中的
2、已知条件相_，或与假定相，或与假定相_，从而说明命题结论，从而说明命题结论的的_不可能成立不可能成立.由此断定命题的结论成立，这种证明方法由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫反证法叫反证法.反面反面矛盾矛盾矛盾矛盾矛盾矛盾反面反面2.2.反证法证题的三个步骤反证法证题的三个步骤(1)(1)反设反设作出否定作出否定_的假设；的假设；(2)(2)推理推理进行推理，导出进行推理，导出_；(3)(3)结论结论否定否定_，肯定，肯定_._.结论结论矛盾矛盾假设假设结论结论1.1.用反证法证明命题用反证法证明命题“若若p p则则q”q”时，为什么时，为什么假，假，q q就真？就真？提示：提示：在证明数学
3、命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，所以命题结论二者必居其一，所以命题结论q q的反面的反面错误时，错误时，q q一定正确一定正确.2.2.反证法解题的实质是什么？反证法解题的实质是什么？提示：提示：用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原命题正确原命题正确.3.3.用反证法证明命题用反证法证明命题“如果如果a ab b，那么，那么 ”时，假设的时，假设的内容应是内容应是_._.【解析解析】与与 的关系有三种情况：的关系有三种情况：和和所以所以“”的反设应为的反设应为“
4、或或 ”即即“”.答案：答案：33ab3333ab,ab33ab，33ab33ab33ab33ab33ab3a3b对反证法概念的理解对反证法概念的理解(1)(1)反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性性.(2)(2)反证法中的反证法中的“反设反设”是应用反证法的第一步，也是关键的是应用反证法的第一步，也是关键的一步一步.“.“反设反设”的结论将是下一步的结论将是下一步“归谬归谬”的一个已知条件，的一个已知条件，“反设反设”是
5、否正确、全面，将直接影响下一步的证明是否正确、全面，将直接影响下一步的证明.做好做好“反设反设”应正确分清题设和结论应正确分清题设和结论,对结论实施正确的否定对结论实施正确的否定,对结对结论否定后，找出其所有的分类情况论否定后，找出其所有的分类情况.(3)(3)反证法的反证法的“归谬归谬”是反证法的核心，其含义是：是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设从命题结论的假设(即把即把“反设反设”作为一个新的已知条件作为一个新的已知条件)及原及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果条件、定义
6、、定理、公理等相矛盾的结果.用反证法证明否定性命题用反证法证明否定性命题【技法点拨技法点拨】用反证法证明否定性命题的适用类型用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有结论中含有“不不”、“不是不是”、“不可能不可能”、“不存在不存在”等词等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法比较具体，适合使用反证法.【典例训练典例训练】1.1.否定否定“自然数自然数a,b,ca,b,c中恰有一个偶数中恰有一个偶数”时，正确的反设为时，正确的反设为_._.2.2.设设 a,b,ca,b,c都是小于都是小于1 1的正
7、数，求证：的正数，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-(1-a)b,(1-b)c,(1-c)ac)a三个数不可能同时大于三个数不可能同时大于 .【解析解析】1.1.恰有一个偶数的否定有两种情况：其一是无偶数恰有一个偶数的否定有两种情况：其一是无偶数(全为奇数全为奇数)；其二是至少有两个偶数；其二是至少有两个偶数.答案：答案：a,b,ca,b,c中都是奇数或至少有两个偶数中都是奇数或至少有两个偶数142.2.解题流程解题流程:反设反设推理推理 11 a 1b 1 c a b c.6411 a a 1b b 1 c c.64a1111 a a,1b b,1 c c.244411 a a 1b
