1、1.4全称量词与存在量词【学习目标学习目标】1、理解全称命题和特称命题的含义，、理解全称命题和特称命题的含义，2、能用数学符号表示含有量词的命题及判断其、能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性命题的真假性3、能够根据含有一个量词的命题与它们的否定、能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定的命题进行否定【重点与难点重点与难点】重点：重点：理解全称量词与存在量词的意义理解全称量词与存在量词的意义。难点：难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定正确地对含有一个量词的命题进行否定。（1）对所有的实数
2、）对所有的实数x，都有，都有x20；（2）存在实数）存在实数x，满足，满足x20；（3）至少有一个实数）至少有一个实数x，使得，使得x220成立；成立；（4）存在有理数）存在有理数x，使得，使得x220成立；成立；（5）对于任何自然数）对于任何自然数n，有一个自然数，有一个自然数s 使得使得 s=n n；问题引入：问题引入：下列命题中含有哪些量词？下列命题中含有哪些量词？下列语句是命题吗？下列语句是命题吗？(1)与与(3)，(2)与与(4)之间有什么关系？之间有什么关系？(1)x3；(2)2x+1是整数；是整数；(3)对所有的对所有的xR，x3；(4)对任意一个对任意一个xZ，2x+1是整数是
3、整数。语句语句(1)(2)(1)(2)不能判断真假，不是命题；不能判断真假，不是命题；语句语句(3)(4)(3)(4)可以判断真假，是命题。可以判断真假，是命题。全称量词、全称命题全称量词、全称命题定义：定义：短语短语“所有的所有的”“”“任意一个任意一个”在逻辑中通常叫做在逻辑中通常叫做全称量词全称量词，并，并用符号用符号“”表示。表示。含有全称量词的命题，叫做含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题。常见的全称量词还有常见的全称量词还有“一切一切”“每一个每一个”“任给任给”“所有的所有的”等等。一.全称量词:全称命题全称命题举例：举例：命题符号记法：命题符号记法：命题：对任意的命题：对任
4、意的nZ，2n+1是奇数；是奇数；所有的正方形都是矩形。所有的正方形都是矩形。通常，将含有变量通常，将含有变量x的语句用的语句用p(x),q(x),r(x),表示，变量表示，变量x的取值范围用的取值范围用M表示，那么，表示，那么，(),xMp x，全称命题全称命题“对对M中任意一个中任意一个x，有，有p(x)成立成立”可用可用符号简记符号简记为：为：读作读作“对任意对任意x属于属于M，有，有p(x)成立成立”。三、新知建构，典例分析 22,sinsincosxRxxx 例例如如：全称命题所描述的问题的特点：全称命题所描述的问题的特点：给定范围内的所有元素（或每一个元素）都具有某给定范围内的所有
5、元素（或每一个元素）都具有某种共同的性质。种共同的性质。例例.下列命题是否是全称命题？下列命题是否是全称命题？（1）每一个三角形都有外接圆；）每一个三角形都有外接圆；（2）一切的无理数都是正数；）一切的无理数都是正数；（3）实数都有算术平方根）实数都有算术平方根.注意：在写全称命题时，为了避免歧义，一般不要注意：在写全称命题时，为了避免歧义，一般不要 省略全称量词。省略全称量词。例例1 判断下列全称命题的真假：判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数是奇数；）所有的素数是奇数；（2）xR，x211；（3）对每一个无理数）对每一个无理数x，x2也是无理数；也是无理数；（2）存在实数x，满足x20
6、；读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。(4)至少有一个x0Z，x能被2和3整除。一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:命题：有的平行四边形是菱形；D存在k0，使方程x2xk0有实根（3）p:有一个素数含有三个正因数.2)所有平行四边形都不是菱形;（2）存在实数x，满足x20；通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),表示，变量x所有的xM，p(x)成立三、新知建构，典例分析特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”判断全称命题“xM,p
7、(x)”是真命题的方法全称命题的否定是特称命题.C存在k0，使方程x2xk0无实根对某个x0M，使p(x)成立语句(3)(4)可以判断真假，是命题。1)所有实数的绝对值都不是正数;给定范围内的所有元素（或每一个元素）都具有某种共同的性质。“任给”“所有的”等。6、命题：“对任意k0，方程x2xk0有实根”的否定是()需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在.三、新知建构，典例分析下列语句是命题吗？下列语句是命题吗？(1)与与(3)，(2)与与(4)之间有什么关系？之间有什么关系？(1)2x+1=3；(2)x能被能被2和和3整除；整除；(3)存在一个存在一个x0R，使，使2x+1=3；(4
