1、 ?（ ?） 丘吉尔理智撤回援法战机 二战时期， 当德国对法国等几个国家发动攻势时， 英国首相丘吉尔应法国的请求， 动用了十几个航空中队的飞机与 德国作战， 这些中队必须由欧洲大陆上的机场来维修和操作， 空战中飞机损失惨重与此同时， 法国总理要求继续增派 十个中队的飞机， 丘吉尔决定同意这一要求 图形的相似 内容清单能力要求 比例的基本性质 能记住比例的基本性质， 会利用合比性质、 等比性质 线段的比、 比例线段 能说出比例线段、 比例中项、 第四比例等概 念 黄金分割 理解并掌握黄金分割点， 能确定线段的黄金 分割点 图形相似的概念会利用相似定义进行相似的判断 相似图形的性质正确说出相似图形
2、的性质 相似三角形的概念 会利用相似三角形的定义进行相似三角形 的判断 两个三角形相似的条件 掌握使两个三角形相似的条件， 能说出各个 相似条件的联系 利用位似将图形放大或缩小会利用位似性质进行图形的放大或缩小 利用图形的相似解决一些实际 问题 利用相似性质解决实际问题 一、选择题 （ 四川宜宾） 如图， 在四边形犃 犅 犆 犇中，犇 犆犃 犅，犆 犅 犃 犅，犃 犅犃 犇，犆 犇 犃 犅， 点犈、 犉分别为犃 犅、犃 犇的中点， 则犃 犈 犉与多边形犅 犆 犇 犉 犈的面积之比为（） （ 第题） （ 第题） （ 山东德州） 为了测量被池塘隔开的犃，犅两点之间的 距离， 根据实际情况， 作出如
3、图图形， 其中犃 犅犅 犈，犈 犉 犅 犈，犃 犉交犅 犈于犇，犆在犅 犇上有四位同学分别测量出以下 四组数据：犅 犆，犃 犆 犅；犆 犇，犃 犆 犅，犃 犇 犅；犈 犉，犇 犈， 犅 犇；犇 犈，犇 犆，犅 犆能根据所测数据， 求出犃，犅间距离的有 （） 组 组 组 组 （ 湖北荆州） 下列 的正方形网格中， 小正方形的边 长均为， 三角形的顶点都在格点上， 则与犃 犅 犆相似的三角 形所在的网格图形是（） （ 第题） ?（ ?） 内阁知道此事后， 找来数学家进行分析预测， 并根据出动飞机与战损飞机的统计数据建立了回归预测模型经过研 究发现， 如果补充率、 损失率不变， 飞机数量的下降是非常
4、快的就是以现在的损失率损失两周， 英国在法国的“ 飓风” 战 斗机便一架也不存在了， 数学家要求内阁否定这一决定， 最后丘吉尔让步了， 并将其余飞机全部撤回英国， 为下一步的 国土保卫战保存了实力 （ 台湾） 如图， 边长 的正方形犃 犅 犆 犇中， 有一个小正 方形犈 犉 犌犎， 其中犈、 犉、犌分别在犃 犅、犅 犆、犉 犇上若犅 犉 ， 则小正方形的边长为何？（） 槡 （ 第题） （ 第题） （ 黑龙江绥化） 如图， 在平行四边形犃 犅 犆 犇中，犈是犆 犇 上的一点，犇 犈犈 犆， 连结犃 犈、犅 犈、犅 犇， 且犃 犈、犅 犇交 于点犉， 则犛犇 犈 犉犛犈 犅 犉犛犃 犅 犉（） （
5、 贵州毕节） 如图， 在平面直角坐标系中， 以原点犗为 位中心， 将犃 犅 犗扩大到原来的倍， 得到犃 犅 犗若点犃 的坐标是（ ，） ， 则点犃 的坐标是（） （ 第题） （，） （ ， ） （ ， ）（ ， ） （ 江苏无锡） 如图， 四边形犃 犅 犆 犇的对角线犃 犆、犅 犇相 交于点犗， 且将这个四边形分成、四个三角形若 犗 犃犗 犆犗 犅犗 犇， 则下列结论中一定正确的是（） 与相似 与相似 与相似 与相似 （ 第题） （ 第题） （ 山东泰安） 如图， 点犉是犃 犅 犆 犇的边犆 犇上一点， 直 线犅 犉交犃 犇的延长线于点犈， 则下列结论错误的是（） 犈 犇 犈 犃 犇 犉 犃
6、犅 犇 犈 犅 犆 犈 犉 犉 犅 犅 犆 犇 犈 犅 犉 犅 犈 犅 犉 犅 犈 犅 犆 犃 犈 （ 江苏连云港） 如图， 在正五边形犃 犅 犆 犇 犈中， 对角线 犃 犇、犃 犆与犈 犅分别相交于点犕、犖下列结论错误的是 （） 四边形犈 犇 犆 犖是菱形 四边形犕犖 犆 犇是等腰梯形 犃 犈犕与犆 犅 犖相似 犃 犈 犖与犈 犇犕全等 （ 第题） （ 第 题） （ 广东茂名） 如图， 吴伯伯家有一块等边三角形的空地 犃 犅 犆， 已知犈、犉分别是犃 犅、犃 犆的中点， 量得犈 犉 ， 他想 把四边形犅 犆 犉 犈用篱笆围成一圈放养小鸡， 则需用篱笆的 长是（） （ 吉林） 如图， 在犃 犅
