1、? 年， 香农在信息论领域中研究了年后， 发表了信息论的奠基之作 通信的数学理论次年， 又发表了 噪声 下的通信在这两篇文章中， 他经典地阐明了通信的基本问题， 提出了通信系统的模型， 给出了信息量的数学表达式， 解决 了信息容量、 信源统计特性、 信源编码、 信道编码等有关精确地传送通信符号的基本技术问题 二 次 根 式 内容清单能力要求 二次根式的概念 能利用二次根式概念判断二次根式 存在的可能性 二次根式的加、 减运算法则 会利用二次根式的加减法则进行加 减运算 二次根式的乘、 除运算法则 能根据先乘除后加减法则进行二次 根式的混合运算 ? 在数学史上， 瑞士的伯努利家族培养出很多优秀的
2、数学家， 其中最著名的数学家是雅可比伯努利， 他 发明了“ 等角螺线”在等角螺线中， 任意一点画出的连线与该点切线永远保持一定角度， 故取此名有一种说 法是雅可比伯努利要求自己死后在墓碑上刻上等角螺线并写上“ 纵然改变， 依然故我（ ） ” 的碑文， 不过错误理解等角螺线的雕刻师把旋涡状花纹刻了上去 一、选择题 （ 四川泸州） 二次根式 狓槡 中， 狓的取值范围是 （） 狓 狓 狓 狓 （ 内蒙古包头） 二次根式 狓槡 狓 中，狓的取值范围是 （） 狓 且狓 狓 狓 狓 且狓 （ 山东烟台）槡 的值是（） （ 山东潍坊） 如果代数式 狓槡 有意义， 则狓的取值范 围是（） 狓 狓 狓 狓 （
3、天津） 估计槡 的值在（） 到之间 到之间 到之间 到之间 （ 江苏南京） 的负的平方根介于（） 与 之间 和 之间 与 之间 与 之间 （ 山东烟台） 若 （ 犪 ）槡 犪， 则（） 犪 犪 犪 犪 （ 湖南怀化） 的平方根是（） 槡 （ 四川宜宾） 根式狓槡槡中狓的取值范围是（） 狓槡 狓槡 狓槡 狓槡 （ 四川凉山州） 已知狔狓槡 槡狓， 则 狓 狔 的值为（） （ 湖北孝感） 下列计算正确的是（） 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 （ 湖南邵阳） 最接近槡 的整数是（） 二、填空题 （ 贵州安顺） 计算：槡 槡 （ 江西） 当狓 时， 槡狓的值是 （ 湖南衡阳） 计算：槡 槡
4、 槡 （ 四川内江） 若犿 槡 ， 则犿 犿 犿 的值为 （ 广东茂名） 已知一个正数的两个平方根分别为犪 和犪 ， 则犪的值是 （ 湖北荆州） 若等式 狓 槡 （） 成立， 则狓的取 值范围为 三、解答题 （ 山 东 德 州）已 知狓槡 ，狔槡 ， 求 狓 狓 狔 狔 狓 狔 的值 （ 上海） 计算： （ 槡 ） 槡 槡 （ ） （ 湖南湘潭） 先化简， 再求值：狓 狓 狓 （） ， 其中狓 槡 （ 辽宁朝阳） 先化简， 再求值： 狓 狓 狓 狓 （） 狓 ， 其 中狓槡 ? 刘徽的工作， 不仅对中国古代数学的发展产生了深远影响， 而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位， 成为中国 传统数
5、学理论体系的奠基者之一经他注释的 九章算术 影响、 支配中国古代数学的发展 余年， 是东方数学的典范 之一， 与希腊欧几里得（ 约前 前 ） 的 原本 所代表的古代西方数学交相辉映鉴于刘徽的巨大贡献， 所以不少书上 把他称作“ 中国数学史上的牛顿” 趋势总揽 年对二次根式的考查仍将以基本题型为主， 考查时多 以填空题、 选择题的形式出现， 题目中包含若干个知识点， 同时 渗透数形结合的思想其中重点考查最简二次根式、 同类二次根 式的概念， 以及二次根式的化简、 求值可能还会与一元二次方 程、 函数等知识相联系 高分锦囊 理解二次根式的有关概念能正确运用二次根式的运算 法则进行实数的混合运算 要