8、)至少有一个至少有一个x0Z，x能被能被2和和3整除。整除。语句语句(1)(2)(1)(2)不能判断真假，不是命题；不能判断真假，不是命题；语句语句(3)(4)(3)(4)可以判断真假，是命题。可以判断真假，是命题。存在量词、特称命题存在量词、特称命题定义：定义：短语短语“存在一个存在一个”“”“至少有一个至少有一个”在逻辑中通常叫做在逻辑中通常叫做存在量词存在量词，并用符号并用符号“”表示。表示。含有存在量词的命题，叫做含有存在量词的命题，叫做特称命题特称命题。常见的存在量词还有常见的存在量词还有“有些有些”“”“有一个有一个”“对某个对某个”“”“有的有的”等等。二.存在量词:特称命题特称
9、命题举例：举例：命题：有的平行四边形是菱形；命题：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数。有一个素数不是奇数。00(),xMp x，特称命题特称命题“存在存在M中的一个中的一个x0，使，使p(x0)成立成立”可用可用符号简记符号简记为：为：读作读作“存在一个存在一个x0属于属于M，使，使p(x0)成立成立”。三、新知建构，典例分析 （3）对每一个无理数x，x2也是无理数；有些整数只有两个正因数给定范围内的所有元素（或每一个元素）都具有某种共同的性质。1)所有实数的绝对值都不是正数;例1 判断下列全称命题的真假：写出下列命题的否定，并判断其真假.（2）一切的无理数都是正数；通常，将含有变量x的
10、语句用p(x),q(x),r(x),表示，变量x(3)对所有的xR，x3；“一切”“每一个”特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”对某个x0M，使p(x)成立D.全称量词、全称命题定义：写出下列命题的否定，并判断其真假.（2）p:每一个四边形的四个顶点共圆；判断特称命题“x0M,p(x0)”是假命题的方法D.并用符号“”表示。判断特称命题“x0M,p(x0)”是真命题的方法下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？例1 判断下列全称命题的真假：（2）一切的无理数都是正数；所有的xM，p(x)成立（2）p:有的三角形是等边三角形；例例2 判断下列特称命题的真假：判
11、断下列特称命题的真假：(1)有一个实数有一个实数x0,使使x02+2x0+3=0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数有些整数只有两个正因数.全称命题、特称命题的表述方法：命题命题 全称命题全称命题特称命题特称命题所有的所有的xM，p(x)成立成立对一切对一切xM，p(x)成立成立对每一个对每一个xM，p(x)成成 立立任选一个任选一个xM，p(x)成成 立立凡凡xM，都有，都有p(x)成立成立存在存在x0M，使，使p(x)成立成立至少有一个至少有一个x0M，使，使 p(x)成立成立对有些对有些x0M，使，使p(x)成成立立对某
12、个对某个x0M，使，使p(x)成成立立有一个有一个x0M，使，使p(x)成成 ,()xM p x 0,()xM p x表述方法表述方法1)写出下列命题的否定写出下列命题的否定所有的矩形都是平行四边形；所有的矩形都是平行四边形；2)每每一一个个素素数数都都是是奇奇数数；23),21 0 xR xx 这这些些命命题题和和它它们们的的否否定定在在形形式式上上有有什什么么变变化化？1)存存在在一一个个矩矩形形不不是是平平行行四四边边形形；2)存存在在一一个个素素数数不不是是奇奇数数；23),210 xR xx 否否定定:x xM M,p p(x x)x xM M,p p(x x)x xM M,p p(
13、x x)x xM M,p p(x x)x xM M,p p(x x)x xM M,p p(x x)二.含有一个量词的命题的否定:从命题形式上看从命题形式上看,这三个这三个全称命题全称命题的的否定否定都都变成了变成了特称命题特称命题.全称命题的否定是特称命题全称命题的否定是特称命题.,(),xM P x 它的否定 p：xM，p（x）.三、新知建构，典例分析一般地一般地,对于含有一个量词的对于含有一个量词的全称命题的否定全称命题的否定,有下面的结论有下面的结论:全称命题全称命题p:探究探究1)写写出出下下列列命命题题的的否否定定有有些些实实数数的的绝绝对对值值是是正正数数；2)某某些些平平行行四四
14、边边形形是是菱菱形形；23),10 xR x 这这些些命命题题和和它它们们的的否否定定在在形形式式上上有有什什么么变变化化？否定否定:1)所有实数的绝对值都不是正数所有实数的绝对值都不是正数;2,10 xR x xM,p(x)xM,p(x)xM,p(x)xM,p(x)xM,p(x)xM,p(x)xM,p(x)xM,p(x)xM,p(x)xM,p(x)xM,p(x)xM,p(x)2)所有平行四边形都不是菱形所有平行四边形都不是菱形;3)xM,p(x)xM,p(x)特称命题特称命题:p它的否定它的否定:p x xM M,p p(x x)从命题形式上看从命题形式上看,这三个这三个特称命题特称命题的的
15、否定否定都变都变成了成了全称命题全称命题.一般地一般地,对于含有一个量词的对于含有一个量词的特称命题的否定特称命题的否定,有下面的结论有下面的结论:xM,p(x)xM,p(x)特称命题特称命题:p特称命题的否定是全称命题特称命题的否定是全称命题.三、新知建构，典例分析例例3 写出下列写出下列全称命题全称命题的否定的否定,并判断真假：并判断真假：（1）p:所有能被所有能被3整除的整数都是奇数；整除的整数都是奇数；（2）p:每一个四边形的四个顶点共圆；每一个四边形的四个顶点共圆；（3）p:对任意对任意 xZ，x2的个位数字不等于的个位数字不等于3.整除的整数不是奇数3存在一个能被:p:.p 存在一
