1、 ?（ ?） 现代组合数学研究任意一组离散性事物如何按一定规则安排成各种集合， 包括这种安排的存在性、 计数、 构造与 优化等由于对象的离散特性， 各种组合问题的计算量往往都十分巨大， 高速计算机自然为这些问题的求解提供了有 力的帮助， 在计算机上计算各种组合问题的实践， 对理论计算机科学研究产生深远的影响 特殊的四边形 内容清单能力要求 矩形、 菱形、 正方形的概念掌握特殊四边形的概念并能做出判断 矩形、 菱形、 正方形的性质和判定 能利用特殊四边形的性质及判定定理解决 相关问题 平行四边形、 矩形、 菱形、 正方形之间的关系会解决特殊四边形之间的关系 线段、 矩形、 平行四边形、 三角形的
2、重心及物 理意义 理解并掌握重心的性质 运用三角形、 四边形或正六边形能解决一般四边形及正六边形的相关问题 一、选择题 （ 山东临沂） 如图， 正方形犃 犅 犆 犇的边长为 ， 动点 犘、犙同时从点犃出发， 以 狊的速度分别沿犃犅犆和 犃犇犆的路径向点犆运动， 设运动时间为狓（ 单位：） ， 四 边形犘 犅 犇 犙的面积为狔（ 单位： ） ， 则狔与狓（ 狓 ） 之间 函数关系可以用图象表示为（） （ 第题） （ 辽宁大连） 菱形犃 犅 犆 犇中， 对角线犃 犆 ，犅 犇 ， 则 菱形的周长为（） （ 山东日照） 在菱形犃 犅 犆 犇中，犈是犅 犆边上的点， 连结 犃 犈交犅 犇于点犉， 若犈
3、 犆 犅 犈， 则犅 犉 犉 犇 的值是（） （ 山东烟台） 一个由小菱形组成的装饰链， 断去了一部 分， 剩下部分如图所示， 则断去部分的小菱形的个数可能是 （） （ 第题） （ 天津） 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转 ， 所得图形一定与原图形重合的是（） 平行四边形 矩形 菱形正方形 （ 湖北荆门） 已知： 顺次连结矩形各边的中点， 得到一个 菱形， 如图（ ） ； 再顺次连结菱形各边的中点， 得到一个新的矩 形， 如图（ ） ； 然后顺次连结新的矩形各边的中点， 得到一个新 的菱形， 如图（ ） ； 如此反复操作下去， 则第 个图形中直 角三角形的个数有（） ?（ ?） 有限与无限
4、相比， 有限显得具体， 无限显得抽象， 对有限的研究往往先于对无限的研究对有限个对象的研究往往有 章法可循， 并积累了一定的经验而对无限个对象的研究， 却往往不知如何下手， 显得经验不足于是将对无限的研究转 化成对有限的研究， 就成了解决无限问题的必经之路反之， 当积累了解决无限问题的经验之后， 可以将有限问题转化成 无限问题来解决这种无限化有限， 有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想 （ 第题） 个 个 个 个 （ 湖北恩施州） 如图， 菱形犃 犅 犆 犇和菱形犈 犆 犌 犉的边长 分别为和，犃 ， 则图中阴影部分的面积是（） （ 第题） 槡 槡 （ 安徽芜湖） 如图， 从边长
5、为（犪 ） 的正方形纸片中 剪去一个边长为（ 犪 ） 的正方形（犪 ） ， 剩余部分沿虚线 又剪拼成一个矩形（ 不重叠无缝隙） ， 则矩形的面积为（） （ 第题） （犪 犪） （犪 ） （犪 ） （犪 ） （ 广东佛山） 依次连结菱形的各边中点， 得到的四边形 是（） 矩形 菱形 正方形梯形 （ 福建莆田） 下列命题中， 真命题是（） 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 （ 甘 肃 兰 州） 如 图， 菱 形犃 犅 犆 犇的 周 长 为 ， 犇 犈犃 犅， 垂足为犈， 犃 ， 则下列结论
