1、 ?（ ?） 这样看起来，厘米长的线段内的点与太平洋面上的点， 以及整个地球内部的点都“ 一样多” ， 后来几年， 康托尔对这类 “ 无穷集合” 问题发表了一系列文章， 通过严格证明得出了许多惊人的结论康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了 尖锐冲突， 遭到一些人的反对、 攻击， 甚至漫骂有人说， 康托尔的集合论是一种“ 疾病” ， 康托尔的概念是“ 雾中之雾” ， 甚至 说康托尔是“ 疯子” 圆 内容清单能力要求 圆的有关概念会利用圆的定义做出准确的判断 弧、 弦、 圆心角、 弦心距的关系 能综合运用弧、 弦、 圆心角、 弦心距之间的互 推关系 圆的性质能记住圆的性质， 能列举圆的特性 过
2、一点、 两点和不在一条直线上的三点作圆能画经过不在同一直线上三个点的圆 圆周角与圆心角的关系， 直径所对圆周角的 特征 掌握同弧所对圆周角等于圆心角的特性， 会 利用直径所对圆周角是直角解题 三角形的外心与内心 能区分外心与内心的联系与区别， 能画出三 角形的外心与内心 切线的概念会做一个圆的切线 切线与过切点的半径的关系 切线与经过切点的半径垂直， 凡切线存在必 将切点与圆心相连 切线的判定掌握切线的判定定理， 能灵活运用它解题 过圆上一点画圆的计算会进行有关圆的计算 弧长及扇形面积的计算牢记弧长公式及扇形面积公式 圆锥的侧面积和全面积的计算 能进行圆锥侧面积、 全面积、 圆柱侧面积、 全
3、面积的计算 一、选择题 （ 黑龙江哈尔滨） 如图，犗是犃 犅 犆的外接圆，犅 ，犗 犘犃 犆于点犘，犗 犘 槡 ， 则犗的半径为（） 槡 槡 、 （ 第题） （ 第题） （ 贵州黔西南州） 如图，犗是犃 犅 犆的外接圆， 已知 犃 犅 犗 ， 则犃 犆 犅的大小为（） （ 陕西） 如图， 在半径为的圆犗中，犃 犅、犆 犇是互相垂直的 两条弦， 垂足为犘， 且犃 犅犆 犇 ， 则犗 犘的长为（ ） 槡 槡 （ 第题） ?（ ?） 来自数学权威家的巨大精神压力终于摧垮了康托尔， 使他心力交瘁， 患了精神分裂症， 被送进精神病医院 年举 行的第一次国际数学家会议上， 他的成就得到承认， 伟大的哲学家
4、、 数学家罗素称赞康托尔的工作“ 可能是这个时代所能 夸耀的最巨大的工作” 康托尔（ ） ， 生于俄国彼得堡一丹麦犹太血统的富商家庭， 岁随家迁居德国， 自幼对数 学有浓厚兴趣 （ 辽宁铁岭） 如图，犗中， 半径犗 犃 ，犃 犗 犅 ， 用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长是（） （ 第题） （ 第题） （ 重庆） 已知： 如图，犗 犃、犗 犅是犗的两条半径， 且犗 犃 犗 犅， 点犆在犗上， 则犃 犆 犅的度数为（） （ 贵州铜仁） 小红要过生日了， 为了筹备生日聚会， 准备 自己动手用纸板制作一个底面半径为 ， 母线长为 的圆锥形生日礼帽， 则这个圆锥形礼帽的侧面积为（） （ 贵州毕节
5、） 第三十届奥运会将于 年月 日在 英国伦敦开幕， 奥运会旗图案有五个圆环组成， 右图也是一幅 五环图案， 在这个五个圆中， 不存在 獉獉獉 的位置关系是（） 外离 内切 外切相交 （ 第题） （ 第题） （ 浙江衢州） 一个人工湖如图所示， 弦犃 犅是湖上一座 桥， 已知桥犃 犅长 ， 测得圆周角犃 犆 犅 ， 则这个人 工湖的直径犃 犇为（） 槡 槡 槡 槡 （ 山东日照） 已知犃 犆犅 犆于点犆，犅 犆犪，犆 犃犫，犃 犅 犮， 下列选项中犗的半径为 犪 犫 犪犫 的是（） （ 广东广州） 如图，犃 犅切犗于点犅，犗 犃 槡 ，犃 犅 ， 弦犅 犆犗 犃， 则劣弧犅 犆的弧长为（） 槡
6、槡 （ 第 题） （ 第 题） （ 安徽） 如图，犗的半径为，犃、犅、犆是圆周上三点， 犅 犃 犆 ， 则劣弧犅 犆的长为（） （ 江苏南京） 如图， 在平面直角坐标系中，犘的圆心 （ 第 题） 是（ ，犪） ， （犪 ） ， 半径为， 函数狔狓 的图象被犘截的弦犃 犅长为槡 ， 则 犪的值是（） 槡 槡 槡 槡 （ 湖南长沙） 已知犗、犗的半径分别是狉， 狉 ， 若两圆相交， 则圆心距犗犗可能取的值是（） 二、填空题 （ 黑龙江齐齐哈尔） 用半径为， 圆心角为 的扇形 围成一个圆锥， 则圆锥的高为 （ 吉林长春） 如图，犗与正六边形犗 犃 犅 犆 犇 犈的边 犗 犃、犗 犈分别交于点犉、犌，