8、b 1 c c.64 2三式相乘得即：1-+a又因为（）11a4411b,(1 c)a,44假设三式同时大于，即（1-）b，（1-）c结论结论,.1 a b,1 1b c,1 c a.4与假设矛盾 因此假设不成立故三个数不可能同时大于【互动探究互动探究】将题将题2 2改为改为“x,y,z(0 x,y,z(0，2)2)，求证：，求证：x(2-y)x(2-y)，y(2-z)y(2-z)，z(2-x)z(2-x)不可能都大于不可能都大于1”1”该如何证明？该如何证明？【解题指南解题指南】此类问题的常用方法是考虑问题的反面，即此类问题的常用方法是考虑问题的反面，即“不不都都”的反面为的反面为“都都”，
9、可用反证法来处理，可用反证法来处理.【证明证明】假设假设x(2-y)x(2-y)1 1且且y(2-z)y(2-z)1 1且且z(2-x)z(2-x)1 1均成立，则均成立，则三式相乘有：三式相乘有：xyz(2-x)(2-y)(2-z)xyz(2-x)(2-y)(2-z)1 1由于由于0 0 x x2 2，所以，所以0 0 x(2-x)x(2-x)同理同理0 0y(2-y)1,0y(2-y)1,0z(2-z)1z(2-z)1，三式相乘得三式相乘得0 0 xyz(2-x)(2-y)(2-z)1xyz(2-x)(2-y)(2-z)1与矛盾，故假设不成立与矛盾，故假设不成立.x(2-y),y(2-z)
10、,z(2-x)x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于不可能都大于1.1.2x2x()12，【想一想想一想】求解本题求解本题2 2的关键是什么？另外求解的关键是什么？另外求解1 1时常会出现什时常会出现什么错误？么错误？提示：提示：(1)(1)求解本题求解本题2 2的关键是反设后利用基本不等式推出矛盾，的关键是反设后利用基本不等式推出矛盾，说明假设错误，从而肯定原命题正确说明假设错误，从而肯定原命题正确.(2)(2)求解本题求解本题1 1时常出现反设为时常出现反设为“a,b,ca,b,c全为奇数全为奇数”的错误的错误.【变式训练变式训练】设设aan n,b,bn n 是公比不相等的
11、两个等比数列，是公比不相等的两个等比数列，c cn n=a=an n+b+bn n.证明：数列证明：数列ccn n 不是等比数列不是等比数列.【解题指南解题指南】本命题含有本命题含有“不是不是”否定词，可考虑采用反证法否定词，可考虑采用反证法.【证明证明】假设假设ccn n 为等比数列，为等比数列，则当则当n2n2时，时，(a(an n+b+bn n)2 2=(a=(an-1n-1+b+bn-1n-1)(a(an+1n+1+b+bn+1n+1)，故，故22nnnnn 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1a2a bbaaabbabb.设设aan n,b,bn n 的公比分别为的公比分别为
12、p,q(pq).p,q(pq).因为因为所以所以所以所以因为当因为当pqpq时，时，或或 ，与，与 矛盾，所以矛盾，所以ccn n 不是等比数列不是等比数列.22nn 1n 1nn 1n 1aaabbb，nnnnn 1n 1n 1n 1nnab2a babbab qappqqp2.pqqp2pqqp2pq qp2pq用反证法证明唯一性命题用反证法证明唯一性命题【技法点拨技法点拨】巧用反证法证明唯一性命题巧用反证法证明唯一性命题(1)(1)当证明结论以当证明结论以“有且只有有且只有”，“当且仅当当且仅当”，“唯一存唯一存在在”，“只有一个只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于等形式出现的
13、命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明推出矛盾，故常用反证法证明.(2)(2)用反证法证题时，一定要用到用反证法证题时，一定要用到“反设反设”进行推理，否则就进行推理，否则就不是反证法不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的反面情况用反证法证题时，如果欲证明的命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立论成立.【典例训练典例训练】1.1.已知已知a a与与b b是异面直线，求证：过是异面
14、直线，求证：过a a且平行于且平行于b b的平面只有一个的平面只有一个.2.2.已知：一点已知：一点A A和平面和平面，求证：经过点，求证：经过点A A只能有一条直线和平只能有一条直线和平面面垂直垂直.【证明证明】1.1.如图，假设经过直线如图，假设经过直线a a且且平行于直线平行于直线b b的平面有两个，分别为的平面有两个，分别为和和，在直线，在直线a a上取点上取点A A，过，过b b和和A A确确定一个平面定一个平面.且且与与,分别交于过点分别交于过点A A的直线的直线c c，d d，由由bb，知，知bc,bc,同理，同理，bdbd，故，故cd.cd.这与这与c c，d d相交于点相交于