7、 犆中，犆 ，犇是犃 犆上一 点，犇 犈犃 犅于点犈， 若犃 犆 ， 犅 犆 ，犇 犈 ， 则犃 犇的长 为（） （ 第 题） （ 第 题） （ 浙江嘉兴） 如图， 已知犃 犇为犃 犅 犆的角平分线， 犇 犈犃 犅交犃 犆于点犈， 如果犃 犈 犈 犆 ， 那么 犃 犅 犃 犆等于（ ） 二、填空题 （ 上海） 在犃 犅 犆中， 点犇、犈分别在犃 犅、犃 犆上， 犃 犈 犇犅， 如果犃 犈 ，犃 犇 犈的面积为， 四边形犅 犆 犇 犈的面积为， 那么犃 犅的长为 （ 第 题） （ 第 题） （ 四川资阳） 如图，犗为矩形犃 犅 犆 犇的中心，犕为犅 犆 边上一点，犖为犇 犆边上一点， 犗 犖犗犕
8、， 若犃 犅 ，犃 犇 ， 设犗犕狓， 犗 犖狔， 则狔与狓的函数关系式为 （ 浙江衢州） 如图， 平行四边形犃 犅 犆 犇中，犈是犆 犇 的 ?（ ?） 以算法为中心， 属于应用数学 中国古代数学不脱离社会生活与生产的实际， 以解决实际问题为目标， 数学研究是围绕建立算法与提高计算技术 而展开的如西汉末年（ 公元前世纪） 编纂的 周髀算经 ， 尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作， 但却包含了许多数 学内容， 在数学方面主要有两项成就： （） 提出勾股定理的特例及普遍形式； （） 测太阳高、 远的陈子测日汉， 为后来重 差术（ 勾股测量法） 的先驱此外， 还有较复杂的开方问题和分数运算等 延长
9、线上一点，犅 犈与犃 犇交于点犉，犆 犇犇 犈若犇 犈 犉 的面积为犪， 则平行四边形犃 犅 犆 犇的面积为（ 用犪 的代数式表示） （ 第 题） （ 第 题） （ 湖南娄底） 如图， 在一场羽毛球比赛中， 站在场内犕 处的运动员林丹把球从犖点击到了对方内的犅点， 已知网 高犗 犃 米，犗 犅米，犗犕米， 则林丹起跳后击球 点犖离地面的距离犖犕米 （ 山东滨州） 如图， 锐角三角形犃 犅 犆的边犃 犅，犃 犆上 的高线犆 犈和犅 犉相交于点犇， 请写出图中的两对相似三角 形：（ 用相似符号连结） （ 第 题） （ 第 题） （ 山东菏泽） 如图，犇 犃 犅犆 犃 犈， 请补充一个条件 件：，
10、使犃 犅 犆犃 犇 犈 （ 辽宁丹东） 已知四边形犃 犅 犆 犇是平行四边形， 则图 中相似的三角形有对 （ 第 题） （ 第 题） （ 江苏苏州） 如图， 已知犃 犅 犆是面积为槡 的等边三 角形，犃 犅 犆犃 犇 犈， 犃 犅犃 犇，犅 犃 犇 ，犃 犆与犇 犈 相交于点犉， 则犃 犈 犉的面积等于（ 结果保留根 号） （ 广东广州） 如图， 以点犗为位似中心， 将五边形 犃 犅 犆 犇 犈放大后得到五边形犃 犅 犆 犇 犈 ， 已知犗 犃 ， 犗 犃 ， 则五边形犃 犅 犆 犇 犈的周长与五边形犃 犅 犆 犇 犈 的周长的比值是 （ 第 题） （ 第 题） （ 山西） 如图， 在犃 犅
11、犆中，犃 犅犃 犆 ，犅 犆 ，犇 是犃 犅的中点， 过点犇作犇 犈犃 犆于点犈， 则犇 犈的长是 （ 安徽芜湖） 如图， 光源犘在横杆犃 犅的正上方，犃 犅在灯 光下的影子为犆 犇， 犃 犅犆 犇，犃 犅 ，犆 犇 ， 点犘到犆 犇的 距离是 ， 则犃 犅与犆 犇间的距离 （ 第 题） （ 第 题） （ 上海） 如图， 在犃 犅 犆中， 点犇在边犃 犅上， 满足 犃 犆 犇犃 犅 犆， 若犃 犆 ，犃 犇 ， 则犇 犅 三、解答题 （ 广东梅州） 如图，犃 犆是犗的直径， 弦犅 犇交犃 犆于 点犈 （ ） 求证：犃 犇 犈犅 犆 犈； （ ） 如果犃 犇 犃 犈犃 犆， 求证： 犆 犇犆 犅