16、个四边形，它的四个顶点不共圆200:,3.pxZ x的个位数字等于所有的xM，p(x)成立（2）p:每一个四边形的四个顶点共圆；（2）一切的无理数都是正数；6、命题：“对任意k0，方程x2xk0有实根”的否定是()短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。对一切xM，p(x)成立对每一个xM，p(x)成省略全称量词。所有的正方形都是矩形。下列命题中的假命题是（）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”1)所有实数的绝对值都不是正数;语句(3)(4)可以判断真假，是命题。（1）p:所有能被3整除的整数都是奇数；对某个大于10的正整数 ；短语“存在一个”“至少有
17、一个”在逻辑中通常叫做存在量词，含有全称量词的命题，叫做全称命题。含有存在量词的命题，叫做特称命题。语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；（3）至少有一个实数x，使得x220成立；（2）p:有的三角形是等边三角形；，使函数 是奇函数；含有全称量词的命题，叫做全称命题。给定范围内的所有元素（或每一个元素）都具有某种共同的性质。(3)有些整数只有两个正因数.判断特称命题“x0M,p(x0)”是假命题的方法（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s=n n；需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立2:,220.pxR xx:.p 所有的三角形都不是等边三角形:.p每一个素数都不含有三个正因
18、数例例4 写出下列写出下列特称命题特称命题的否定的否定,并判断真假：并判断真假：（1）p:；（2）p:有的三角形是等边三角形；有的三角形是等边三角形；（3）p:有一个素数含有三个正因数有一个素数含有三个正因数.022,0200 xxRx总总 结：结：判断全称命题判断全称命题“xM,p(x)”是真命题是真命题的方法的方法判断全称命题判断全称命题“xM,p(x)”是假命题是假命题的方法的方法需要对集合需要对集合M中每个元素中每个元素x，证明，证明p(x)成立成立只需在集合只需在集合M中找到一个元素中找到一个元素x0，使得，使得p(x0)不成立即可（举反例）不成立即可（举反例）需要证明集合需要证明集
19、合M中中,使使p(x)成立的元素成立的元素x不存在不存在.只需在集合只需在集合M中找到一个元素中找到一个元素x0,使得使得p(x0)成立即成立即可可(举例说明举例说明).总总 结：结：判断特称命题判断特称命题“x0M,p(x0)”是真命题是真命题的方法的方法判断特称命题判断特称命题“x0M,p(x0)”是假命题是假命题的方法的方法1.指出下列命题使用了那种量词，并用符号表示出来指出下列命题使用了那种量词，并用符号表示出来对任意正实数对任意正实数 ；对某个大于对某个大于10的正整数的正整数 ；2,20a aa,(2)1024nn20,20aaa*10,(2)1024nnnN 2.判断下列命题的正
20、假判断下列命题的正假对任意对任意 ，若，若 ，则，则 ；对任意一实数对任意一实数 ，成立成立；,a bRab11abx212x 假命题假命题假命题假命题有些整数只有两个正因数有些整数只有两个正因数 真命题真命题练习：练习：3.下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（）A.B.1,20 xxR*2,(1)0 xNx,tan2xRx C.D.,lg1xRx B4.已知已知 ，函数，函数 .若若 满足关于满足关于 的方程的方程 ，则下列选项中为假命题的是，则下列选项中为假命题的是()0a 2()f xaxbxc0 x20axbx0,()()xR f xf x A.B.C.D.0,()()xR f
21、 xf x 0,()()xR f xf x 0,()()xR f xf x C5.写出下列命题的否定，并判断其真假写出下列命题的否定，并判断其真假.：对所有的正实数：对所有的正实数 ，为正数且为正数且mmmmpp ：存在一个正实数：存在一个正实数 ，或或m0m mm真命题真命题6、命题：、命题：“对任意对任意k0，方程，方程x2xk0有有实根实根”的否定是的否定是()A存在存在k0，使方程，使方程x2xk0无实根无实根B对任意对任意k0，方程，方程x2xk0无实根无实根C存在存在k0，使方程，使方程x2xk0无实根无实根D存在存在k0，使方程，使方程x2xk0有实根有实根c7.下列命题中，真命
22、题是下列命题中，真命题是()A.，使函数，使函数 是偶函数；是偶函数；mR2()()f xxmx xRB.，使函数，使函数 是奇函数；是奇函数；mR2()()f xxmx xRC.，使函数，使函数 都是偶函数；都是偶函数；mR2()()f xxmx xRD.，使函数，使函数 都是奇函数；都是奇函数；2()()f xxmx xRmRA8.下列命题为假命题是下列命题为假命题是_11(0,),()()23xxx 1123(0,1),loglogxxx 121(0,1),()log2xxx 解解:p:a b c,(0,+),三三个个数数1ab,1bc,1ca全全小小于于 2.假假设设 p 是是真真命命题题,则则 a b c,(0,+),1ab+1bc+1ca6 1ab+1bc+1ca=1111116abcabcabcabc 222 推推出出矛矛盾盾,由由此此可可知知 p 是是假假命命题题,p 是是真真命命题题