6、正确的个数有 （） 犇 犈 ；犅 犈 ；菱形的面积为 ； 犅 犇 槡 个 个 个 个 （ 第 题） 二、填空题 （ 四川凉山州） 如图， 在四边形犃 犅 犆 犇中，犃 犆犅 犇 ，犈、犉、犌、犎分别是犃 犅、犅 犆、犆 犇、犇 犃的中点， 则犈 犌 犉犎 （ 第 题） （ 第 题） （ 四川宜宾） 如图， 已知正方形犃 犅 犆 犇的边长为， 连结 犃 犆、犅 犇，犆 犈平分犃 犆 犇交犅 犇于点犈， 则犇 犈 （ 安徽） 如图，犘是矩形犃 犅 犆 犇内的任意一点， 连结 犘 犃、犘 犅、犘 犆、犘 犇， 得到犘 犃 犅、犘 犅 犆、犘 犆 犇、犘 犇 犃， 设 它们的面积分别是犛 、犛、犛、犛
7、， 给出如下结论： 犛犛犛犛；犛犛犛犛；若犛犛， 则 犛 犛；若犛犛， 则点犘在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是（ 把所有正确结论的序号 都填在横线上） （ 第 题） （ 第 题） （ 广东梅州） 如图， 连结在一起的两个正方形的边长都为 ， 一个微型机器人由点犃开始按犃 犅 犆 犇 犈 犉 犆 犌 犃的顺序沿 正方形的边循环移动 第一次到达点犌时移动了 ； 当微型机器人移动了 时， 它停在点 （ 江苏扬州） 如图， 将矩形犃 犅 犆 犇沿犆 犈折叠， 点犅恰 好落在边犃 犇的犉处， 如果犃 犅 犅 犆 ， 那么 犇 犆 犉 的值是 （ 第 题） （ 第 题） （ 山西） 如图， 已知菱
8、形犃 犅 犆 犇的对角线犃 犆、犅 犇的长 分别为 、 ，犃 犈犅 犆于点犈， 则犃 犈的长是 （ 四川攀枝花） 如图， 正方形犃 犅 犆 犇中，犃 犅，犈是 犅 犆的中点， 点犘是对角线犃 犆上一动点， 则犘 犈犘 犅的最 小值为 （ 第 题） （ 第 题） ?（ ?） 高考中对有限与无限思想的考查才刚刚起步， 并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无 限的思想例如， 在使用由特殊到一般的归纳思想时， 含有有限与无限的思想； 在使用数学归纳法证明时， 解决的是无限 的问题， 体现的是有限与无限的思想， 等等随着高中课程的改革， 对新增内容的考查在逐步深入， 必将加强对有限与
9、无 限思想的考查， 设计出重点体现有限与无限思想的新颖试题 （ 辽宁铁岭） 如图， 点犈、犉、犌、犎分别为菱形犃犅犆犇各 边的中点， 连结犃 犉、犅犌、犆犎、犇犈得四边形犃犅犆犇， 以此 类推得四边形犃 犅犆犇， 若菱形犃犅犆犇的面积为犛， 则 四边形犃 狀犅狀犆狀犇狀的面积为 （ 黑龙江齐齐哈尔） 如图所示， 沿犇 犈折叠长方形犃 犅 犆 犇的一边， 使点犆落在犃 犅边上的点犉处， 若犃 犇， 且 犃 犉 犇的面积为 ， 则犇 犈 犆的面积为 （ 第 题） （ 第 题） （ 江苏宿迁） 如图， 邻边不等 獉獉 的矩形花圃犃 犅 犆 犇， 它的 一边犃 犇利用已有的围墙， 另外三边所围的栅栏的
10、总长度是 若矩形的面积为 ， 则犃 犅的长度是（ 可 利用的围墙长度超过） （ 河北） 已知菱形犃 犅 犆 犇， 其顶点犃、犅在数轴上对应 的数分别为 和， 则犅 犆 （ 第 题） （ 第 题） （ 江苏南京） 如图， 菱形犃 犅 犆 犇的边长是 ，犈是犃 犅中 点， 且犇 犈犃 犅， 则菱形犃 犅 犆 犇的面积为 （ 河北） 如图， 矩形犃 犅 犆 犇的顶点犃、犅在数轴上，犆 犇 ， 点犃对应的数为 ， 则点犅所对应的数为 （ 第 题） （ 第 题） （ 山东临沂） 正方形犃 犅 犆 犇的边长为犪， 点犈、犉分别 是对角线犅 犇上的两点， 过点犈、犉分别作犃 犇、犃 犅的平行 线， 如图所示
11、， 则图中阴影部分的面积之和等于 三、解答题 （ 山东临沂） 如图， 点犃、犉、犆、犇在同一直线上， 点犅和点 犈分别在直线犃 犇的两侧， 且犃 犅犇 犈，犃犇，犃 犉犇 犆 （ ） 求证： 四边形犅 犆 犈 犉是平行四边形； （ ） 若犃 犅 犆 ，犃 犅 ，犅 犆 ， 当犃 犉为何值时， 四边形 犅 犆 犈 犉是菱形 （ 第 题） （ 河南） 如图， 在菱形犃 犅 犆 犇中，犃 犅 ，犇 犃 犅 ， 点犈是犃 犇边的中点， 点犕是犃 犅边上一动点（ 不与点犃重 合） ， 延长犕 犈交射线犆 犇于点犖， 连结犕犇、 犃犖 （ ） 求证： 四边形犃犕犇犖是平行四边形； （ ） 填空： 当犃犕的