12、 （ 第 题） （ 河北） 如图（） ， 点犈是线段犅 犆的中点， 分别以犅、犆 为直角顶点的犈 犃 犅和犈 犇 犆均是等腰直角三角形， 且在 犅 犆的同侧 （） （） （） （ 第 题） （ ）犃 犈和犈 犇的数量关系为，犃 犈和犈 犇的位置关 系为； （ ） 在图（） 中， 以点犈为位似中心， 作犈 犌 犉与犈 犃 犅位 似， 点犎是犅 犆所在直线上的一点， 连结犌犎，犎犇， 分别 得到了图（ ） 和图（） ； 在图（） 中， 点犉在犅 犈上，犈 犌 犉与犈 犃 犅的相似比 是 ，犎是犈 犆的中点求证： 犌犎犎犇，犌犎犎犇 ?（ ?） 具有较强的社会性 在中国传统的数学文化中， 数学被儒家
13、学派作为培养人的道德与技能的基本知识 六艺（ 礼、 乐、 射、 御、 书、 数） 之一， 它的作用在于“ 通神明、 顺性命， 经世务、 类万物” ， 所以中国传统数学总是被打上中国哲学与古代学术思想的烙 印， 往往与术数交织在一起同时， 数学教育与研究往往被封建政府所控制， 如唐宋时代的数学教育与科举制度、 历代数 学家往往是政府的天文官员， 这些事例充分反映了这一性质 在图（） 中， 点犉在犅 犈的延长线上，犈 犌 犉与犈 犃 犅 的相似比是犽， 若犅 犆， 请直接写出犆 犎的长为 多少时， 恰好使得犌犎犎犇且犌犎犎犇（ 用含犽的代 数式表示） （ 广西柳州） 如图，犃 犅是犗的直径，犃 犆
14、是弦 （ ） 请你按下面步骤画图（ 画图或作辅助线时先使用铅笔画 出， 确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑） ； 第一步， 过点犃作犅 犃 犆的角平分线， 交犗于点犇； 第二步， 过点犇作犃 犆的垂线， 交犃 犆的延长线于点犈 第三步， 连结犅 犇 （ ） 求证：犃 犇 犃 犈犃 犅； （ ） 连结犈 犗， 交犃 犇于点犉， 若犃 犆 犃 犅， 求犈 犗 犉 犗的值 （ 第 题） （ 山东泰安） 如图，犈是矩形犃 犅 犆 犇的边犅 犆上一点， 犈 犉犃 犈，犈 犉分别交犃 犆、犆 犇于点犕、犉，犅 犌犃 犆， 垂足为 犌，犅 犌交犃 犈于点犎 （ ） 求证：犃 犅 犈犈 犆 犉； （ ） 找出
15、与犃 犅犎相似的三角形， 并证明； （ ） 若犈是犅 犆中点，犅 犆 犃 犅，犃 犅 ， 求犈犕的长 （ 第 题） （ 安徽） 如图， 已知犃 犅 犆犃犅犆， 相似比为犽（犽 ） ， 且犃 犅 犆的三边长分别为犪， 犫，犮（犪犫犮） ，犃犅犆 的三边长分别为犪 ，犫，犮 （ ） 若犮犪， 求证：犪犽 犮； （ ） 若犮犪， 试给出符合条件的一对犃 犅 犆和犃犅犆， 使得犪， 犫，犮和犪，犫，犮都是正整数， 并加以说明； （ ） 若犫犪，犮犫， 是否存在犃 犅 犆和犃犅犆使得犽 ？请说明理由 （ 第 题） 趋势总揽 图形的相似这一知识点是平面几何中极为重要的内容， 是 中考数学中的重点考查内容，
16、 近几年的中考题虽然以直接证相 似为结论的题目在减少， 但作为一种解决问题的工具， 在解题中 必不可少故考生加强此知识点的训练也很重要相似形应用广 泛， 与三角形、 平行四边形联系紧密估计 年中考的填空 题、 选择题将注重对“ 相似三角形的判定与性质” 等基础知识的 考查， 解答题中将加大知识的横向与纵向联系及应用问题的力 度， 一般所占分值约占全卷分值的 左右 高分锦囊 要掌握基础知识和基本技能 运用相似的知识解决一些实际问题， 要能够在理解题意 的基础上， 把它转化为纯数学知识的问题， 要注意培养数学建模 的思想 在综合题中， 注意相似知识的灵活运用， 并熟练掌握等线 段代换、 等比代换、
17、 等量代换技巧的应用， 培养综合运用知识的 能力 判定三角形相似的几条思路 （ ） 条件中若有平行线， 可采用相似三角形的基本定理； （ ） 条件中若有一对等角， 可再找一对等角或再找夹边成比 例； （ ） 条件中若有两边对应成比例， 可找夹角相等； （ ） 条件中若有一对直角， 可考虑再找一对等角或证明斜 边、 直角边对应成比例； （ ） 条件中若有等腰关系， 可找顶角相等， 可找一对底角相 等， 也可找底和腰对应成比例 ?（ ?） 寓理于算， 理论高度概括 由于中国传统数学注重解决实际问题， 再加上中国人的综合、 归纳思维， 所以中国传统数学不关心数学理论的 形式化， 但这并不意味着中国传