7、 则弧犉 犌所对的圆周角犉 犘 犌的 大小为度 （ 第 题） （ 湖北鄂州） 圆锥的底面直径是， 母线长， 则圆 锥的侧面积是 ?（ ?） 岁获博士学位， 以后一直从事数学教学与研究他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础集合论的诞生： 十七 世纪数学新的分支微积分出现之后的一二百年中， 这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果其推进速度之快使人 来不及检查和巩固它的理论基础十九世纪初， 许多迫切问题得到解决后， 出现了一场重建数学基础的运动正是在这场运 动中， 康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集， 这是集合论研究的开端 （ 福建莆田） 若扇形的圆心角为 ， 弧长为 ， 则扇 形的半径为
8、 （ 四川自贡） 如图，犃 犅 犆是正三角形， 曲线犆 犇 犈 犉叫 做正三角形的渐开线， 其中弧犆 犇、 弧犇 犈、 弧犈 犉的圆心依次 是犃、 犅、犆， 如果犃 犅 ， 那么曲线犆 犇 犈 犉的长是 （ 第 题） （ 第 题） （ 浙江温州） 如图，犃 犅是犗的直径， 点犆、犇都在犗 上， 连结犆 犃、 犆 犅、犇 犆、犇 犅， 已知犇 ，犅 犆， 则犃 犅长 是 （ 河北） 如图，犗为优弧犃 犆 犅所在的圆心，犃 犗 犆 ， 点犇在犃 犅延长线上，犅 犇犅 犆， 则犇 （ 第 题） （ 第 题） （ 山东泰安） 如图，犘 犃与犗相切， 切点为犃，犘 犗交 犗于点犆， 点犅是优弧犆 犅 犃
9、上一点， 若犃 犅 犆 ， 则 犘 （ 江苏宿迁） 如图， 从犗外一点犃引圆的切线犃 犅， 切点为犅， 连结犃 犗并延长交圆于点犆， 连结犅 犆， 若犃 ， 则犃 犆 犅 （ 第 题） （ 第 题） （ 湖北黄冈） 如图， 在犗中， 犕犃犖的度数为 ， 则 圆周角犕犃犖 （ 江西） 如图， 以点犘为圆心的圆弧与狓轴交于犃、犅 两点， 点犘的坐标为（ ，） ， 点犃的坐标为（，） ， 则点犅的 坐标为 （ 第 题） 三、解答题 （ 广东肇庆）如图， 在犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆， 以犃 犅为 直径的犗交犃 犆于点犈， 交犅 犆于点犇， 连结犅 犈、犃 犇交于 点犘求证： （ ）犇是犅 犆的中点；
10、 （ ）犅 犈 犆犃 犇 犆； （ ）犃 犅犆 犈 犇 犘犃 犇 （ 第 题） （ 江苏盐城） 如图所示，犃 犆犃 犅，犃 犅槡 ，犃 犆， 点犇是以犃 犅为直径的半圆犗上一动点，犇 犈犆 犇交直线 犃 犅于点犈， 设犇 犃 犅（ ） （ ） 当 时， 求犅 犇的长； （ ） 当 时， 求线段犅 犈的长； （ ） 若要使点犈在线段犅 犃的延长线上， 则的取值范围是 （ 直接写出答案） （ 第 题） （ 浙江湖州） 已知， 如图， 在梯形犃 犅 犆 犇中，犃 犇犅 犆， 犇 犃犇 犆， 以点犇为圆心，犇 犃长为半径的犇与犃 犅相切 于犃， 与犅 犆交于点犉， 过点犇作犇 犈犅 犆， 垂足为犈 （
11、 ） 求证： 四边形犃 犅 犈 犇为矩形； （ ） 若犃 犅 ， 犃 犇 犅 犆 ， 求犆 犉 的长 （ 第 题） ?（ ?） 到 年康托尔开始提出“ 集合” 的概念他对集合所下的定义是： 把若干确定的有区别的（ 不论是具体的或抽象的） 事 物合并起来， 看作一个整体， 就称为一个集合， 其中各事物称为该集合的元素人们把康托尔于 年 月日给戴德金的 信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日同学们或许根本无法想象它在诞生之日遭到激烈反对的情景， 也体 会不到康托尔的功绩之所在 （ 湖北潜江） 如图，犅 犇是犗的直径，犃、犆是犗上 的两点， 且犃 犅犃 犆， 犃 犇与犅 犆的延长线交于点犈
12、（ ） 求证：犃 犅 犇犃 犈 犅； （ ） 若犃 犇 ，犇 犈 ， 求犅 犇的长 （ 第 题） （ 浙江义乌） 如图， 已知犗的直径犃 犅与弦犆 犇互相 垂直， 垂足为点犈犗的切线犅 犉与弦犃 犇的延长线相交 于点犉， 且犃 犇 ， 犅 犆 犇 （ ） 求证：犆 犇犅 犉； （ ） 求犗的半径； （ ） 求弦犆 犇的长 （ 第 题） （ 山东日照） 如图，犃 犅是犗的直径，犃 犆是弦，犆 犇是 犗的切线，犆为切点，犃 犇犆 犇于点犇 求证： （ ）犃 犗 犆 犃 犆 犇； （ ）犃 犆 犃 犅犃 犇 （ 第 题） （ 湖北武汉） 如图， 点犗在犃 犘 犅的平分线上， 圆犗与 犘 犃相切于点犆