12、值为时， 四边形犃犕犇犖是矩形； 当犃犕的值为时， 四边形犃犕犇犖是菱形 （ 第 题） （ 河南） 如图， 在 犃 犅 犆中，犅 ，犅 犆槡 ， 犆 点犇从点犆出发沿犆 犃方向以每秒个单位长的 速度向点犃匀速运动， 同时点犈从点犃出发沿犃 犅方向以 每秒个单位长的速度向点犅匀速运动， 当其中一个点到 达终点时， 另一个点也随之停止运动设点犇、 犈运动的时间 是狋秒（ 狋 ）过点犇作犇 犉犅 犆于点犉， 连结犇 犈、犈 犉 （ ） 求证：犃 犈犇 犉； （ ） 四边形犃 犈 犉 犇能够成为菱形吗？如果能， 求出相应的狋 值； 如果不能， 说明理由 （ ） 当狋为何值时，犇 犈 犉为直角三角形？请
13、说明理由 （ 第 题） （ 吉林长春） 如图， 四边形犃 犅 犆 犇与四边形犇 犈 犉 犌都 是矩形， 顶点犉在犅 犃的延长线上， 边犇 犌与犃 犉交于点犎， 犃 犇 ，犇犎 ，犈 犉 求犉 犌的长 （ 第 题） ? 与将光聚在焦点不同， 在抛物镜焦点放置光源， 则射到镜面的光线经反射后会平行射向前方， 这种性质被用于手 电筒或探照灯汽车的远光灯和近光灯与电灯泡的亮度无关， 而是利用抛物线原理制作而成电灯泡后面的反射镜子 呈抛物线形状， 打开位于焦点的远光灯泡， 则反射的光直射向远方， 照射距离远与此相反， 近光灯泡稍微偏离焦点， 所 以反射后光线向四方散开， 只能照射近距离 趋势总揽 特殊平
14、行四边形是历年中考必考内容之一， 题型有填空 题、 选择题， 更多以证明题、 求值计算题及探索性问题、 几何动态 问题出现试题强调基础， 突出能力， 源于教材， 变中求新， 考查 学生的发散思维能力 年中考除应注意以上几点外， 估计还有加大题量的 趋势本节知识与轴对称、 旋转及平移和函数等知识结合考查的 题目， 有一定难度许多新题、 活题、 压轴题， 将出现于此章节分 值在 分左右 高分锦囊 本章节矩形、 菱形、 正方形可互相揉合， 亦可单独命题， 在解 答开放型题时， 应分清是属于条件开放， 还是属于结论开放， 弄 懂题意， 分析已知条件， 执果索因是解题的一大法宝 常考点清单 一、矩形的性
15、质与判定 名称判定性质 矩形 有一个角是 的平行四边形（ 定义） 有是直角的 四边形 的平行四边 形 除具有平行四边形的性质外， 还有： 都是直角 相等 犛（犪，犫表示长和 宽） 既 是 ，又 是 二、菱形的性质与判定 名称判定性质 菱形 有的平行 四边形（ 定义） 都相等的 四边形 的平行四 边形 除具有平行四边形的性质 外， 还有： 都相等 对角线， 且每一 条对角线一组 对角 犛（犪，犫表示两 对角线长） 既 是 ，又 是 三、正方形的性质与判定 名称判定性质 正方形 有是直角， 相等的平行 四边形（ 定义） 的矩形 的菱形 对角线的 平行四边形 除具有平行四边形、 矩形、 菱 形的性质
16、外， 还具有： 对角线与边的夹角为 犛（犪表示边 长） 易混点剖析 矩形、 菱形、 正方形都是中心对称图形， 对称中心是对角 线的交点； 也是轴对称图形， 分别有条对称轴 矩形的对角线相等且互相平分； 菱形的对角线； 正方形的对角线相等且互相垂直平分 易错题警示 【 例】 （ 山东济宁） 如图， 将矩形犃 犅 犆 犇的四个角 向内折起， 恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形犈 犉 犌犎，犈犎 厘米，犈 犉 厘米， 则边犃 犇的长是（） 厘米 厘米 厘米 厘米 【 解析】本题考查的是翻折变换及勾股定理、 全等三角形 的判定与性质， 解答此题的关键是作出辅助线， 构造出全等三角 形， 再根据直角三角形