18、统数学仅停留在经验层次而无理论建树其实， 中国古代数学的算法中蕴涵着建立 这些算法的理论基础， 中国古代数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、 形象直观的数学原理之 上， 如代数中的“ 率” 的理论、 平面几何中的“ 出入相补” 原理、 立体几何中的“ 阳马术” 等 常考点清单 一、相似图形的性质 相似多边形的性质 性质： 相似多边形对应角， 对应边的 相等； 性质： 相似多边形周长的比等于； 性质： 相似多边形面积的比等于的平方 相似三角形的性质 性质： 相 似 三 角 形 的 对 应 角 ， 对 应 边 的 比 ； 性质： 相似三角形周长的比等于； 性质： 相似三角形对应中线的
19、比、 对应角平分线的比等于 ； 性质： 相似三角形的面积比等于的平方 二、相似三角形的判定 判定： 如果两个三角形的三组对应边的比， 那么 这两个三角形相似； 判定： 如果两个三角形的两组对应边的比， 并且 相应的相等， 那么这两个三角形相似； 判定： 两组对应角的两个三角形相似； 判定： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 所构成 的三角形与原三角形相似 三、位似图形 如果两个多边形不仅， 而且对应顶点的连线相交 于， 对应边， 那么这样的两个图形叫做位似图 形， 这个点叫做 易混点剖析 黄金分割 如图（ ） ， 点犆为线段犃 犅上一点，犃 犆犅 犆， 若犃 犆 犃 犅 犅 犆， 则点犆
20、为线段犃 犅的分割点，犃 犆犃 犅， 犅 犆犃 犅， 一条线段有个黄金分割点 图（） 相似基本图形 图（） 图（） 图（） （ ） 如图（） ， 若犇 犈犅 犆， 则犃 犇 犈； （ ） 如图（） ， 若犈 犇犅 犆， 则犈 犃 犇； （ ） 如图（） ， 若犃 犈 犇犅， 则犃 犇 犈 图形的相似与位似： 位似是特殊的相似， 与相似不同的是 对应顶点的连线一点， 但相似图形未必都位似 相似三角形的周长比等 于 ， 面 积 比 等 于 对应边上高的比等于相似比， 对应的比等于 相似比 易错题警示 【 例】 （ 江苏连云港） 如图， 甲、 乙两人分别从犃 （ ，槡 ） 、犅（，） 两点同时出发，
21、 点犗为坐标原点， 甲沿犃 犗方向、 乙沿犅 犗方向均以 的速度行驶， 狋后， 甲到达犕点， 乙到 达犖点 （ ） 请说明甲、 乙两人到达犗点前，犕犖与犃 犅不可能平行 （ ） 当狋为何值时，犗犕犖犗 犅 犃？ 【 解析】此题综合考查了坐标与图形、 相似三角形的判定 与性质、 分类讨论数学思想的应用等知识点， 难度较大 （ ） 用反证法说明根据已知条件分别表示相关线段的长 度， 根据三角形相似得比例式说明； （ ） 根据两个点到达犗点的时间不同分段讨论解答； 本题最 大误区是易漏解 【 答案】（ ） 因为犃坐标为（，槡 ） ， 所以犗 犃 ，犃 犗 犅 因为犗犕 狋， 犗 犖 狋， 当 狋 狋
22、 时， 解得狋 ， 即在甲、 乙两人到达犗点前， 只有当狋时，犗犕犖 犗 犃 犅， 所以犕犖与犃 犅不可能平行； （ ） 因为甲达到犗点时间为狋 ， 乙达到犗 点的时间为狋 ， 所以甲先到达犗 点， 所以狋 或狋 时， 犗、犕、犖 三点不能连结成三角形， 当狋 时， 如果犗犕犖犗 犃 犅， 则有 狋 狋 ， 解得狋 ， 所以， 犗犕犖不可能相似犗 犅 犃； 当 狋 时，犕 犗 犖犃 犗 犅， 显然犗犕犖不相似 犗 犅 犃； 当狋 时， 狋 狋 ， 解得狋 ， 所以当狋 时，犗犕犖犗 犅 犃 【 例】 （ 江苏南通） 如图， 在犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆 ，犅 犆 ， 点犇是犅 犆边的中点点犘从