13、 （ ） 求证： 直线犘 犅与圆犗相切； （ ）犘 犗的延长线与圆犗交于点犈若圆犗的半径为，犘 犆 求 弦犆 犈的长 （ 第 题） 趋势总揽 圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题考查 的重点内容， 题型以填空题、 选择题和解答题为主， 有时也出现 阅读理解、 条件开放、 结论开放探索题这些新题型， 分值一般为 分 年中考有关命题的重点： 圆的有关性质的应用 直线和圆、 圆和圆位置关系的判定及应用 弧长、 扇形面积、 圆柱及圆锥的侧面积和全面积的计算 圆与相似三角形、 三角函数的综合运用以及有关的开放 题、 探索题 高分锦囊 熟练掌握圆的有关性质， 掌握求线段、 角的方法， 理解概 念
14、之间的相互联系和知识之间的相互转化 理解直线和圆的三种位置关系， 掌握切线的性质和判定， 会根据条件解决圆中的动态问题 掌握由两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来判定两 圆的位置关系， 对中考试题中出现的阅读理解题、 探索题， 要灵 活运用圆的有关性质， 进行合理推理与计算 如果在圆中求弦长， 一般是由圆心向弦做垂线， 利用垂径 定理先求弦的一半的长， 如果有直径， 一般利用直径所对圆周角 是 度来解题； 如果有切线， 一般均要将圆心与切点连结起来 构造直角； 这些看似死其实活的方法在解决圆的题目时很方便 理解圆柱、 圆锥侧面展开图 对组合图形的计算要灵活运用计算方法解题 ?（ ?） 前苏联数
15、学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说： “ 康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”因而只有当我 们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了什么结论后， 才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声的由来 数学与无穷有着不解之缘， 但在研究无穷的道路上却布满了陷阱因为这一原因， 在数学发展的历程中， 数学家们始终以 一种怀疑的眼光看待无穷， 并尽可能回避这一概念 常考点清单 圆： （） 在一个平面内， 线段犗 犃绕它固定的一个端点犗 旋转， 另一个端点犃所形成的叫做圆 （ ） 圆心为犗， 半径为狉的圆可以看成是所有到的 距离等于的点组成的图形 弦与弧： （） 连结圆上任意两点的叫做弦 （ ） 圆
16、上任意两点间的叫做圆弧， 简称弧 圆心角与圆周角： （） 顶点在的角叫做圆心角 （ ） 顶点在， 并且两边都与圆的角叫做圆 周角 一、圆的有关性质 圆的对称性： 圆既是轴对称图形， 又是中心对称图形 垂径定理及其推论： （ ） 定理： 垂直于弦的直径， 并且平分弦所对的两 条弧 （ ） 推论： 平分弦（ 不是直径） 的直径于弦， 并且平 分弦所对的 圆心角、 弧、 弦之间的关系： 同圆或等圆中， 两个圆心角、 两条弧、 两条弦中有一组量 ， 它们所对应的其余各组量也 圆周角定理及其推论： （ ） 定理： 在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角都等 于这条弧所对的圆心角的 （ ） 推论： 半圆
17、（ 或直径） 所对的圆周角是， 的圆 周角所对的弦是直径 二、直线和圆的位置关系 几种位置关系的区别： 直线和圆的 位置关系 相离相切相交 图形 公共点个数 公共点名称无 直线名称无 圆心到直 线的距离 犱与半径 狉的大小 关系 圆的切线的性质和判定： （ ） 性质： 如图，犆 犇为犗的切线，犅 犃为直径，犃为切点 犅 犃犆 犇， 即圆的切线于过切点的半径 （ ） 判定：经过半径的外端并且这条半径的直线 是圆的切线 如图， 犗 犃为犗的半径，犆 犇犗 犃直线犆 犇是 圆心到直线的距离等于圆的， 则这条直线是该圆 的切线如图， 犗 犃犆 犇，犗 犃狉犆 犇是 三、三角形的外接圆、 内切圆 三角形