15、点A A矛盾，矛盾，故假设不成立，原结论成立故假设不成立，原结论成立.2.2.根据点根据点A A和平面和平面的位置关系，分两种的位置关系，分两种情况证明情况证明.(1)(1)如图如图1 1，点，点A A在平面在平面内，假设经过点内，假设经过点A A至少有平面至少有平面的两条垂线的两条垂线ABAB，ACAC，那么，那么ABAB，ACAC是两条相交直线，它们确定一个平面是两条相交直线，它们确定一个平面，平面，平面和平面和平面相交于经过点相交于经过点A A的一条直线的一条直线a.a.ABAB平面平面，ACAC平面平面，a a，ABaABa，ACa.ACa.在平面在平面内经过点内经过点A A有两条直线
16、和直线有两条直线和直线a a垂直，这与平面几何中垂直，这与平面几何中“经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线”相矛盾相矛盾.(2)(2)如图如图2 2，点，点A A在平面在平面外，假设经过点外，假设经过点A A至少有平面至少有平面的两条的两条垂线垂线ABAB，AC(BAC(B，C C为垂足为垂足)，那么，那么ABAB，ACAC是两条相交直线，它们是两条相交直线，它们确定一个平面确定一个平面，平面，平面和平面和平面相交于直线相交于直线BCBC，因为，因为ABAB平平面面，ACAC平面平面，BCBC，所以，所以ABBCABBC，ACBC.ACBC.在平面在平面
17、内经过点内经过点A A有两条直线都和有两条直线都和BCBC垂直，这与平面几何中垂直，这与平面几何中“经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线”相矛盾相矛盾.综上，经过一点综上，经过一点A A只能有平面只能有平面的一条垂线的一条垂线.【归纳归纳】证明本题证明本题1 1的关键点及证明本题的关键点及证明本题2 2易忽视的问题易忽视的问题.提示：提示：(1)(1)证明本题证明本题1 1的关键是对原命题的反设的关键是对原命题的反设.(2)(2)证明本题证明本题2 2时易把第时易把第2 2种情况漏掉而导致错误种情况漏掉而导致错误.【变式训练变式训练】求证：两条相交直线有
18、且只有一个交点求证：两条相交直线有且只有一个交点.【证明证明】假设结论不成立，令两条相交直线为假设结论不成立，令两条相交直线为a a和和b,b,即有两种可即有两种可能：无交点，不只有一个交点能：无交点，不只有一个交点.(1)(1)若直线若直线a,ba,b无交点，那么无交点，那么abab或或a a与与b b是异面直线与已知矛盾是异面直线与已知矛盾.(2)(2)若直线若直线a,ba,b不只有一个交点，则至少有两个交点不只有一个交点，则至少有两个交点A A和和B,B,这样同这样同时经过点时经过点A A，B B就有两条直线，这与就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线经过两点有且只有一条直线”矛盾
19、矛盾.综上所述，原假设不成立综上所述，原假设不成立.故两条相交直线有且只有一个交点故两条相交直线有且只有一个交点.【误区警示误区警示】注意明确反面有几种情况，不要忽略了某种情况注意明确反面有几种情况，不要忽略了某种情况.用反证法证明存在性命题用反证法证明存在性命题【技法点拨技法点拨】用反证法证明存在性命题的适用类型及常见的用反证法证明存在性命题的适用类型及常见的“结论词结论词”及及“反设词反设词”(1)(1)适用类型：当命题出现适用类型：当命题出现“至多至多”“”“至少至少”等形式时，从已等形式时，从已知条件直接推证时，解题方向不明确，不易证明，常采用反证知条件直接推证时，解题方向不明确，不易
20、证明，常采用反证法法.(2)(2)常见的常见的“结论词结论词”与与“反设词反设词”原结论词原结论词至少有至少有一个一个至多有至多有一个一个至少有至少有n n个个至多有至多有n n个个反设词反设词一个也一个也没有没有(不不存在存在)至少有至少有两个两个至多有至多有n-1n-1个个至少有至少有n+1n+1个个原结论词原结论词只有一个只有一个对所有对所有x x成立成立对任意对任意x x不成立不成立反设词反设词没有或至没有或至少有两个少有两个存在某个存在某个x x不成立不成立存在某存在某个个x x成立成立原结论词原结论词都是都是是是p p或或q qp p且且q q反设词反设词不都是不都是不是不是pq且