23、点犅出发， 以 犪 （犪 ） 的速度沿犅 犃匀速向点犃运动； 点犙同时以 ? 尽管对博弈问题的研究可以追溯到 世纪甚至更早但都是零星的、 片断的研究， 带有很大的偶然性， 很不系统 世 纪初， 塞梅鲁、 鲍罗和冯诺伊曼已经开始研究博弈的准确的数学表达冯诺依曼是生于匈牙利的天才数学家他不仅创 立了经济博弈论， 还发明了计算机 年， 冯诺依曼和摩根斯特恩的 博弈论与经济行为 一书中提出的标准型、 扩展型 和合作型博弈模型解的概念和分析方法， 标志着现代系统博弈理论的初步形成然而诺依曼的博弈论过于抽象， 使应用范 围受到很大限制， 因此影响力很有限 的速度从点犇出发， 沿犇 犅匀速向点犅运动， 其中
24、一个动点到 达端点时， 另一个动点也随之停止运动， 设它们运动的时间为狋 若犪 ，犅 犘 犙犅 犇 犃， 求狋的值 【 解析】此题考查了相似三角形的判定与性质、 平行四边 形的性质、 菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识此 题难度较大， 注意数形结合思想与方程思想的应用由犃 犅 犆 中， 犃 犅犃 犆 厘米，犅 犆 厘米，犇是犅 犆的中点， 根据等腰 三角形三线合一的性质， 即可求得犅 犇与犆 犇的长， 又由犪， 犅 犘 犙犅 犇 犃， 利用相似三角形的对应边成比例， 即可求得狋 的值 【 答案】犃 犅 犆中， 犃 犅犃 犆 ，犅 犆 ，犇是犅 犆 的中点， 犅 犇犆 犇 犅 犆 犮 犿
25、 犪 ， 犅 犘 狋 ， 犇 犙狋 犅 犙犅 犇犙 犇 狋 （ ） 犅 犘 犙犅 犇 犃， 犅 犘犅 犇犅 犙犃 犅 即 狋 狋 解得： 狋 一、选择题 （ 湖北荆州中考模拟） 在直角坐标系中， 已知犗（，） ， 犃（，） ，犅（，） ，犆（，） ，犇为狓轴上一点若以犇、犗、犆为顶 点的三角形与犃 犗 犅相似， 这样的犇点有（） 个 个 个 个 （ 安徽淮南市洞山中学第四次质量检测） 如图，犈（， ） ，犉（ ， ） ， 以犗为位似中心， 按比例尺 ， 把犈 犗 犉 缩小， 则点犈的对应点犈 的坐标为（） （ 第题） （， ） 或（ ，） （， ） 或（ ，） （， ）（， ） （ 广西贵港模
26、拟） 小刚身高 ， 测得他站立在阳光 下的影子长为 ， 紧接着他把手臂竖直举起， 测得影子 长为 ， 那么小刚举起的手臂超出头顶（） （ 湖北黄州中学二模） 如图，犇、犈分别是犃 犅 犆的边 犃 犅、犃 犆上的点，犇 犈犅 犆， 且犛犃 犇 犈犛犃 犅 犆 ， 则犃 犇 犃 犅等于（） （ 第题） （ 第题） （ 北京门头沟区模拟） 如图， 在矩形犃 犅 犆 犇中，犗是对 角线犃 犆、 犅 犇的交点， 点犈、犉分别是犗 犇、犗 犆的中点如果 犃 犆 ，犅 犆 ， 那么犈 犉的长为（） 二、填空题 （ 浙江杭州市中考数学模拟） 已知犃 犅 犆与犇 犈 犉相似且 相似比为 ， 则犃 犅 犆与犇 犈
27、 犉的面积比为 （ 四川泸县春期福集镇青龙中学中考模拟） 如图， 为了 测量某棵树的高度， 小明用长为的竹竿做测量工具， 移动 竹竿， 使竹竿、 树的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时， 竹竿与这一点距离相距， 与树相距 ， 则树的高度为 （ 第题） （ 第题） （ 浙江瑞安市模考） 如图，犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆，犇，犈两 点分别在边犃 犆， 犃 犅上， 且犇 犈与犅 犆不平行请填上一个 獉獉 你 认为合适的条件：， 使犃 犇 犈犃 犅 犆（ 不再添加 其他的字母和线段） （ 上海金山区中考模拟） 如图， 已知犃 犇为犃 犅 犆 的角 ? 布丰投针问题（ ） 是第一个用几何形式表达概率问题
