1、 - 1 - 下学期高二数学 3 月月考试题 03 一、 填空题： 本大题共 10小题 ， 每小题 5分，共 50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 。 1.命题“若 p 则 q ”的逆命题是 （ ） A.若 q 则 p B.若 p? 则 q? C.若 q? 则 p? D.若 p 则 q? 2.命题“存在 Rx?0 ， 020 ?x ”的否定是 ( ) A.不存在 Rx?0 , 020 ?x B.存在 Rx?0 , 020 ?x C.对任意的 Rx? , 02?x D.对任意的 Rx? , 02?x 3.设 Rx? ，则“ 21?x ”是“ 012 2 ?xx ”的 （ ）
2、A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.椭圆 632 22 ? yx 的焦距是 ( ) A. )23(2 ? B. 2 C. 52 D. )23(2 ? 5.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点 ,且 与 C 的对称轴垂直 , l 与 C 交于 A 、 B 两点且 12?AB ,若 P 为 C 的准线上一点 ,则 ABP? 的面积为 ( ) A.18 B.24 C.36 D.48 6.椭圆的长轴长为 20，短轴长为 16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的范围是 （ ) A.? ?10,6 B.? ?8,6 C.? ?10,8 D.? ?20,16
3、7.若椭圆 )0(122 ? nmnymx 和双曲线 )0,0(122 ? babyax 有相同的焦点 1F 、 2F ，点 P 是两条曲线的一个交点，则 21 PFPF ? 的值为 （ ） A. am? B. )(21 am? C. 22 am? D. am? 8.已知双曲线 22 1( 0, 0 )xy abab? ? ? ?的左顶点与抛物线 2 2 ( 0)y px p?的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 )1,2( ? ,则双曲线的焦距为 ( ) - 2 - A. 32 B. 52 C. 34 D. 54 9.已知 F 是抛物线 xy ?2 的焦点， A
4、、 B 是该抛物线上的两点 , 3? BFAF ,则线段 AB的中点到 y 轴的距离为 ( ) A.43 B.23 C.45 D.47 10.已知双曲线 )0,0(12222 ? babyax 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ,点 P 在双曲线的右支上且 21 4PFPF ? ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为 （ ） A.34 B.35 C.2 D.37 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分，把答案 填在题中横线上。 11.以双曲线 1916 22 ? yx 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 _ 12.已知点 )3,5(A ，动点 P 在抛物线 xy 92? 上移动
5、， F 为抛物线的焦点，则 PFPA? 取得最小值时，点 P 的坐标为 13.已知双曲线 )0,0(12222 ? babyax 和椭圆 1916 22 ? yx 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 14.点 M 到一个定点 )2,0(F 的距离和它到一条定直线 8?y 的距离之比是 1 2，则 M 点的轨迹方程是 _ _ 15.下列命题：动点 M 到两定点 A 、 B 的距离之比为常数 )10( ? ? 且 ，则动点 M 的轨迹是圆；椭圆 2212xybb?的离心率是 22 ；双曲线 12222 ?byax )0,0( ? ba 的焦点到渐近线的距离是 b；已
6、知抛物线 y2=2px 上两点 A(x1, y1)、 B(x2, y2)，且 OA OB (O是坐标原点 )，则 221 pyy ? 。其中正确命题的序号是 三、解答题： 本大题共 6 小题，其中 16 19 题每题 12 分， 20 题 13 分， 21 题 14 分，共 75- 3 - 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16（本小题满分 12分） 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在 y 轴上，且经过 两个点 )2,0( )和 )0,1( ； (2)坐标轴为对称轴，并且经过两点 )2,0(A ， )3,21(B 17 （本小题满分 12分）如图，直线 bxyl ?:
7、与抛物线 yxC 4: 2 ? 相切于点 A (1)求实数 b 的值； (2) 求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程 。 18（本小题满分 12分） 设 :p 实数 x 满足 034 22 ? aaxx ,其中 0?a ,命题 :q 实数 x 满足 226 0,2 8 0.xxxx? ? ? ? ? ?； (1)若 1?a 且 qp? 为真，求实数 x 的取值范围； (2)若 q 是 p 的充分不必要条件 ,求实数 a 的取值范围 。 19（本小题满分 12 分）已知过抛物线 )0(22 ? ppxy 的焦点且斜率为 22 的直线交抛物线于 ),( 11 yxA 、 ),(
8、 22 yxB )( 21 xx ? 两点，且 9?AB （ 1）求该抛物线的方 程； （ 2） O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 OBOAOC ? ，求 ? 的值。 - 4 - 20（本小题满分 13分 ） 设双曲线 C 与双曲线 124 22 ?xy 共渐近线且过点 )2,2(M ， （ 1）求双曲线 C 的方程； （ 2）是否存在过点 )1,1(P 的直线 l 与双曲线 C 交于 A 、 B 两点且点 P 平分线段 AB ，若存在求直线 l 的方程，若不存在说明理由。 21（本小题满分 14 分 ）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大