21、pq或【典例训练典例训练】1.“1.“任何三角形的外角都至少有两个钝角任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是的否定是_._.2.(20122.(2012枣庄高二检测枣庄高二检测)已知已知a,b,ca,b,c均为实数，且均为实数，且a=xa=x2 2-求证：求证：a,b,ca,b,c中至少有一个大于中至少有一个大于0.0.【解析解析】1.1.该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个有两个.答案：答案：“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”2y2，22by2z,cz2x.362.2.假设假设a,b,
22、ca,b,c都不大于都不大于0 0，即，即a0,b0a0,b0，c0c0，得，得a+b+c0.a+b+c0.又又=x=x2 2-2x+1+y-2x+1+y2 2-2y+1+z-2y+1+z2 2-2z+1+-3-2z+1+-3=(x-1)=(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2+(z-1)+(z-1)2 2+-3+-30.0.即即a+b+ca+b+c0 0与与a+b+c0a+b+c0矛盾，矛盾，假设不成立，假设不成立，即即a,b,ca,b,c中至少有一个大于中至少有一个大于0.0.222abcx2yy2zz2x236【归纳归纳】解答本题解答本题2 2的关键点及本题的关键点及本题1 1易
23、忽视的问题易忽视的问题.提示：提示：(1)(1)解答本题解答本题2 2的关键是正确地反设，反设后结合完全平的关键是正确地反设，反设后结合完全平方式得到矛盾方式得到矛盾.(2)(2)解答本题解答本题1 1时易忽视对某一部分的反设而致错时易忽视对某一部分的反设而致错.【变式训练变式训练】若若x x0,y0,y0,0,且且x+yx+y2,2,求证：求证：与与 中至中至少有一个小于少有一个小于2.2.【解题指南解题指南】结论中有词语结论中有词语“至少至少”，宜采用反证法，注意，宜采用反证法，注意“至少有一个至少有一个”的否定形式为的否定形式为“一个也没有一个也没有”.1yx1xy【证明证明】假设假设
24、与与 都大于等于都大于等于2 2，即，即因为因为x x0,y0,y0 0，所以，所以1+y2x1+y2x,1+x2y,1+x2y.+得得2+x+y2x+2y,2+x+y2x+2y,所以所以x+y2,x+y2,这与已知条件这与已知条件x+yx+y2 2矛盾，所以假矛盾，所以假设不成立，所以设不成立，所以 与与 中至少有一个小于中至少有一个小于2.2.1yx1xy1y1x2,2.xy1yx1xy【规范解答规范解答】反证法在实际问题中的应用反证法在实际问题中的应用 【典例典例】(12(12分分)已知：已知：且且sin(+)=2sinsin(+)=2sin，求证：，求证：.0022 ，【解题指导解题指
25、导】【规范解答规范解答】用反证法证明该题用反证法证明该题.假设假设=.(=.(且均为锐角且均为锐角)，2 2分分由由sin(+)=2sinsin(+)=2sin得，得，sincos+cossin=2sinsincos+cossin=2sin，2sincos=2sin2sincos=2sin，3 3分分cos=1.cos=1.这与这与(0(0，)相矛盾，故相矛盾，故.5 5分分假设假设.7 7分分sincos+cossin=2sinsincos+cossin=2sin，2cossin=sin(2-cos)cossin=sin(2-cos)，即即 .9 9分分由由 0,0,得得sinsinsins
26、in0,0,1010分分又又0 0coscoscoscos1 1，2-cos2-cos1,1,故故 不成立，故不成立，故.1111分分因为因为且且,.综上综上.12 12分分sincossin2cos2sin1.sincos1,2cossincossin2cos【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：题启示总结如下：(注：此处的见规范解答过程注：此处的见规范解答过程)失失分分警警示示在解答过程中若漏掉处的两种情况的讨论，在解答过程中若漏掉处的两种情况的讨论，而直接按一种情况证明该题而直接按一种情况证明该题,对本题而