28、的例子这个问题是 世纪法国数学家布 丰和勒克莱尔提出的， 并记载于布丰 年出版的著作中 “ 在一平面上画有一组间距为犱的平行线， 将一根长度为犔 （犔犱） 的针任意投掷到这个平面上， 求此针与任意平行线相交的概率”布丰证明了该针与任意平行线相交的概率为犘 犔 犱 利用这公式， 将这一试验重复进行多次， 并记下相交的次数， 便得到犘的经验值， 即可算出圆周率的近似值 平分线，犇 犈犃 犅交犃 犆于犈， 如果犃 犈 犈 犆 ， 那么 犃 犅 犃 犆 （ 第题） （ 重庆外国语学校模拟） 已知犃 犅 犆与犇 犈 犉相似 且面积之比为 ， 则犃 犅 犆与犇 犈 犉的对应边上的高线 比为 （ 长沙市五模
29、） 如图，犃、犅、犆分别是犅 犆、犃 犆、犃 犅的 中点， 犃、犅、犆分别是犅犆、犃犆、犃犅的中点这样 延续下去已知犃 犅 犆的周长是，犃犅犆的周长是犔， 犃犅犆的周长是犔， ，犃狀犅狀犆狀的周长是犔狀， 则犔狀 （ 第 题） （ 第 题） （ 湖北黄州中学二模） 如图， 方格纸内有四个相同的正 方形， 则 （ 河北保定市模拟） 如图， 将一块等腰直角三角板和一 块含 角的直角三角板重叠， 则犃 犗 犅与犇 犗 犆面积之 比为 （ 第 题） 三、解答题 （ 安徽安庆一模） 每个小方格是边长为个单位长度 的小正方形， 菱形犗 犃 犅 犆在平面直角坐标系中的位置如图 所示 （ ） 以犗点为位似中心
30、， 在第一象限内 獉獉獉獉獉獉 将菱形犗 犃 犅 犆放大为 原来的 獉獉獉 倍 獉 得到菱形犗 犃犅犆， 请画出菱形犗 犃犅犆， 并直接写出点犅的坐标 （ ） 将菱形犗 犃 犅 犆绕原点犗顺时针旋转 ， 得到菱形 犗 犃犅犆， 请画出菱形犗 犃犅犆， 并求出点犅旋转到犅 的路径长 （ 第 题） （ 海南省中考数学科模拟） 如图， 抛物线狔犪 狓 犫 狓 犮交狓轴于犃、犅两点， 交狔轴于点犆， 对称轴为直线狓 ， 已知：犃（ ，） 、犆（， ） （ ） 求抛物线狔犪 狓 犫 狓犮的解析式； （ ） 求犃 犗 犆和犅 犗 犆的面积比； （ ） 在对称轴上是否存在一个犘点， 使犘 犃 犆的周长最小
31、若存在， 请你求出点犘的坐标； 若不存在， 请你说明 理由 （ 第 题） （ 江苏盐城市亭湖区第一次调研考试） 如图， 在犃 犅 犆 中，犃 犆 犅 ， 犃 犆犅 犆 ，犕是边犃 犆的中点，犆 犎犅犕 于犎 （ ） 试求 犕 犆 犎的值； （ ） 求证：犃 犅犕犆 犃犎； （ ） 若犇是边犃 犅上的点， 且使犃犎犇为等腰三角形， 请直 接写出犃 犇的长为 （ 第 题） ?（ ?） 熊庆来（ ） ， 字迪之， 云南弥勒人， 岁考入云南省高等学堂， 岁赴比利时学采矿， 后到法国留学， 并获博士 学位他主要从事函数论方面的研究， 定义了一个“ 无穷级函数” ， 国际上称为熊氏无穷数 熊庆来热爱教育事
32、业， 为培养中国的科学人才， 做出了卓越的贡献 年， 他在清华大学任数学系主任时， 从学术杂志 上发现了华罗庚的名字， 了解到华罗庚的自学经历和数学才华以后， 毅然打破常规， 请只有初中文化程度且年仅 岁的华罗 庚到清华大学在熊庆来的培养下， 华罗庚后来成为著名的数学家我国许多著名的科学家都是他的学生 （ 安徽巢湖七中模拟） 如图， 点犃、犅、犆、犇在犗上， 犃 犅犃 犆，犃 犇与犅 犆相交于点犈，犃 犈 犈 犇， 延长犇 犅 到点 犉， 使犉 犅 犅 犇， 连结犃 犉 （ ） 证明犅 犇 犈犉 犇 犃； （ ） 试判断直线犃 犉与犗的位置关系， 并给出证明 （ 第 题） （ 福建南平市模拟）
33、 如图， 在犃 犅 犆中，犃 犅 犆 犆 犃 犅 ， 将犃 犅 犆绕点犃顺时针旋转度（ ） 得到犃 犇 犈， 连结犆 犈， 线段犅 犇（ 或其延长线） 分别交 犃 犆、犆 犈于点犌、犉 （ ） 求证：犃 犅 犌犉 犆 犌； （ ） 在旋转的过程中， 是否存在一个时刻， 使得犃 犅 犌与 犉 犆 犌全等？若存在， 求出此时旋转角的大小 （ 第 题） 如图， 在等边犃 犅 犆中，犇为边犅 犆上一点，犈为边犃 犆上一点， 且 犃 犇 犈 ，犅 犇 ，犆 犈 ， 则犃 犅 犆的边长为（） （ 第题） 已知犃 犅 犆的三边长分别为 、 、 ， 现要利用长 度分别为 和 的细木条各一根， 做一个三角形木