18、的外接圆： 经过三角形的可以做一个圆， 这 个圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做这个三角形的外心 与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆， 内 切圆的圆心叫做三角形的内心 四、切线长与反证法 切线长： 经过圆外一点作圆的， 这点和切点之间 的长， 叫做这点到圆的切线长 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条， 它们 的相等， 这一点和圆心的连线这两条切线的 夹角 反证法： 首先假设命题的结论， 由此经过推理得 出， 由矛盾断定所作假设， 从而得到原命题成 立， 这种方法叫做反证法 五、圆和圆的位置关系 位置外离外切相交内切内含 图形 公共点 个数 犱与 犚、狉的 数量 关系 易混点剖析 利
19、用垂径定理进行证明或计算， 通常利用半径、 弦心距和 弦的一半组成的直角三角形求解由于圆中一条弦对应的弧以 及圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情况， 所以利用 垂径定理计算时， 不要漏解 证明直线与圆的相切， 一般有两种情况： （ ） 已知直线与圆有公共点， 这时连结圆心与公共点的半 径， 证明该半径与已知直线垂直 （ ） 不知直线与圆有公共点， 这时过圆心作与已知直线垂直 的线段， 证明此线段的长与半径相等 在解决两圆相交问题时， 常添连心线， 公共弦等辅助线 ， ?（ ?） 钱学森， 年毕业于上海交通大学他 年考取美国麻省理工学院并进行深造学习， 拜著名的航空科学家冯卡 门为师， 学
20、习航空工程理论， 三年后便获得了博士学位并留校任教在冯卡门的指导下， 钱学森对火箭技术产生了浓厚的 兴趣， 并在高速空气动力学和喷气推进研究领域中突飞猛进不久， 经冯卡门的推荐， 钱学森成为了加州理工学院最年轻 的终身教授 使两圆半径、 圆心距、 公共弦长的一半集中于直角三角形中， 利 用三角形的有关知识加以解决 等弧的弧长一定相等， 但弧长相等的弧不一定是等弧 易错题警示 【 例】 （ 山东聊城） 如图，犗是犃 犅 犆的外接 圆， 犃 犅犃 犆 ，犅 犆 ，犘是犅 犆上的一个动点， 过点犘作犅 犆 的平行线交犃 犅的延长线于点犇 （ ） 当点犘在什么位置时，犇 犘是犗的切线？请说明理由 （
21、） 当犇 犘为犗的切线时， 求线段犇 犘的长 【 解析】此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理 和相似三角形的判定与性质， 根据已知得出犃 犅 犈犃 犇 犘是 解题关键对切线的判定与性质定理混淆是解题的误区 （ ） 根据当点犘是犅 犆的中点时， 得出犘 犅 犃犘 犆 犃， 得出犘 犃 是犗的直径， 再利用犇 犘犅 犆， 得出犇 犘犘 犃， 问题得证 （ ） 利用切线的性质， 由勾股定理得出半径长， 进而得出 犃 犅 犈犃 犇 犘， 即可得出犇 犘的长 【 答案】（ ） 当点犘是犅 犆的中点时，犇 犘是犗的切线理 由如下： 犃 犅犃 犆， 犃 犅 犃 犆 又 犘 犅犘 犆， 犘 犅 犃 犘
22、犆 犃 犘 犃是犗的直径 犘 犅 犘 犆， 又犃 犅犃 犆， 犘 犃犅 犆 又犇 犘犅 犆， 犇 犘犘 犃 犇 犘是犗的切线 （ ） 连结犗 犅， 设犘 犃交犅 犆于点犈 由垂径定理， 得犅 犈犅 犆 在 犃 犅 犈中， 由勾股定理， 得 犃 犈犃 犅 犅 犈 槡 槡 设犗的半径为狉， 则犗 犈 狉 在 犗 犅 犈中， 由勾股定理， 得 狉 （ 狉） 解得狉 犇 犘犅 犆， 犃 犅 犈犇 又 ， 犃 犅 犈犃 犇 犘 犅 犈 犇 犘 犃 犈 犃 犘， 即 犇 犘 解得犇 犘 【 例】 （ 浙江金华市） 如图， 已知犃 犅是犗的直 径， 点犆、犇在犗上， 点犈在犗外，犈 犃 犆犇 （ ） 求犃
23、犅 犆的度数； （ ） 求证：犃 犈是犗的切线； （ ） 当犅 犆 时， 求劣弧犃 犆的长 【 解析】本题主要考察了切线的判定； 圆周角定理； 弧长的 计算对公式及定义的记忆不牢或不准是学生最常见得错误在 圆周角定理要强调“ 同弧” 的重要性 【 答案】（ ）犃 犅 犆与犇都是弧犃 犆所对的圆周角， 犃 犅 犆犇 （ ）犃 犅是犗的直径， 犃 犆 犅 犅 犃 犆 犃 犅 犆 ， 犅 犃 犈犅 犃 犆犈 犃 犆 ， 即犅 犃犃 犈 犃 犈是犗的切线 （ ） 如图， 连结犗 犆 犗 犅犗 犆，犃 犅 犆 ， 犗 犅 犆是等边三角形 犗 犅犅 犆 ，犅 犗 犆 犃 犗 犆 劣弧犃 犆的长为 ?（ ?