17、及全等三角形的性质解答我们先求出 犈 犉犎是直角三角形， 再根据勾股定理求出犉犎 ， 再利用全 等三角形的性质解答即可 【 答案】设斜线上两个点分别为犘、 犙， 如图 点犘是点犅对折过去的， 犈 犘犎为直角，犃 犈犎犘 犈犎 犎犈 犃犎犈 犘 同理犘 犈 犉犅 犈 犉 这四个角互补 犘 犈犎犘 犈 犉 四边形犈 犉 犌犎是矩形 犇犎犌犅 犉 犈，犎犈 犉是直角三角形 犅 犉犇犎犘 犉 犃犎犎犘， 犃 犇犎犉 犈犎 ， 犈 犉 （ ） ， ?（ ?） 近代统计学指的是 世纪末到 世纪末的描述统计学， 其发展过程与概率论的广泛研究和应用密切相 关目前在统计分析中经常使用的一些基本方法和术语都始于这
18、一时期， 比如最小平方法、 正态分布曲线、 误差 计算等在近代统计发展的一百年中， 也形成了许多学派， 其中以数理统计学派和社会统计学派最为著名 犉犎 犈犎 犈 犉 槡 槡 （ ） 犉犎犃 犇 故选 【 例】 （ 广东梅州） 如图， 已知犃 犅 犆， 按如下步 骤作图： 分别以犃、犆为圆心， 以大于 犃 犆的长为半径在犃 犆 两边 作弧， 交于两点犕、犖； 连结犕犖， 分别交犃 犅、犃 犆于点犇、犗； 过犆作犆 犈犃 犅交犕犖于点犈， 连结犃 犈、犆 犇 （ ） 求证： 四边形犃 犇 犆 犈是菱形； （ ） 当犃 犆 犅 ，犅 犆 ，犃 犇 犆的周长为 时， 求四边 形犃 犇 犆 犈的面积 【
19、 解析】此题主要考查了菱形的判定以及对角线垂直的四 边形面积求法， 根据已知得出犃 犇 犗犃 犅 犆， 进而求出犃 犗的 长是解题关键 （ ） 利用直线犇 犈是线段犃 犆的垂直平分线， 得出犃 犆犇 犈， 即犃 犗 犇犆 犗 犈 ， 进而得出犃 犗 犇犆 犗 犈， 即可得出 四边形犃 犇 犆 犈是菱形 （ ） 利用当犃 犆 犅 时，犗 犇犅 犆， 即有犃 犇 犗犃 犅 犆， 即可得出犃 犆和犇 犈的长即可得出四边形犃 犇 犆 犈的面积 【 答案】（ ） 证明： 由题意可知： 直线犇 犈是线段犃 犆的垂直平分线， 犃 犆犇 犈， 即犃 犗 犇犆 犗 犈 ， 且犃 犇犆 犇， 犃 犗犆 犗 又犆
20、犈犃 犅， 犃 犇 犗犈 犗 犆 犃 犗 犇犆 犗 犈 犗 犇犗 犈 四边形犃 犇 犆 犈是菱形 （ ） 当犃 犆 犅 时， 犗 犇犅 犆， 犃 犇 犗犃 犅 犆， 犗 犇 犅 犆 犃 犗 犃 犆 又犅 犆 ， 犗 犇 又犃 犇 犆的周长为 ， 犃 犇犃 犗 ， 即犃 犇 犃 犗 犗 犇 犃 犇 犃 犗 槡 犃 犗 犇 犈 ，犃 犆 犛 犃 犆犇 犈 一、选择题 （ 浙江台州模拟） 对角线互相垂直平分且相等的四边形 是（） 菱形 矩形 正方形等腰梯形 （ 第题） （ 湖北枣阳模拟） 如图， 在矩形 犃 犅 犆 犇中，犈、犉分别是边犃 犇、犅 犆的中 点， 点犌、犎在犇 犆边上， 且犌犎 犇 犆
21、若犃 犅 ，犅 犆 ， 则图中阴影 部分面积是（） （ 山东文登四校模拟） 如图， 矩形犃 犅 犆 犇中，犇 犈犃 犆 于犈， 且犃 犇 犈犈 犇 犆 ， 则犅 犇 犈的度数为（） （ 第题） （ 第题） （ 湖北安陆模拟） 如图， 在正方形犃 犅 犆 犇中， 点犈在犃 犅 边上， 且犃 犈犈 犅，犃 犉犇 犈于犌， 交犅 犆于犉， 则 犃 犈 犌的面积与四边形犅 犈 犌 犉的面积之比为（） （ 浙江杭州模拟） 下列图形中， 周长不是 的图形是 （） ?（ ?） 数理统计学派的创始人是比利时的犃凯特斯， 其最大的贡献就是将法国的古典概率引入统计学， 用纯数学 的方法对社会现象进行研究； 社会统