34、架与犃 犅 犆相似， 要求以其中一根为一边， 将另一根截成两 段（ 允许有余料） 作为另外两边， 那么另外两边的长度（ 单位： ） 分别为（） 、 、 或 、 、 、 或 、 犃 犅 犆的三边长分别为 槡 ，槡 ，犃 犅 犆 的两边长分别为 ，槡 ， 如果犃 犅 犆犃 犅 犆 ， 那么犃 犅 犆 的周长为应等 于（） 槡 槡 槡 槡 槡 如图， 在犃 犅 犆中，犇、犈、犉分别是犃 犅、犅 犆、犆 犃的中点， 若 犃 犅 犆的周长为 ， 则犇 犈 犉的周长是 （ 第题） （ 第题） 如图， 在锐角三角形犃 犅 犆中，犅 犆，犛犃 犅 犆 两动点犕、 犖分别在边犃 犅、犃 犆上滑动， 且犕犖犅 犆
35、， 以犕犖为边向下 作矩形犕犘 犙 犖， 设犕犖长为狓， 矩形犕犘 犙 犖与犃 犅 犆公共 部分的面积为狔（ 狔 ） ， 当狓， 公共部分面积狔最 大， 狔最大值 如图， 在梯形犃 犅 犆 犇中，犃 犇犅 犆，犈是犃 犅上一点，犈 犉犅 犆， 并且犈 犉将梯形犃 犅 犆 犇分成的两个梯形犃 犈 犉 犇， 犈 犅 犆 犉相似， 若犃 犇 ， 犅 犆 ， 求这两个梯形的面积之比 （ 第题） 四边形犇 犆 犅犕是矩形 设犇 犆犪，犉 犖犫， 则犃 犇犃 犅 犪，犅 犆犇犕 犫 犃 犈 犉的面积是： 犃 犈犉 犖 犪 犫 多边形犅 犆 犇 犉 犈的面积是犛梯形犃 犅 犆 犇犛犃 犈 犉 （犇 犆犃 犅
36、）犅 犆 犪 犫 （ 犪 犪） 犫 犪 犫 犪 犫 ， 犃 犈 犉与多边形犅 犆 犇 犉 犈的面积之比为 解析因为知道犃 犆 犅和犅 犆 的长， 所以可利用 犃 犆 犅的正切来求犃 犅的长； 可利用犃 犆 犅和犃 犇 犅的正切求出犃 犅； 因为犃 犅 犇犉 犈 犇可利用 犈 犉 犃 犅 犈 犇 犅 犇， 求出犃 犅； 无法求出犃、犅间距离 故共有组可以求出犃，犅间距离 解析 三边对应成比例的两个三角形相似 解析 在犅 犈 犉与犆 犉 犇中， 且犅犆 ， 犅 犈 犉犆 犉 犇 解析犇 犈 犉犅 犃 犉， 再利用面积比等于相似比的 平方注意犇 犈 犉与犈 犅 犉高相等它们的面积比就是 犇 犉与犅
37、犉之比 解析犃 点坐标是犃点坐标的倍， 又犃 点在第三象 限， 所以犃 点坐标是（ ， ） 解析 犗 犃 犗 犆 犗 犅 犗 犇且犃 犗 犅 犆 犗 犇， 与两个三角形相似 解析 犅 犆 犇 犈 犅 犉 犈 犉 解析选项中除去犅 犆 犖犈 犃犕 外无第二对角 相等， 无法判定犃 犈 犕与犆 犅 犖相似 解析 由题意知犃 犈犃 犉犅 犈犆 犉， 犅 犆 解析 利用勾股定理求出犃 犅 ， 再利用犃 犅 犆 犃 犇 犈， 求出犃 犇 解析犇 犈犃 犅， 犃 犇为犃 犅 犆的角平分线， 犃 犈犇 犈 犃 犅犃 犆犇 犈犈 犆犃 犈犈 犆 解析犃 犈 犇犅，犃是公共角， 犃 犇 犈犃 犆 犅 犛犃 犇
38、犈 犛犃 犅 犆 犃 犈 （ ） 犃 犅 犃 犇 犈的面积为， 四边形犅 犆 犇 犈的面积为 ， 犃 犅 犆的面积为 犃 犈 ， （ ） 犃 犅 解得犃 犅 狔 狓 解析 作犗 犉犅 犆 于犉，犗 犈犆 犇于犈， 证 犗 犈 犖犗 犉犕即可 犪 解析 由四边形犃 犅 犆 犇是平行四边形， 根据平行 四边形对边平行且相等， 即可得犃 犅犆 犇，犃 犇犅 犆，犃 犅 犆 犇， 然后由平行于三角形的一边的直线与其他两边相 交， 所构成的三角形与原三角形相似， 即可判定犇 犈 犉 犆 犈 犅，犇 犈 犉犃 犅 犉， 又由相似三角形面积的比等 于相似比的平方， 即可求得答案 解析犃 犅 犗犖 犅犕 犃
39、犅 犗犖 犅犕， 犗 犃 犖犕 犗 犅 犅犕 犗 犃 米， 犗 犅 米，犗犕 米， 犅犕犗 犅犗犕 （ 米） 犖犕 ， 解得犖犕 （ 米） 犅 犇 犈犆 犇 犉，犃 犅 犉犃 犆 犈 解析 （） 在犅 犇 犈和犆 犇 犉中， 犅 犇 犈犆 犇 犉，犅 犈 犇犆 犉 犇 ， 犅 犇 犈犆 犇 犉 （） 在犃 犅 犉和犃 犆 犈中， 犃犃，犃 犉 犅犃 犈 犆 ， 犃 犅 犉犃 犆 犈 犇犅或犃 犈 犇犆 解析犈 犇 犉犈 犆 犅，犈 犇 犉犅 犃 犉， 犅 犃 犉 犈 犆 犅 槡 解析 由点犉向犃 犈作垂线即可 解析 相似多边形周长之比等于相似比 解析 本题的方法很多， 可以利用犃 犇 犆的面积