6、特别注意二次根式运算的法则、 方法、 技巧实数的运 算主要是由二次根式、 三角函数等组成的混合算式的计算， 一般 难度不大， 运算时要认真审题， 确定符号， 明确运算顺序， 灵活运 用法则 通过观察、 归纳、 猜想一些规律题目 通过类比思想进行二次根式的计算， 如二次根式计算可 类比同类项计算： 槡 槡 槡 ，犪犪犪， 这样通过类比有 利于掌握计算方法 常考点清单 一、二次根式的有关概念 二次根式的定义 形如槡 犪的式子叫做二次根式 最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式 （ ） 被开方数的因数是整数， 因式是整式， 即被开方数不含 （ ） 被开方数中不含的因数或因式 二、二次
7、根式的性质 （槡犪） 犪（） 犪槡 犪 （犪 ） ， （犪 ） 槡犪 犫（犪 ，犫 ） 犪 槡犫 （犪 ，犫 ） 三、二次根式的运算 二次根式的加减 进行二次根式的加减计算时， 先将二次根式化成， 再将相同的二次根式进行合并 二次根式的乘除 （ ）槡犪槡犫（犪 ，犫 ） ； （ ） 槡犪 槡犫 （ 犪 ，犫 ） ； （ ） 因式的外移：犪 槡犫， 如槡 ； 因式的内移： 犪槡犫， 如 槡 易混点剖析 平方根和算术平方根： 一个正数的平方根有两个， 且这两个平方根互为相反数一 个正数的正的平方根才是此正数的算术平方根 的平方根和算 术平方根都是 二次根式的概念： 二次根式槡 犪中，犪可以是数，
8、也可以是单项式、 多项式、 分式 等代数式， 但必须要求犪 ， 这是前提 最简二次根式与同类二次根式： 同类二次根式是在化简为最简二次根式的基础上比较被开 方数， 若两个或几个最简二次根式的被开方数相同， 则它们就是 同类二次根式 槡犪槡犫 槡犪 犫，但槡犪 犫不 一 定 等 于槡 犪槡犫，如 （ ）（ 槡 ） 槡 槡 易错题警示 【 例】（ 江 苏 张 家 港）先 化 简，再 求 值： 狓 狓 （） （） 狓 ， 其中狓槡 【 解析】先利用分式化简知识进行化简， 再将狓值代入进 行二次根式的计算 【 答案】原式狓 狓 狓 狓 狓 当狓槡 时， 原式槡 【 例】 （ 浙江丽水） 计算： 槡 （
9、 ） 【 解析】本题涉及特殊角的三角函数值、 绝对值、 二次根式 化简、 负指数四个考点在计算时， 需要针对每个考点分别进行 计算， 然后根据实数的运算法则求得计算结果二次根式的加减 只将系数相加减 【 答案】原式 槡 槡 槡 【 例】 （ 湖北荆门） 先化简， 后求值： 犪 犪 犪 （） （ 犪 ） ， 其中犪槡 【 解析】本题是一道关于分式化简和二次根式的综合类 题， 注意不能去掉分母 【 答案】原式 犪 犪 犪 当犪槡 时， 原式 槡 槡 ?（ ?） 熊庆来是中国著名的数学家和教育家他生于 年， 卒于 年， 云南弥勒人熊庆来 岁时考入云南省高等学堂， 因为成绩优异， 岁时便被派往比利时学
10、习采矿技术后来他又到法国留学， 并获得了博士学位熊庆来主要从事函数论方 面的研究， 他定义了一个“ 无穷级函数” ， 国际上称之为“ 熊氏无穷数” 一、选择题 （ 上海黄浦二模） 下列根式中， 与槡 为同类二次根式 的是（） 槡 槡 槡 槡 （ 新疆石河子模拟） 当狓 时， 二次根式 槡狓的 值为（） （ 湖北荆门东宝区模拟） 下列计算：槡 槡 槡 ； 槡 槡 ； 槡 槡 槡 ； 槡 其中错误的是 （） （ 江苏南通三模） 已知 犪 犪槡 槡犪 犪 ， 则犪的取值范 围是（） 犪 犪 犪 犪 （ 四川内江模拟）槡 的算术平方根是（） 槡 槡 （ 北京四中模拟） 下列属于最简二次根式的是（） 槡
11、 槡 槡 槡 （ 湖北武汉月调考模拟） 二次根式 槡狓有意义， 则狓 的取值范围是（） 狓 狓 狓 狓 二、填空题 （ 上海市奉贤区调研试题） 方程狓槡 的解是 （ 贵州兴仁中学一模）狓槡 （狔 ） ， 则狓 （ 江苏苏州市吴中区教学质量调研） 若犪 犪槡 犪， 则实数犪的值为 （ 湖北黄冈浠水中考调研） 化简犪 犫槡 （ 深圳三模） 函数狔 狓槡 狓 中自变量狓的取值范围 是 （ 浙江杭州模拟） 与槡 的积为正整数的是 （ 写出一个即可） 三、解答题 （ 上海青浦二模） 计算： （槡 ） （ ） 槡 槡 槡 （ 江苏无锡前洲中学模拟） 计算： 槡 （ ） （ 苏州市吴中区教学质量调研） “