22、计学派的首倡者是德国的犓克尼斯， 他认为统计研究的对象是社会现象， 而其采用的研究方法为大量观察法在近代统计学的发展过程中， 这两个学派的矛盾是比较大的 （ 安徽芜湖模拟） 如图， 边长为的正方形犃 犅 犆 犇绕点 犃逆时针旋转 度后得到正方形犃 犅 犆 犇 ， 边犅 犆 与犇 犆交 于点犗， 则四边形犃 犅 犗 犇的周长 獉獉 是 （） 槡 槡 槡 （ 第题） （ 第题） （ 河南新乡模拟） 如图， 菱形犃 犅 犆 犇的周长为 ， 犇 犈犃 犅， 垂足为犈， 犃 ， 则下列结论正确的有（ ） 犇 犈 ；犅 犈 ； 菱形面积为 ； 犅 犇 槡 个 个 个 个 二、填空题 （ 北京市东城区模拟）
23、 如图， 已知矩形犃 犅 犆 犇中，犈是 犃 犇上的一点， 过点犈作犈 犉犈 犆交边犃 犅于点犉， 交犆 犅的 延长线于点犌， 且犈 犉犈 犆若犇 犈 ， 矩形犃 犅 犆 犇的周长 为 ， 犆 犌的长为 （ 第题） （ 第题） （ 江苏盐城阜宁县模拟） 如图， 在矩形犃 犅 犆 犇中， 对角 线犃 犆、 犅 犇交于点犗， 已知犃 犗 犇 ，犃 犅 ， 则犃 犆的 长为 （ 江苏盐城模拟） 如图所示， 把一个长方形纸片沿犈 犉 折叠后， 点犇、 犆分别落在犇 、犆 的位置若犈 犉 犅 ， 则 犃 犈 犇 等于 （ 第 题） （ 第 题） （ 安徽中考模拟） 如图， 菱形犃 犅 犆 犇的两条对角线
24、分 别长和， 点犘是对角线犃 犆上的一个动点， 点犕、犖分别 是边犃 犅、 犅 犆的中点， 则犘犕犘 犖的最小值是 三、解答题 （ 安徽安庆一模） 如图， 矩形犃 犅 犆 犇的对角线犃 犆、犅 犇 相交于点犗， 犈、犉分别是犗 犃、犗 犅的中点 （ ） 求证：犃 犇 犈犅 犆 犉； （ ） 若犃 犇 ，犃 犅 ， 求犆 犉的长 （ 第 题） （ 内蒙古呼和浩特模拟） 如图所示， 四边形犃 犅 犆 犇是 正方形， 点犈是边犅 犆的中点， 且犃 犈 犉 ， 犈 犉交正方形 外角平分线犆 犉于点犉， 取边犃 犅的中点犌， 连结犈 犌 （ ） 求证：犈 犌犆 犉； （ ） 将犈 犆 犉绕点犈逆时针旋转
25、 ， 请在图中直接画出旋 转后的图形， 并指出旋转后犆 犉与犈 犌的位置关系 （ 第 题） ?（ ?） 阿基米德（ ， 公元前 年公元前 年） 出生在叙拉古的贵族家庭， 父亲是位天文学家在父亲的影 响下， 阿基米德从小热爱学习， 善于思考， 喜欢辩论长大后飘洋过海到埃及的亚历山大求学他向当时著名的科学家欧 几里德的学生柯农学习哲学、 数学、 天文学、 物理学等知识， 最后通古博今， 掌握了丰富的希腊文化遗产回到叙拉古后， 他坚持和亚历山大的学者们保持联系， 交流科学研究成果 （ 宁夏银川模拟） 如图， 在犃 犅 犆 犇中，犅 犈平分 犃 犅 犆交犃 犇于点犈，犇 犉平分犃 犇 犆交犅 犆于点犉
26、 （ ） 求证：犃 犅 犈犆 犇 犉； （ ） 若犅 犇犈 犉， 则判断四边形犈 犅 犉 犇是什么特殊四边形， 请证明你的结论 （ 第 题） （ 江苏连云港模拟） 在正方形犃 犅 犆 犇中， 点犘是犆 犇 边上一动点， 连结犘 犃， 分别过点犅、犇作犅 犈犘 犃、犇 犉 犘 犃， 垂足分别为犈、犉， 如图（） （ ） 请探究犅 犈、犇 犉、犈 犉这三条线段的长度具有怎样的数量 关系？若点犘在犇 犆的延长线上， 如图（ ） ， 那么这三条 线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点犘在犆 犇 的延长线上呢？如图（ ） ， 请分别直接写出结论 （ ） 就（） 中的三个结论选择一个加以证明 （） （）
27、 （） （ 第 题 ） 如图， 在菱形犃 犅 犆 犇中， 对角线犃 犆、犅 犇相交于点犗，犕、犖分 别是边犃 犅、 犃 犇的中点， 连结犗犕、犗 犖、犕犖， 则下列叙述正确 的是（） 犃 犗犕和犃 犗 犖都是等边三角形 四边形犕 犅 犗 犖和四边形犕 犗 犇犖都是菱形 四边形犃犕 犗 犖与四边形犃 犅 犆 犇是位似图形 四边形犕 犅 犆 犗和四边形犖犇 犆 犗都是等腰梯形 （ 第题） （ 第题） 如图， 在矩形犃 犅 犆 犇中，犃 犅，犅 犆槡 ， 点犈是折线段 犃犇犆上的一个动点（ 点犈与点犃不重合） ， 点犘是点犃 关于犅 犈的对称点在点犈运动的过程中， 使犘 犆 犅为等腰 三角形的点犈的