24、） 年在周总理努力下， 钱学森一家人回到阔别 年的祖国不久， 他被任命为中国科学院力学研究所所长 年 月日， 我国第一个导弹研究机构 国防部第五研究院成立， 钱学森被任命为第一任院长在钱学森的指导下， 经过 艰苦的努力， 年 月， 我国第一枚国产导弹终于研制成功 一、选择题 （ 浙江丽水一模） 如图，犃 犅为犗的直径， 点犆、犇在 犗上，犅 犃 犆 ， 则犃 犇 犆（） （ 第题） （ 第题） （ 四川泸县春期福集镇青龙中学中考模拟） 将量角器按 如图所示的方式放置在三角形纸板上， 使点犆在半圆上点 犃、犅的读数分别为 ， ， 则犃 犆 犅的大小为（） （ 北京西城区初三一模） 如图，犃 犅是
25、犗的直径，犃 犅 ，犃 犆是弦，犃 犆 槡 ，犃 犗 犆为（） （ 第题） （ 第题） （ 安徽马鞍山六中中考一模） 如图， 两正方形彼此相邻 且内接于半圆， 若小正方形的面积为 ， 则该半圆的半径 为（） （ 槡 ） 槡 槡 （ 安徽淮南市洞山中学第四次质量检测） 如图，犃 犅是犗 的直径， 犆、犇为圆上两点，犃 犗 犆 ， 则犇等于（） （ 第题） （ 第题） （ 浙江省金华市一模） 如图，犃 犅 犆内接于犗，犃 犇是 犗的直径，犃 犅 犆 ， 则犆 犃 犇的度数是（） （ 福建福州模拟卷） 一条排水管的截面如图所示， 已知 排水管的截面半径犗 犅 ， 截面圆圆心犗到水面的距离犗 犆 是，
26、 则水面宽犃 犅是（） （ 第题） （ 第题） （ 浙江衢州） 一个圆形人工湖如图所示， 弦犃 犅是湖上 的一座桥， 已知桥犃 犅长 ， 测得圆周角犃 犆 犅 ， 则 这个人工湖的直径犃 犇为（） 槡 槡 槡 槡 （ 湖南娄底） 若犗的半径为 ， 点犃到圆心犗的距 离为 ， 那么点犃与犗的位置关系是（） 点犃在圆外 点犃在圆上 点犃在圆内不能确定 （ 贵州毕节模拟） 如图， 将半径为 的圆形纸片折 叠后， 圆弧恰好经过圆心犗， 则折痕犃 犅的长为（） （ 第 题） 槡 槡 槡 （ 安徽安庆模拟） 如图， 将一个半径为、 圆心角为 的扇形犃 犗 犅如图放置在直线犾上（ 犗 犃与直线犾重合） ，
27、然后 将这个扇形在直线犾上无摩擦滚动至犗 犃 犅 的位置， 在这 个过程中， 点犗运动到点犗 的路径长度为（） （ 第 题） （ 南京六合区模拟） 如图， 把正犃 犅 犆的外接圆对折， 使点犃与劣弧 犅 犆的中点犕重合， 折痕分别交犃 犅、犃 犆于犇、 犈， 若犅 犆 ， 则线段犇 犈的长为（） ?（ ?） 这是一个真实的故事故事发生在美国的弗吉尼亚州， 曾经有一对夫妇， 男的叫拉尔夫， 女的叫卡罗琳 年月 日， 他们的长女卡莎琳出生了， 当卡莎琳过周岁生日的那天， 她的妹妹出生了（ 年月 日）这倒不算什么， 到了 年月 日， 她们的弟弟也出生了 年月 日， 他们的另一个妹妹出生了又过了几年，
28、 最小的妹妹又在他们 同一天生日里来到人间一对夫妇生了个孩子， 生日相同， 这不能不说是一个奇迹 （ 第 题） 槡 槡 （ 北师大昆明附中） 已知圆锥的侧面积为 ， 侧 面展开图的圆心角为 ， 则该圆锥的母线长为（） 槡 槡 二、填空题 （ 上海金山区中考模拟） 已知两圆的圆心距为， 其中 一个圆的半径长为， 那么当两圆内切时， 另一圆的半径为 （ 广东深圳市龙城中学质量检测） 如图， 点犃、犇在犗 上， 犅 犆是犗的直径，犇 ， 则犗 犃 犆 （ 第 题） （ 第 题） （ 河南省阳市二中模拟） 如图，犃 犅切犗于点犃，犅 犗 交犗于点犆， 点犇是 犆 犕犃上异于点犆、犃的一点， 若 犃 犅