9、值为 3，最小值为 1 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若直线 mkxyl ?: 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点（ A 、 B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的图过椭圆 C 的右顶点求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标 。 - 5 - 参考答案 选择题答案： 1 5 ADABC 6 10 CDBCB 填空题答案： 11. xy 162 ? 12. )3,1( 13. 134 22 ? yx 14. 11216 22 ?xy 15. 解答题答案： 16 解 ： (1)由于椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 y2a2x2b2 1(ab0)， 由于椭圆经过点 (0
10、,2)和 (1,0)， ? 4a2 0b2 1，0a21b2 1.? a2 4，b2 1 故所求椭圆的方程为y24 x2 1? .6 分 (2)设所求椭圆的方程为 x2my2n 1(m0， n0)， 椭圆过 A(0,2)， B(12， 3)， ? 0m 4n 1，14m3n 1，解得? m 1，n 4. 所 求 椭 圆 方 程 为 x2 y24 1? .12分 17 解 ： （ 1） 由2 4y x bxy? ?得 2 4 4 0x x b? ? ? (? ) 因为直线 l 与抛物线 C相切 ,所以 2( 4 ) 4 ( 4 ) 0b? ? ? ? ? ? ?,解得 1b? ? .5分 （ 2
11、） 由 （ 1） 可知 1b? ,故方程 (? )即为 2 4 4 0xx? ? ? ,解得 2x? ,将其代入 2 4xy? ,得 y=1, 故点A(2,1)? .8分 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切 ,所以圆心 A 到 抛物线 C 的准线 y=-1 的距离等于圆 A的 半 径 r, 即 r=|1-(-1)|=2, 所 以 圆 A 的 方 程 为22( 2) ( 1) 4xy? ? ? ? .12分 18解 : 由 224 3 0x ax a? ? ?得 ( 3 )( ) 0x a x a? ? ?，又 0a? ,所以 3a x a? ? .2- 6 - 分 由 22602 8 0xx
12、xx? ? ? ? ? ?, 得 23x? , 即 q 为 真 时 实 数 x 的 取 值 范 围 是23x? ? .? .4分 (1)当 1a? 时， 1 3x? ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1 3x? .若 pq? 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是23x? .6分 () q 是 p 的充分不必要条件，即 q ? p ,且 p ? q , 设 ? ?32 ? xxA , ? ?axaxB 3? ,则 A B , 则 0 2a? ,且 33a? 所以实数 a 的取值范围是 12a? .12分 19解：（ 1）由题意知直线 AB 的方程是 )2(22 pxy ?
13、 联立 pxy 22 ? ，消去 y 得：054 22 ? ppxx 所以： 4521 pxx ? ， 由 抛 物 线 定 义 得 ：921 ? pxxAB ， 所以 p=4，故抛物线方程为： xy 82? ? .? .6分 (2) 由 p=4带入 054 22 ? ppxx ，化简得 0452 ? xx ，从而 ,4,1 21 ? xx 24,22 21 ? yy ,所以A(1, 22? ),B(4, 24 )? .9分 设 )24,4()22,1()( 3,3 ? yxOC = )2422,4( ? ? ，又 33 8xy ? ， 即 ? ? ? ? 21222 ? 8（ 4 1? ），即
14、 14)12( 2 ? ? ，解得 2,0 ? ? 或 ? 12分 20解：（ 1）因为双曲线 C 与双曲线 124 22 ?xy 共渐近线，所以可设 C ： )0(24 22 ? ?xy 又 C 过点 )2,2(M ，带入 C 得 21? ，故 C ： 1222 ?yx ? .? .622 2121 ?yx 22 2222 ?yx - 7 - 分 (2) 假设存在直线 l ，并设 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 则 0)()(2 21212121 ? yyyyxxxx ,又 A 、 B 的中点为点 )1,1(P 22121 ? xx yykl ，故直线 )1(21: ? xy
15、l 即：12?xy ? .10分 带入椭圆方程得： 0342 2 ? xx 由于 02416 ? 所 以 这 样 的 直 线 不 存在。 ? .13分 21解： （ 1） 由题意设椭圆的标准方程为 22 1( 0)xy abab? ? ? ?，由已知得： 3ac? ，1ac?， 2a?， 1c? ， 2 2 2 3b a c? ? ? ? ?椭圆的标准方程为 22143xy? .? 4分 （ 2）设 11()Ax y， ， 22()Bx y， ，联立 221.43y kx mxy? ?， 得 2 2 2(3 4 ) 8 4 ( 3 ) 0k x m kx m? ? ? ? ?， 2 2 2 2
16、 2 212 2212 26 4 1 6 ( 3 4 ) ( 3 ) 0 3 4 08344 ( 3 ) .34m k k m k mmkxxkmxxk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即 ， 则，? 8分 又 22221 2 1 2 1 2 1 2 23 ( 4 )( ) ( ) ( ) 34mky y k x m k x m k x x m k x x m k? ? ? ? ? ? ? ? ?， - 8 - 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点 (20)D， ， 1AD BDkk? ? ， 即 12 122yyxx ?， 1 2 1 2 1 22 ( ) 4 0y y x x x x? ? ? ? ? ?， 2 2 22 2 23 ( 4 ) 4 ( 3 ) 1 6 403 4 3 4 3 4m k m m kk k k? ? ? ? ? ? ?， 227 16 4 0m m k k? ? ? ? 解得： 1 2mk? ，2 27km ?，且均满足 223 4 0km? ? ?， ? .12分 当 1 2mk? 时， l 的方程为 ( 2)y k x?，直线过定点 (20)， ，与已知矛盾； 当2 27km ?时， l