12、欲穷千里目， 更上一 层楼” 说的是登得高看得远如图， 若观测点的高度为犺， 观 测者视线能达到的最远距离为犱， 则犱 槡犺 犚， 其中犚是地 球半径（ 通常取 ）小丽站在海边一块岩石上， 眼睛 离海平面的高度犺为 ， 她观测到远处一艘船刚露出海 平面， 求此时犱的值 （ 第 题） ?（ ?） 熊庆来非常热爱教育事业， 他为培养中国的科学人才做出了卓越贡献 年， 他在清华大学当数学系主任时， 从学术 杂志上看到了华罗庚的名字， 了解到华罗庚的自学经历和数学才华后， 破格录取只有初中学历的华罗庚到清华大学学习 （ 四川中江县毕业生诊断考试） 计算： （ ） 槡 槡 槡 （ 湖北武汉模拟） 先化简
13、， 再求值 狓 槡 槡狓 狓 槡狓， 其中狓 槡 的平方根是（） 若狓槡犪槡犫，狔槡犪槡犫， 则 狓 狔 的值为（） 槡犪 槡犫 犪犫犪犫 若化简 狓 狓 狓槡 的结果为狓， 则狓的取值 范围是（） 狓为任意实数 狓 狓 狓 实数犪，犫在数轴上的位置如图所示， 化简犪槡 犫槡 （ 犪犫）槡 （ 第题） 计算： （） （ 槡 槡 ）槡 槡 （） 计算： （ ） 槡 （ 槡 ） 计算： （ ） （槡 ） （ ） 槡 槡 槡 ； （ ） 狓 槡 槡 判断下面各式是否成立： （ ） 槡 槡 ； （ ） 槡 槡 ； （ ） 槡 槡 探究： （ ） 你判断完上面各题后， 发现了什么规律？并猜想： 槡 ；
14、（ ） 用含有狀的代数式将规律表示出来， 说明狀的取值范围， 并给出证明 二 次 根 式 年考题探究 解析狓 解析狓 解析 槡 是求的算术平方根 解析狓 解析槡 槡 槡 解析槡 槡 槡 解析 由犪 ， 得犪 解析槡 解析 由狓槡 ， 得狓槡 解析 由狓 ， 得狓 ， 此时狔 狓 狔 （ ） 解析 槡槡 无法合并，槡槡 无法合并，槡槡 解析 槡 槡 槡 解析槡 槡槡槡槡 槡 解析 槡 狓槡槡 槡 解析 原式槡 槡槡 解析犿槡 ，犿 犿 犿 犿（ 犿 犿 ）犿 （ 犿 ） 犿 解析 由（犪 ）（ 犪 ） ， 得犪 狓 且狓 解析 狓 ， 狓 槡 烅 烄 烆 ， 得 狓 ， 狓 原式 （狓狔） （狓
15、狔） （狓狔） 狓 狔 狓狔， 当狓 槡 ，狔槡 时， 原式 槡 槡 槡 原式槡槡槡槡 狓 狓 狓 （） 狓狓 狓 狓（狓 ） 狓 当狓 槡 时， 原式 槡 槡 原式狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 （狓 ） （狓 ） 狓 将狓 槡 代入上式， 原式 槡 （ 槡 ） 槡 槡 年模拟提优 解析槡 槡 解析 槡 狓槡 解析 槡 槡 槡 解析 犪 ， 得犪 又犪 ， 所以 犪 ； 解析槡 ，的算术平方根是 槡 解析槡 ，槡 槡 ，槡 槡 解析 由 狓 ， 得狓 狓 解析 方程两边平方即可 解析 由平方及二次根式的非负性得狓 ， 狔 解析 方程两边平方， 得犪 或犪 （ 二次根式无 意义， 故舍去） 犫
16、 槡犪 犫 解析犪 犫 槡 犫 槡犪 犫 犫 槡犪 犫 狓 且狓 解析 保证被开方的二次根式非负性 以及分母不为零即可 槡 （ 答案不唯一） 解析 只要使二次根号去掉即可， 例 如槡 槡 即可 原式槡 （ 槡 ） 槡 （槡 ） 槡 原式槡 槡 由犚 ，犺 ， 得犱 槡槡 （ ） 原式 槡 槡 槡 （ 槡 ）槡 原式 槡狓 槡狓 槡狓 槡狓 当狓 时， 原式 槡 槡 考情预测 解析槡 ， 的平方根是 解析 本题主要考查平方差公式 狓 狔 （槡犪槡犫） （槡犪 槡犫）（槡犪） （ 槡犫） 犪犫 解析 原式（狓 ）（ 狓） 狓 狓 ，狓 ， 即 狓 犫 解析 本题主要考查无理数、 二次根式及绝对值的 知识， 在计算时应灵活运用犪 槡 犪 原式 槡 （ ）（槡槡 ）槡槡槡 槡 原式槡槡 （） 原式 （） 狓 槡槡 ， 狓 （ ） ， 狓 ， 狓 ， 狓 槡 上面三题都正确 （） 槡 槡 （） 规律：狀 狀 狀 槡 狀 狀 狀 槡 证明：狀 狀 狀 槡 狀 狀 槡 狀 狀 狀 槡