29、 犗 ， 则犃 犇 犆的度数是 （ 江苏通州兴仁中学一模） 如图，犃 犅是半圆犗的直 径， 犗 犇犃 犆，犗 犇 ， 则弦犅 犆的长为 （ 第 题） （ 北师大昆明附中） 两圆的半径分别为 和 ， 圆心距为 那么这两圆的位置关系是 （ 北京大兴区模拟） 如图， 在犗中，犆 犇是直径，犃 犅 是弦， 犃 犅犆 犇于犕，犆 犇 ，犇犕犆 犕， 则弦 犃 犅的长为 （ 第 题） （ 第 题） （ 浙江泰顺七中模拟） 如图，犃 犅是犗的弦，犃 犅 ，犗的半径 ， 半径犗 犆犃 犅于点犇， 则犗 犇的长是 （ 安徽安庆二模） 如图，犃 犅、犃 犆是犗的两条弦，犃 ， 过点犆的切线与犗 犅的延长线交于点犇
30、， 则犇的度 数是 （ 第 题） 三、解答题 （ 山东德州三模） 已知： 如图，犃 犅是犗的直径， 点犆、 犇为圆上两点， 且弧犆 犅弧犆 犇，犆 犉犃 犅于点犉，犆 犈犃 犇 的延长线于点犈 （ ） 试说明：犇 犈犅 犉； （ ） 若犇 犃 犅 ，犃 犅 ， 求犃 犆 犇的面积 （ 第 题） （ 上海金山区中考模拟） 在平行四边形犃 犅 犆 犇中， 以 点犃为圆心， 犃 犅为半径的圆， 交犅 犆于点犈 （ ） 求证：犃 犅 犆犈 犃 犇； （ ） 如果犃 犅犃 犆，犃 犅 ， 犅 求犈 犆的长 （ 第 题） ?（ ?） 因为只要求个人生日相同， 所以第个孩子的生日没有任何限制， 可以看做只有
31、种结果， 其余个孩子 的生日分别有 种结果（ 假设所生的每个孩子的年份都不是闰年， 且各不相同） ， 根据乘法原理：个孩子的生 日共有 种不同的结果， 而要和第个孩子生日相同， 则只有种结果， 所以， 这对夫妇生个孩子， 要生日相 同的概率为犘（犃） 你不觉得这个概率太小了吗？ （ 江苏徐州市模拟） 如图， 平行四边形犃 犅 犆 犇中， 以犃 为圆心， 犃 犅为半径的圆分别交犃 犇、犅 犆于点犉、犌， 延长犅 犃 交圆于犈求证： 犈 犉犉 犌 （ 第 题） （ 江西南昌十五校联考） 如图，犅 犇是犗的直径，犃、犆 是犗上的两点， 且犃 犅犃 犆，犃 犇与犅 犆的延长线交于点 犈 （ ） 求证：
32、犃 犅 犇犃 犈 犅； （ ） 若犃 犇 ，犇 犈 ， 求犗半径的长 （ 第 题） （ 广州白云区模拟） 如图，犃 犅为犗的直径， 弦犆 犇 犃 犅于点犈 （ ） 当犃 犅 ，犆 犇 时， 求犗 犈的长； （ ）犗 犆 犇的平分线交犗于点犘， 当点犆在上半圆（ 不包 括点犃、 犅） 上移动时， 对于点犘， 下面三个结论： 到犆 犇的距离保持不变；平分下半圆；等分犇 犅 其中正确的为， 请予以证明 （ 第 题） （ 福建泉州模拟） 如图所示， 菱形犃 犅 犆 犇的顶点犃、犅 在狓轴上， 点犃在点犅的左侧， 点犇在狔轴的正半轴上， 犅 犃 犇 ， 点犃的坐标为（ ，） （ ） 求线段犃 犇所在直线
33、的函数表达式； （ ） 动点犘从点犃出发， 以每秒个单位长度的速度， 按照 犃犇犆犅犃的顺序在菱形的边上匀速运动一周， 设运动时间为狋秒求狋为何值时， 以点犘为圆心、 以 为半径的圆与对角线犃 犆相切？ （ 第 题） （ 安徽巢湖七中模拟） 如图， 点犃、犅、犆、犇在犗上， 犃 犅犃 犆，犃 犇与犅 犆相交于点犈，犃 犈 犈 犇， 延长犇 犅 到点 犉， 使犉 犅 犅 犇， 连结犃 犉 （ ） 证明：犅 犇 犈犉 犇 犃； （ ） 试判断直线犃 犉与犗的位置关系， 并给出证明 （ 第 题） ?（ ?） 强盗抢劫了一个商人， 将他捆在树上准备杀掉为了戏弄这个商人， 强盗头子对他说： “ 你说我会
