1、 - 1 - 四川省广元市元坝中学 2017-2018 学年高二数学下学期 4 月第二次月考试题 文 （满分 150 分；考试时间： 120 分钟；） 第 I 卷（选择题） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1、 设 全集 ? ?0,1, 2,3, 4U ? ，集合 ? ?1,2,3A? ， ? ?2,3,4B? ，则 ? ?UA C B? ( ) A. ?0 B. ? ?0,1,2,3,4 C. ? ?0,1 D. ?1 2、 在复平面内 ,复数 i1iz? ? 所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象 限 C. 第三
2、象限 D. 第四象限 3、 已知平面向量 ? ? ? ?,1 , 2 , 1a x b x? ? ?,且 /ab,则实数 x 的 值是（ ） A. 1? B. 1 C. 2 D. 1? 或 2 4、 已知直线 m? 平面 ? ,则“直线 nm? ”是“ /n? ”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5、 某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( ). A. 16 B. 13 C. 12 D. 1 6、 函数 ( ) 4xf x e x? ? ?的零点所在的区间为（ ） A. （ 1， 0） B.
3、 （ 0， 1） C. （ 1， 2） D. （ 2， 3） 7执行如图所示的程 序框图，则 输出的 k 的值是 ( ) A. 3 B. 4 - 2 - C. 5 D. 6 8、 某学校举办科技节活动 ,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛 ,该项目只设置一个一等奖 .在评奖揭晓前 ,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下 : 小张说 :“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说 :“丁团队获得一等奖”； 小李说 :“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说 :“甲团队获得一等奖” . 若这四位同学中只有两位预测结果是对的 ,则获得一等奖的团队是（ ） A. 甲
4、B. 乙 C. 丙 D. 丁 9、 已知等差数列 满足 ， ，等比数列 满足 ，则 （ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 10、 直线 3 4 0xy?截圆 ? ? ? ?221 2 2xy? ? ? ?所得的弦长为（ ） A.2 B. 4 C. 23 D. 22 11、 设实数 ,xy满足 621xyyxx?，则 2z x y? ? 的最小值为（ ） A. -2 B. 1 C. D. 2 12、 函数2cos() 1xxfx x? ? ? ?( 2,2 )x?的大致图象是（ ） A. B. C. D. 第 II 卷 （非选择题） 二、填空题 (每小题 5 分，共 4 小
5、题 ) - 3 - 13、 双曲线 2 2 14x y?的焦距为 _；渐近线方程 为 _ 14、 曲线 2( ) ( 1)xf x e x x? ? ?在点 (1, (1)f 处的切线方程是 _ 15、 已知数列 ?na 的前 n 项和 2nS n n?，则 34aa? _. 16、 设函数 ()fx是定义在 R 上的偶函数，且对任意 xR? 恒有 ( 1) ( 1)f x f x? ? ?，已知当? ? 110 ,1 , ( ) 2 xx f x ?，则下列命题： . 是函数 ()fx的周期； .函数 ()fx在 ? ?1,2 上 递减，在 ? ?2,3 上递增； .函数 ()fx的最大值是
6、 ，最小值时是 ； .当 ? ? 313, 4 , ( )2xx f x ? 其中，正确的命题的序号 是 _ 三、解答题 （本题共 6 个小题， 17-21 每小题 12 分， 22 题 10 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。） 17、（ 12 分） ABC 的内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，已知 3 c o s 3 s inc B a b C?. (1)求 C ； (2)若 7c? ， ,abc成等差数列，求 ABC 的面积 . 18（ 12 分） 汽车厂生产 ,ABC三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表 (单位：辆 )：按类用分层抽样的方
7、法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其 中有 A类轿车 10 辆 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 Z 标准型 300 450 600 (1)求 z 的值； (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本将该样本看成一个总体，从中任取 2 辆，求至少有 1 辆舒适型轿车的概率； - 4 - 19、（ 12 分） 如图，已知四棱锥 P ABCD? 的底面 ABCD 是菱形， 060BAD?,PA PD? ，O 为 AD 边的中点 （ I）证明：平面 POB? 平面 PAD ； （ II）若 2 3 , 7 , 1 3A B P A P B? ? ?，求四棱
8、锥 P A CD? 的体积 20（ 12 分） 已知椭圆 22: 1( 0 )xyE a bab? ? ? ?的右焦点为 ? ?10F， ,左顶点为 ? ?20A?， （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）过点 A 作两条相互垂 直的直线分别与椭圆 E 交于（不同于点 A 的） ,MN两点 .试判断直线 MN 与 x 轴的交点是否为定点 ,若是 ,求出定点坐标；若不是 ,请说明理由 . 21、（ 12 分） 已知函数 () xf x e x?. (1)求函数 ()fx的极值； (2)设函数 ( ) ( 1)g x m x n? ? ?，若对 Rx? ， ()fx恒不小于 ()gx ，求 mn?