27、言，证明对本题而言，证明过程不严谨过程不严谨,逻辑性差逻辑性差,实际考试中最多得实际考试中最多得6 6分分.解答过程中由处的等式无法得出矛盾而断然解答过程中由处的等式无法得出矛盾而断然下结论，对本题而言下结论，对本题而言,结果虽正确，但证明过程结果虽正确，但证明过程不严谨，缺乏说服力，最多得不严谨，缺乏说服力，最多得9 9分分.失失分分警警示示解题过程中漏掉处的结论虽不算错误，但解解题过程中漏掉处的结论虽不算错误，但解析不完整，最多得析不完整，最多得1111分分.解解题题启启示示(1)(1)注意反设的结果及分类证明的应用注意反设的结果及分类证明的应用.(2)(2)证题过程要完整，步步有根据证题
28、过程要完整，步步有根据,说服力强说服力强.(3)(3)注意解题的规范性注意解题的规范性.【规范训练规范训练】(12(12分分)已知已知x,yRx,yR，且，且x x2 2+y+y2 2=0=0，求证：，求证：x,yx,y全为全为零零.【解题设问解题设问】(1)(1)本题用什么方法证明较简单？本题用什么方法证明较简单？_.(2)(2)本题用反证法证明需注意什么？本题用反证法证明需注意什么？_的反设的反设.反证法反证法注意注意x,yx,y全为零全为零【规范答题规范答题】假设假设x,yx,y不全为零，则有以下三种可能：不全为零，则有以下三种可能：(1)x=0,y0(1)x=0,y0，得，得x x2
29、2+y+y2 2=y=y2 20,0,与与x x2 2+y+y2 2=0=0矛盾；矛盾；4 4分分(2)x0,y=0,(2)x0,y=0,得得x x2 2+y+y2 2=x=x2 20 0，与，与x x2 2+y+y2 2=0=0矛盾；矛盾；7 7分分(3)x0,y0(3)x0,y0，得，得x x2 2+y+y2 20 0与与x x2 2+y+y2 2=0=0矛盾矛盾.1010分分综上，假设不成立，故综上，假设不成立，故x,yx,y全为零全为零.1212分分1.1.用反证法证明命题用反证法证明命题“a,bNa,bN，如果，如果abab可被可被5 5整除，那么整除，那么a,ba,b至至少有少有1
30、 1个能被个能被5 5整除整除”，则假设的内容是，则假设的内容是()()(A)a,b(A)a,b都能被都能被5 5整除整除(B)a,b(B)a,b都不能被都不能被5 5整除整除(C)a(C)a不能被不能被5 5整除整除(D)a,b(D)a,b有有1 1个不能被个不能被5 5整除整除【解析解析】选选B.B.用反证法只否定结论即可，而用反证法只否定结论即可，而“至少有至少有1 1个个”的反的反面是面是“一个也没有一个也没有”，故选，故选B.B.2.2.用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于三角形的内角中至少有一个不大于6060”时，反设正确的是时，反设正确的是()()(A
31、)(A)假设三内角都不大于假设三内角都不大于6060(B)(B)假设三内角都大于假设三内角都大于6060(C)(C)假设三内角至多有一个大于假设三内角至多有一个大于6060(D)(D)假设三内角至多有两个大于假设三内角至多有两个大于6060【解析解析】选选B.B.“至少有一个不至少有一个不”对立面是对立面是“都都”故反设正确的故反设正确的是是B.B.3.3.两直线两直线a a与与b b异面的否定为异面的否定为_._.【解析解析】两直线两直线a a与与b b的位置关系共有的位置关系共有a a与与b b异面、相交、平行，异面、相交、平行，故故a a与与b b异面的否定为异面的否定为a a与与b b
32、相交或平行相交或平行.答案：答案：a a与与b b相交或平行相交或平行4.4.用反证法证明命题用反证法证明命题“x x2 2-(a+b)x+ab0-(a+b)x+ab0，则，则xaxa且且xb”xb”时时应假设为应假设为_._.【解析解析】否定结论时，一定要全面否定，否定结论时，一定要全面否定，xaxa且且xbxb的否定为的否定为x=ax=a或或x=b.x=b.答案：答案：x=ax=a或或x=bx=b5.5.已知已知|a|a|1 1，|b|b|1 1，求证：，求证：1.1.【解题指南解题指南】本题用综合法证明有困难，可尝试用反证法本题用综合法证明有困难，可尝试用反证法.ab|1ab【证明证明】假设假设 1 1，那么，那么|a+b|1+ab|,|a+b|1+ab|,(a+b)(a+b)2 2(1+ab)(1+ab)2 2,即即1+a1+a2 2b b2 2-a-a2 2-b-b2 20,0,(1-a(1-a2 2)(1-b)(1-b2 2)0,)0,解得解得|a|1|a|1且且|b|1|b|1，或，或|a|1|a|1且且|b|1|b|1，均与已知矛盾，均与已知矛盾,假设不成立，原命题成立假设不成立，原命题成立.ab|1ab22221a0,1a0,1b01b0,或