34、不会杀掉你， 如果 说对了， 我就放了你， 决不反悔！如果说错了， 我就杀掉你” 聪明的商人仔细一想， 便说： “ 你会杀掉我的” 于是强盗头 子发呆了， “ 哎呀， 我怎么办呢， 如果我把你杀了， 你就是说对了， 那应该放你； 如果把你放了， 你就说错了， 应该杀掉才 是” 强盗头子想不到自己被难住了， 心想商人也很聪明， 只好将他放了 已知， 如图所示， 犅 犆与犃 犇的度数之差为 ， 弦犃 犅与犆 犇交 于点犈，犆 犈 犅 ， 则犆 犃 犅等于（） （ 第题） （ 第题） 如图，犃 犅犅 犆，犃 犅犅 犆 ， 弧犗 犃与弧犗 犆关于点犗中心对 称， 则犃 犅、 犅 犆、 弧犆 犗、 弧犗
35、 犃所围成的面积是 两圆内切， 其中一个圆的半径为， 两圆的圆心距为， 则另一 个圆的半径是 如图所示， 已知在 犃 犅 犆中，犃 犅 犆 ，犅 犃 犆 ， 犃 犅 槡 ， 将犃 犅 犆绕顶点犆顺时针旋转至犃 犅 犆 的 位置， 且犃、 犆、犅 三点在同一条直线上， 则点犃经过的最短路 线的长度是 （ 第题） 在一次数学探究性学习活动中， 某学习小组要制作一个圆锥 体模型， 操作规则是： 在一块边长为 的正方形纸片上剪 出一个扇形和一个圆， 使得扇形围成圆锥的侧面时， 圆恰好是 该圆锥的底面他们首先设计了如图所示的方案一， 发现这种 方案不可行， 于是他们调整了扇形和圆的半径， 设计了如图所
36、示的方案二（ 两个方案中， 圆与正方形相邻两边及扇形的弧均 相切， 方案一中扇形的弧与正方形的两边相切） （ ） 请说明方案一不可行的理由； （ ） 判断方案二是否可行； 若可行， 请确定圆锥的母线长及其 底面圆半径； 若不可行， 请说明理由 （ 第题） 张宇同学是一名天文爱好者， 他通过查阅资料得知： 地球、 火 星的运行轨道可以近似地看成是以太阳为圆心的两个同心 圆， 且这两个同心圆在同一平面上（ 如图所示）由于地球和火 星的运动速度不同， 所以二者的位置不断发生变化当地球、 太阳和火星三者处在同一条直线上， 且太阳位于地球、 火星中 间时， 称为“ 合” ； 当地球、 太阳和火星三者处在
37、同一条直线上， 且地球位于太阳、 火星中间时， 称为“ 冲”另外， 从地球上看火 星与太阳， 当两条视线互相垂直时， 分别称为“ 东方照” 和“ 西 方照”已知地球距太阳 千万千米， 火星距太阳 千万 千米 （ ） 分别求“ 合” “ 冲” “ 东方照” “ 西方照” 时， 地球与火星的距 离； （ 结果保留准确值） （ ） 如果从地球上发射宇宙飞船登上火星， 为了节省燃料， 应 选择在什么位置时发射较好？说明你的理由 （ 注： 从地球上看火星， 火星在地球左、 右两侧时分别叫做 “ 东方照” “ 西方照” ） （ 第题） 如图，犗的内接正五边形犃 犅 犆 犇 犈的对角线犃 犇与犅 犈相交 于
38、点犕 （ ） 请直接写出图中所有等腰三角形； （ ） 求证：犅犕 犅 犈犕 犈 （ 第题） 圆 年考题探究 解析 因为犃 犗 犆 犅 ，犆 犗 犘 犃 犗 犆 解析犃 犆 犅 犃 犗 犅 解析 连结犗 犅、犗 犇， 过犗作犗 犎犃 犅， 交犃 犅于点犎 在 犗 犅 犎中， 由勾股定理可知， 犗 犎 ， 同理可作犗 犈犆 犇， 犗 犈 ， 且易证犗 犘 犈犗 犘 犎， 所以犗 犘槡 解析 阴影部分的弧长为 ， 所以围成的圆锥底面 圆的半径长是 解析 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 解析 圆锥形礼帽的侧面积 （ ） 解析 这五个圆没有内切关系 解析 连结犅 犇， 则犃 犇 犅犃 犆 犅 ， 又犃