28、位置共有（） 个 个 个 个 如图， 直线犾过正方形犃 犅 犆 犇的顶点犅， 点犃、犆到直线犾的距 离分别是和， 则正方形的边长是 （ 第题） 如图， 矩形犃 犅 犆 犇中，犇 犈犃 犆于点犈，犃 犈犈 犆， 若 犇 犆 ， 求犃 犆的长 （ 第题） 正方形犃 犅 犆 犇的边犆 犇在正方形犈 犆 犌 犉的边犆 犈上， 连结 犅 犈、犇 犌 （ ） 观察猜想犅 犈与犇 犌之间的大小关系， 并证明你的结论； （ ） 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个图形？若存 在， 请说出旋转过程； 若不存在， 请说明理由 （ 第题） 特殊的四边形 年考题探究 解析 狓 时，狔犛犃 犅 犇犛犃 犘 犙 狋 狓
29、 时，狔犛犅 犆 犇犛犆 犘 犙 （ 狋） 解析 根据菱形对角线互相垂直平分以及勾股定理 求得该菱形边长是 解析犈点时犅 犆的中点， 知犅 犈犃 犇 ， 由三角 形相似得犅 犉 犉 犇 解析 答案中断去的菱形个数均为较小的正整数， 由 所示的图形规律画出完整的装饰链， 可得断去部分的小菱 形的个数为 解析 正方形旋转 和 后都与原图形重合， 其 余个旋转 后与原图形重合 解析 第个图形， 有个直角三角形； 第个图形， 有个直角三角形； 第个图形， 有个直角三角形； 第个图形， 有个直角三角形； 依次类推， 当狀为奇数时， 三角形的个数是（狀） ； 当狀 为偶数时， 三角形的个数是狀个 所以，
30、第 个图形中直角三角形的个数是 解析 设犅 犉、犆 犈相交于点犕， 根据相似三角形对应 边成比例列式求出犆 犕的长度， 从而得到犇犕的长度， 再 求出菱形犃 犅 犆 犇边犆 犇上的高与菱形犈 犆 犌 犉边犆 犈上的 高， 然后根据阴影部分的面积犛犅 犇犕犛犇 犉 犕， 列式计算 即可得解 解析 矩形面积等于（ 犪 ） （ 犪 ） （ 犪 ） 解析 菱形对角线垂直平分 解析 对角线互相平分的四边形是平行四边形， 对 角线相等的平行四边形是矩形 解析 由题意知， 菱形的边长为 ， 由犇 犈犃 犅， 犃 ， 得犇 犈 ，犃 犈 ，犅 犈 ， 菱形的 面积为 ，犅 犇 槡 故选 解析 由题意犃 犆犅
31、犇 知四边形犈 犉 犌犎 为边长 等于的菱形， 因为菱形对角线互相垂直平分， 所以犈 犌 犉犎 （ ） 槡 解析 过犈作犈 犉犇 犆于犉， 利用正方形的性 质； 角平分线的性质及勾股定理求解 解析 过点犘分别向犃 犇、 犅 犆作垂线段， 两个三角形 的面积之和犛犛等于矩形面积的一半同理， 过点犘分 别向犃 犅、犆 犇作垂线段， 两个三角形的面积之和犛犛等 于矩形面积的一半犛犛犛犛， 又因为犛犛， 则犛 犛犛犛 犛 犃 犅 犆 犇， 所以一定成立 犈 解析由图可知， 从犃开始， 第一次移动到犌 点， 共经过犃 犅、犅 犆、犆 犇、犇 犈、犈 犉、犉 犆、犆 犌七条边， 所以共移动了 机器人移动一
32、圈是 ， ， 移动 ， 是第 圈后再走 正好到达 犈点 槡 解析 由矩形犃 犅 犆 犇 沿犆 犈折叠， 点犅恰好落在边 犃 犇的犉处， 即可得犅 犆犆 犉，犆 犇犃 犅， 由犃 犅 犅 犆 ， 可 得犆 犇 犆 犉 ， 然后设犆 犇狓，犆 犉狓， 利用勾股定理即 可求得犇 犉的值， 继而求得 犇 犆 犉的值 解析 四边形犃 犅 犆 犇是菱形， 犆 犗 犃 犆 ， 犅 犗 犅 犇 ， 犃 犗犅 犗 犅 犆犃 犗 犅 犗 槡 犛菱形犃 犅 犆 犇 犅 犇犃 犆 犛菱形犃 犅 犆 犇犅 犆犃 犇， 犅 犆犃 犈 犃 犈 槡 解析 连结犇 犈、犅 犇 点犅与点犇关于犃 犆对称， 犇 犈的长即为犘 犈犘