40、等 于犃 犅 犆的面积的一半， 易求得犃 犅 犆的面积是 解析 本题考查相似三角形的性质： 对应高之比等 于对应边之比 解析 由于犃 犆 犇犃 犅 犆，犅 犃 犆犆 犃 犇， 所以犃 犇 犆犃 犆 犅， 即犃 犆 犃 犅 犃 犇 犃 犆 所以犃 犅犃 犇犃 犆， 则犃 犅 所以犅 犇犃 犅犃 犇 （） 如图（）犃与犅是犆 犇对的圆周角， 犃犅 又 ， 犃 犇 犈犅 犆 犈 （） 如图（） ， 犃 犇 犃 犈犃 犆， 犃 犈 犃 犇 犃 犇 犃 犆 又犃犃， 犃 犇 犈犃 犆 犇 犃 犈 犇犃 犇 犆 又犃 犆是犗的直径， 犃 犇 犆 ， 即犃 犈 犇 直径犃 犆犅 犇 犆 犇犆 犅 （） （）
41、 （ 第 题 ） 图形的相似 年考题探究 解析 过犇作犇 犕犃 犅于犕， 过犉作犉 犖犃 犅于犖， （）犃 犈犈 犇，犃 犈犈 犇 （）由题意，犅犆 ，犃 犅犅 犈犈 犆犇 犆 犈 犌 犉与犈 犃 犅位似且相似比是 ， 犌 犉 犈犅 ， 犌 犉 犃 犅， 犈 犉 犈 犅 犌 犉 犈犆 犈犎犎 犆 犈 犆， 犌 犉犎 犆，犉犎犉 犈犈犎 犈 犅 犈 犆 犅 犆 犈 犆犆 犇 犎犌 犉犇犎 犆 犌犎犎犇，犌犎 犉犎犇 犆 又犎犇 犆犇犎 犆 ， 犌犎犉犇犎 犆 犌犎犇 犌犎犎犇 犆 犎的长为犽 （） 如图（） ： （ 第 题（） ） （）犃 犅是犗的直径， 犃 犇 犅 而犇 犈犃 犆， 犃 犈 犇
42、 犃 犇平分犆 犃 犅， 犆 犃 犇犇 犃 犅 犃 犇 犈 犃 犅 犇 犃 犇犃 犅犃 犈犃 犇 犃 犇 犃 犈犃 犅 （） 连结犗 犇、犅 犆， 它们交于点犌， 如图（） ： 犃 犆 犃 犅， 即犃 犆犃 犅 ， 不妨设犃 犆 狓， 犃 犅 狓 犃 犅是犗的直径， 犃 犆 犅 又犆 犃 犇犇 犃 犅， 犇 犆 犇 犅 犗 犇垂直平分犅 犆 犗 犇犃 犈，犗 犌 犃 犆 狓 四边形犈 犆 犌 犇为矩形 犆 犈犇 犌犗 犇犗 犌 狓 狓 狓 犃 犈犃 犆犆 犈 狓狓 狓 犃 犈犗 犇， 犃 犈 犉犇 犗 犉 犃 犈犗 犇犈 犉犗 犉 犈 犉犗 犉 狓 狓 犗 犈 犗 犉 （ 第 题（） ） （）
43、四边形犃 犅 犆 犇是矩形， 犃 犅 犈犈 犆 犉 犃 犈 犅犅 犃 犈 犃 犈犈 犉，犃 犈 犅犉 犈 犆 ， 犅 犃 犈犆 犈 犉 犃 犅 犈犈 犆 犉 （）犃 犅犎犈 犆 犕 犅 犌犃 犆， 犃 犅 犌犅 犃 犌 犃 犅犎犈 犆 犕 由（） 知，犅 犃犎犆 犈 犕， 犃 犅犎犈 犆 犕 （） 作犕犚犅 犆， 垂足为犚 犃 犅犅 犈犈 犆 ， 犃 犅犅 犆犕犚犚 犆 ，犃 犈 犅 犕犈 犚 ，犆 犚 犕犚 犕犚犈 犚 犚 犆 犈犕 犕犚 槡 （ 第 题） （）犃 犅 犆犃犅犆， 且相似比为犽（犽 ） ， 犪 犪 犽 犪犽 犪 又犮犪， 犪犽 犮 （） 取犪 ， 犫 ，犮 ， 同时取犪 ，犫
44、 ，犮 此时犪 犪 犫 犫 犮 犮 ， 犃 犅 犆犃犅犆且犮犪 （） 不存在这样的犃 犅 犆和犃犅犆理由如下： 若犽 ， 则犪 犪， 犫 犫，犮 犮， 又犫犪， 犮犫， 犪 犪 犫 犫 犮 犫 犮 犫犮 犮犮 犮犪， 而犫犮犪， 故不存在这样的犃 犅 犆和犃犅犆， 使得犽 年模拟提优 解析 在原点左侧有两种情况， 在原点右边有两种情 况 解析 位似图形与犈 犗 犉有可能在犗点同侧， 也有可 能在异侧 解析 设小刚举起的手臂时总长为犡， 利用相似比求 得犡 米， 那么小刚举起的手臂超出头顶是 米 解析犃 犇犃 犅 犛犃 犇 犈犛槡 犃 犅 犆 解析犃 犅 犃 犆 犅 犆 槡 ， 犈 犉 犇 犆 犃 犅 解析 相似三角形面积比等于相似比的平方 解析 树高， 得树高等于 犅 或 犆或 犃 犈 犃 犆 犃 犇 犃 犅 解析 根据相似三角形的判定定理加条件 解析 犃 犅 犃 犆 犇 犈 犈 犆 犃 犈 犆 犈 解析 面积之比等于对应高之比的平方 狀 解析 先求出犔 ，犔 不难发现 规律 解析 ， 解析 由题意知犃 犗 犅犆 犗 犇 设