39、 犇为直径， 犃 犅 犇 犃 犇犃 犅 犅 犇 槡 槡 槡 （） 解析 连结犗 犆， 犛犃 犅 犆犛犃 犗 犆犛犅 犗 犆 解析 连结犗 犅、犗 犆 在 犗 犅 犃中，犗 犅 犗 犃 犃 犅 槡 槡 由 犃犗 犅 犃 犅 槡 ， 得犃 犆 犅 犗犅 犗 犃 ，犆 犗 犅 犅 犆 狀犚 槡 槡 解析 犅 犆 狀犚 解析 圆的方程为（ 狓 ） （ 狔犪） ， 把狔狓代入， 得狓（ 犪）狓犪 狓狓 犪 犪，狓狓犪 犃 犅 （狓犃狓犅）（ 狔犃狔犅）槡（狓犃狓犅）槡 槡 （ 狓犃狓犅） 狓犃狓槡 犅， 槡槡 （ 犪） 犪 槡 犪槡 或犪 槡 （ 舍去） 解析 若两圆相交， 则圆心距狉狉犗犗狉 狉， 选
40、 槡 解析 扇形的弧长为 ， 从而计算出圆锥的底面 半径为 解析 正六边形每一个内角都是 ， 所以犉 犘 犌 犉 犗 犌 解析 利用圆锥的侧面积公式计算 解析 利用弧长公式计算 解析 曲线犆 犇 犈 犉的长是 （ ） 解析犃犇 ， 在 犃 犆 犅中，犃 犅 犅 犆 解析犃 犅 犆 犃 犗 犆 ， 犅 犇犅 犆， 犇犅 犆 犇 犃 犅 犆 解析 连结犗 犃， 则犃 犗 犆 犃 犅 犆 ， 在 犘 犃 犗中，犘 犃 犗 犆 解析 连结犗 犅， 在 犗 犅 犃中， 犃 犗 犅 犃 ， 犃 犆 犅 犃 犗 犅 解析 由题意知犕犗 犖 ， 所以犕犃犖 （，） 解析 过点犘作犃 犅的垂线， 垂足为犇， 则
41、犇是 犃 犅的中点， 且犗 犇 ， 那么犃 犇犇 犅 ， 所以犗 犅 （）犃 犅是直径， 犃 犇 犅 ， 即犃 犇犅 犆 又犃 犅犃 犆， 犇是犅 犆的中点 （） 在犅 犈 犆与犃 犇 犆中， 犆犆，犆 犃 犇犆 犅 犈， 犅 犈 犆犃 犇 犆 （）犅 犈 犆犃 犇 犆， 犃 犆 犆 犇 犅 犆 犆 犈 又犇是犅 犆的中点， 犅 犇 犆 犇犅 犆 犃 犆 犅 犇 犅 犇 犆 犈 则 犅 犇犃 犆犆 犈 在犅 犘 犇与犃 犅 犇中， 有犅 犇 犘犅 犇 犃， 又犃 犅犃 犆，犃 犇犅 犆， 犆 犃 犇犅 犃 犇 又犆 犃 犇犆 犅 犈， 犇 犅 犘犇 犃 犅 犅 犘 犇犃 犅 犇 犅 犇 犘 犇
42、 犃 犇 犅 犇 则犅 犇犘 犇犃 犇 由， 得 犃 犆犆 犈 犅 犇 犘 犇犃 犇 犃 犅犆 犈 犇 犘犃 犇 （） 连结犗 犇， 在犗中， 犇 犃 犅 ， 犇 犗 犅 犇 犃 犅 又犃 犅 槡 ， 犗 犅槡 犾犅 犇 槡 槡 （）犃 犅为犗的直径， 犃 犇 犅 又犇 犃 犅 ，犃 犅 槡 ， 犅 犇槡 ，犃 犇犃 犅 又犃 犆犃 犅， 犆 犃 犅 犆 犃 犇犇 犃 犅 又犃 犇 犅 ， 犇 犃 犅犅 犆 犃 犇犅 又犇 犈犆 犇， 犆 犇 犈 犆 犇 犃犃 犇 犈 又犃 犇 犈犈 犇 犅 ， 犆 犇 犃犈 犇 犅 犆 犇 犃犈 犇 犅 犃 犆 犅 犈 犃 犇 犅 犇 又犃 犆 ， 犅 犈
43、槡 犅 犈 槡 （） （）犇与犃 犅相切于点犃， 犃 犅犃 犇 犃 犇犅 犆，犇 犈犅 犆， 犇 犈犃 犇 犇 犃 犅犃 犇 犈犇 犈 犅 四边形犃 犅 犈 犇为矩形 （）四边形犃 犅 犈 犇为矩形， 犇 犈犃 犅 犇 犆犇 犃， 点犆在犇上 犇为圆心，犇 犈犅 犆， 犆 犉 犈 犆 犃 犇 犅 犆 ， 设犃 犇 犽（ 犽 ） ， 则犅 犆 犽 犅 犈 犽，犈 犆犅 犆犅 犈 犽 犽犽，犇 犆犃 犇 犽 由勾股定理， 得犇 犈犈 犆犇 犆， 即 犽（ 犽） 犽 犽 ， 犽槡 犆 犉 犈 犆 槡 （）犃 犅犃 犆， 犃 犅 犃 犆 犃 犅 犆犃 犇 犅 又犅 犃 犈犇 犃 犅， 犃 犅 犇犃 犈 犅 （）犃 犅 犇犃 犈 犅， 犃 犅 犃 犈 犃 犇 犃 犅 犃 犇 ，犇 犈 ， 犃 犈 犃 犅 犃 犇犃 犈 犃 犅 犅 犇是犗的直径， 犇 犃 犅 在 犃