33、 犅的最小值 犃 犅 ，犈是犅 犆的中点， 犆 犈 在 犆 犇 犈中， 犇 犈犆 犇犆 犈槡 槡 槡 （ ） 狀 犛或 犛 狀 解析 由特殊总结出一般性 可先 计算出犃犅犆犇 犛 解析犃 犇 ， 且犃 犉 犇的面积为 ， 得犃 犉 ， 由勾股定理得犇 犉犇 犆 所以犅 犉， 再设犆 犈狓， 则犅 犈 狓，犈 犉犆 犈狓， 在犈 犅 犉中运用勾股定理求 出狓 ， 则犇 犈 犆的 面积为 解析 设犃 犅狓， 则狓（ 狓） ， 即狓 狓 解得狓 或狓 （ 因邻边不等故舍去） 解析犅 犆犃 犅 （ ） 槡 解析 由犈是犃 犅中点， 得犃 犈 犃 犇， 犃 犇 犈 所以犇 犈犃 犇犃 犈槡 槡 槡 菱形
34、犃 犅 犆 犇面积犃 犅犇 犈 槡 解析 利用犃 犅犆 犇， 可得点犅所对应的数为 犪 解析 根据正方形的性质知： 犃 犅 犇与犆 犅 犇 关于对角线犅 犇对称， 所以图中阴影部分的面积之和等 于犃 犅 犇的面积， 即 犪 （）犃 犉犇 犆， 犃 犉犉 犆犇 犆犉 犆， 即犃 犆犇 犉 在犃 犅 犆和犇 犈 犉中， 犃 犆犇 犉， 犃犇， 犃 犅犇 犈 烅 烄 烆 ， 犃 犅 犆犇 犈 犉（ ） 犅 犆犈 犉，犃 犆 犅犇 犉 犈 犅 犆犈 犉 四边形犅 犆 犈 犉是平行四边形 （） 连结犅 犈， 交犆 犉与点犌 四边形犅 犆 犈 犉是平行四边形， 当犅 犈犆 犉时， 四边形犅 犆 犈 犉是菱
35、形 犃 犅 犆 ，犃 犅 ， 犅 犆 ， 犃 犆犃 犅 犅 犆 槡 犅 犌 犆犃 犅 犆 ，犃 犆 犅犅 犆 犌， 犃 犅 犆犅 犌 犆 犅 犆 犃 犆 犆 犌 犅 犆， 即 犆 犌 犆 犌 犉 犌犆 犌， 犉 犆 犆 犌 犃 犉犃 犆犉 犆 当犃 犉 时， 四边形犅 犆 犈 犉是菱形 （ 第 题） （）四边形犃 犅 犆 犇是菱形， 犖犇犃犕 犖犇 犈犕犃 犈，犖犇 犈犃犕犈 又点犈是犃 犇中点， 犇 犈犃 犈 犖犇 犈犕犃 犈 犖犇犕犃 四边形犃犕犇犖是平行四边形 （） ； （） 在犇 犉 犆中，犇 犉 犆 ，犆 ，犇 犆 狋， 犇 犉狋 又犃 犈狋， 犃 犈犇 犉 （） 能理由如下： 犃
36、犅犅 犆，犇 犉犅 犆， 犃 犈犇 犉 又犃 犈犇 犉， 四边形犃 犈 犉 犇为平行四边形 犃 犅犅 犆 槡 槡 ， 犃 犆 犃 犅 犃 犇犃 犆犇 犆 狋 若使犃 犈 犉 犇为菱形， 则需犃 犈犃 犇 即狋 狋， 狋 即当狋 时， 四边形犃 犈 犉 犇为菱形 （）犈 犇 犉 时， 四边形犈 犅 犉 犇为矩形 在 犃 犈 犇中，犃 犇 犈犆 ， 犃 犇 犃 犈 即 狋 狋， 狋 犇 犈 犉 时， 由（） 知犈 犉犃 犇， 犃 犇 犈犇 犈 犉 犃 犆 ， 犃 犇犃 犈 ， 即 狋 狋，狋 犈 犉 犇 时， 此种情况不存在 综上所述， 当狋 或时，犇 犈 犉为直角三角形 四边形犃 犅 犆 犇和四
37、边形犇 犈 犉 犌为矩形， 犇 犃 犉犇 犃 犅 ，犌 ，犇 犌犈 犉 犈 犉 ，犇犎 ， 犌犎犇 犌犇犎犈 犉犇犎 在 犃 犇犎中，犃 犇 ， 犃犎 犇犎犃 犇槡 槡 犌犇 犃犎 ，犉犎犌犇犎犃， 犉 犌犎犇 犃犎 犉 犌 犇 犃 犌犎 犃犎 犉 犌犌犎犇 犃 犃犎 年模拟提优 解析 对角线互相平分的四边形是平行四边形， 又因 为相等所以是矩形， 互相垂直是菱形， 总上所述该四边形 是正方形 解析 连结犈 犉， 得犈 犗 犉犎犌 犗， 由犈 犉 ， 犎犌 ， 再由犗点向两三角形作高， 根据相似求得犈 犗 犉 高为，犎犌 犗高为， 所以犈 犗 犉面积为 ，犎犌 犗面 积为 阴影部分面积 解析犃
38、 犇 犈犈 犇 犆 ， 犃 犇 犆 ， 犃 犇 犈 ，犆 犇 犈 又犇 犈犃 犆， 犇 犃 犗 犇 犗 犈 犇 犃 犗 犅 犇 犈 犇 犗 犈 解析犃 犈 犌犃 犉 犅， 再利用面积比等于相似比的 平方求解 解析 由勾股定理知选项中平行四边形另一边长不 为 解析 延长犃 犇则必过犆 点（ 旋转 度） 设犆 犇狓， 则犇 犗狓，犆 犗 槡 狓，犅 犗槡 狓， 在 犃 犅 犆 中，犃 犅 犅 犆 犃 犆 ， 即 （ 狓） ， 得狓 槡 四边形犃 犅 犗 犇的周长为 狓槡 狓 （槡 ）槡 （槡 ） 槡槡 槡 解析正确， 犅 犇槡 解析犃 犇犃 犈 ， 又矩形犃 犅 犆 犇的周长为 ， （犃 犈犃 犈
39、 ） 解得犃 犈 犃 犉 ，犅 犉 由犃 犇犅 犆， 可证犃 犈 犉犅 犌 犉 犃 犈 犅 犌 犃 犉 犅 犉 犅 犌 犆 犌 解析犃 犅 犗为等边三角形， 所以犃 犆 犗 犃 解析犇 犈 犉犇 犈 犉犅 犉 犈 ， 犃 犈 犇 （犇 犈 犉犇 犈 犉） 解析 由对角线是和， 知菱形边长为， 作犕 关于 犃 犆的对称点犕 ， 连结犕 犖交犃 犆于点犘， 则此时犘犕 犘 犖和最小为线段犕 犖的长， 此时犕 犖犃 犅 （）四边形犃 犅 犆 犇为矩形， 犃 犇犅 犆，犗 犃犗 犆， 犗 犅犗 犇，犃 犆犅 犇，犃 犇犅 犆 犗 犃犗 犅犗 犆，犇 犃 犈犗 犆 犅 犗 犆 犅犗 犅 犆 犇 犃 犈犆
40、 犅 犉 又犃 犈 犗 犃， 犅 犉 犗 犅， 犃 犈犅 犉 犃 犇 犈犅 犆 犉 （） 过点犉作犉 犌犅 犆于犌点， 则犉 犌 犆 犇 犆 犅 ， 犉 犌犇 犆 犅 犉 犌犅 犇 犆 犉 犌 犇 犆 犅 犉 犅 犇 犅 犌 犅 犆 由（） 可得犅 犉 犅 犇 犉 犌 犅 犌 犉 犌 ，犅 犌 犌 犆犅 犆犅 犌 （ ） 在 犉 犌 犆中，犆 犉 犉 犌 犌 犆 槡 槡槡 （ ） （ 第 题） （）正方形犃 犅 犆 犇， 点犌、犈为边犃 犅、犅 犆中点， 犃 犌犈 犆 ， 即犅 犈 犌为等腰直角三角形 犃 犌 犈 又犆 犉为正方形外角平分线， 犈 犆 犉 犃 犌 犈犈 犆 犉 犃 犈 犉 ，
41、犌 犃 犈 犃 犈 犅犆 犈 犉 犃 犌 犈犈 犆 犉（ ） 犈 犌犆 犉 （） 画图如图所示： 旋转后犆 犉与犈 犌平行 （ 第 题） （）四边形犃 犅 犆 犇是平行四边形， 犃犆，犃 犅犆 犇，犃 犅 犆犃 犇 犆 犅 犈平分犃 犅 犆， 犇 犉平分犃 犇 犆， 犃 犅 犈犆 犇 犉 犃 犅 犈犆 犇 犉 （） 由犃 犅 犈犆 犇 犉， 得犃 犈犆 犉 在犃 犅 犆 犇中，犃 犇犅 犆，犃 犇犅 犆， 犇 犈犅 犉，犇 犈犅 犉 四边形犈 犅 犉 犇是平行四边形 若犅 犇犈 犉， 则四边形犈 犅 犉 犇是菱形 （） 图（） 的结论是：犅 犈犈 犉犇 犉； 图（） 的结论是：犇 犉犅 犈犈
42、犉； 图（） 的结论是：犈 犉犅 犈犇 犉 （） 图（） 的结论：犅 犈犈 犉犇 犉的证明 犅 犃 犈犇 犃 犉 ， 犅 犃 犈犃 犅 犈 ， 犇 犃 犉犃 犅 犈 在犇 犃 犉和犅 犃 犈中， 犇 犃 犉犃 犅 犈，犇 犉 犃犃 犈 犅 ，犃 犇犅 犃， 犇 犃 犉犃 犅 犈 犃 犉犅 犈，犃 犈犇 犉， 即犅 犈犈 犉犇 犉 考情预测 解析 观察可知： 没有条件保证、 、成立， 故选 解析 由题意知： 点犘在以犅为圆心， 犅 犃为半径的圆 上， 也在以犆为圆心，犆 犅为半径的圆上， 这时在点犈运动 的过程中， 使犘 犆 犅为等腰三角形的点犈的位置有个； 另外， 点犘也在犆 犅的中垂线上，
43、这时满足条件的点犈的 位置有个； 所以满足条件的点犈的位置共有个， 选 槡 解析 图中两个三角形全等 连结犅 犇交犃 犆于点犗 在矩形犃 犅 犆 犇中，犃 犗犗 犆， 又犃 犈犈 犆 ， 犗 犈犆 犈 犇 犈犃 犆， 犗 犇犆 犇 犆 犗 犇为等边三角形 犗 犆犆 犇 犃 犆 （）犅 犈犇 犌 证明：犆 犈犆 犌，犅 犆 犈犇 犆 犌 ，犅 犆犇 犆， 犅 犆 犈犇 犆 犌 犅 犈犇 犌 （） 由（） 证明过程知， 存在， 是 犅 犆 犈和 犇 犆 犌， 将 犅 犆 犈绕点犆顺时针旋转 ， 可与 犇 犆 犌完全 重合（ 或 将 犇 犆 犌绕 点犆逆 时 针 旋 转 ，可 与 犅 犆 犈完全重合）