9、 的最大值 22、（ 10 分）选做题（任选一题作答，若两题都做，则按第一题给分）： （ 1） 已知平面直角坐标系中，曲线 22: 6 8 0C x y x y? ? ? ?，直线 1 : 3 0l x y?，直线2 : 3 0l y y?，以坐标原点 o 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 . （）写出曲线 的参数方程以及 直线 12ll、 的极坐标方程； - 5 - （）若直线 1l 与曲线 C 分别交于 OA、 两点 ，直线 2L 与曲线 C 分别交于 OB、 两点，求 AOB 的面积 . (2)设函数 ( ) 2 1 4f x x x? ? ? ? （ ） 解不等式 ( ) 0
10、fx ； （ ） 若 ( ) 3 4f x x m?对一切实数 x 均成立，求实数 m 的取值范围 - 6 - 参考答案 1-5DADBB, 6-10CCDBA, 11-12AC 13 25 12yx? 14 15 14 16 17 （ 1） C 23? （ 2） 1534 试题解析： （ 1）由 3 ccosB 3 a bsinC 及正弦定理得， 3 sinCcosB 3 sinA sinBsinC， 因为 sinA sin(B C) sinBcosC sinCcosB， 所以 3 sinBcosC sinBsinC 因为 sinB0 ， 所以 tanC 3 ， 因为 C(0 ， )， 所以
11、 C 23? （ 2） 由 a， b， c 成等差数列得 2b a c， 又 c 7， 所以 a 2b 7 由余弦定理得 c2 a2 b2 ab， 所以 (2b 7)2 b2 (2b 7)b 49， 整理得 b2 5b 0， 解得 b 5 所以 a 3， 故 S ABC 12 3 5 3 15 324? 18 （ 1） ；（ 2） （ 1 ） 设 该 厂 这 个 月 共 生 产 轿 车 辆，由题意得 ，. - 7 - （ 2） 设所抽样中有 辆舒适轿车， 由题意 ， 得 ， 因此抽取的容量为 的样本中，有 辆舒适型轿车， 3 辆标准型轿车 .用山 表示 2 辆舒适型轿车 ， 用 表示 3 辆标
12、准轿车 ， 用表示事件 “ 在该样本中任取 2 辆，其中至少有 1 辆，舒适轿车 ” ， 则基本事件空间包含的基本事件有 ： ， ， 故 个 ， 事件 包含的基本事件有： ，共 个，故 ，即所求概率为 . 19 （ I）证明见解析；（ II） 试题解析： （ I）证明：连接 ，因为底面 是菱形， ，所以 是正三角形， 所以 ，因为 为 的中点， ， 所以 ，且 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 （ II） 因为 是正三角形，所以 ， 在 中， ，所以， 又 ，所以 ， 所以 ，即 ， 又 ，且 ，所以 平面 ， 因为 ， 所以四棱锥 的体积为 20 （ 1）椭圆 E 的方程为 2
13、2143xy?；（ 2）直线 MN 与 x 轴的交点是定点 ,坐标为 2,07?. 试题解析： - 8 - （ 1）由已知得 1, 2,ca? 2 2 2 3.b a c? ? ? 所以椭圆 E 的方程为 221.43xy? （ 2）当直线 MN 与 x 轴垂直时 ,直线 AM 的方程为 2,yx? 联立222 3 4 12yxxy?得 27 16 4 0,xx? ? ?解得 ? ?2 2.7xx? ? ? ?或 舍 去 此时直线 MN 的方程为 2.7x? 直线 MN 与 x 轴的交点为 2,0 .7?当直线 MN 不垂直于 x 轴时 ,设直线 MN 的方程为 .y kx m? 联立22 3
14、 4 12y kx mxy?得 ? ?2 2 24 3 8 4 1 2 0 .k x k m x m? ? ? ? ? 设 ? ? ? ?1 1 2 2, , , ,M x y N x y则 2 2 21 2 1 2 1 22 2 28 4 1 2 3 1 2, , ,4 3 4 3 3 4k m m m kx x x x y yk k k? ? ? ? ? ? ?且 ? ? ? ? ? ?2 228 4 4 3 4 1 2 0 ,k m k m? ? ? ? ? ?即 224 3.mk? 而 ? ? ? ?1 1 2 22 , , 2 , ,A M x y A N x y? ? ? ?由题意
15、知 , ,AM AN? 即 ? ? 221 2 1 2 1 2 27 1 6 42 4 0 ,43m k m kA M A N x x x x y y k? ? ? ? ? ? ? ?解得 27mk? 或 ? ?2.mk? 舍 去 当 27mk? 时 ,满足 224 3.mk?直线 MN 的方程为 2 ,7y k x?此时与 x 轴的交点为2,0 .7?故直线 MN 与 x 轴的交点是定点 ,坐标为 2,0 .7? 21 (1) 极小值为 1)0( ?f ，没有极大值 (2) e 试题解析： （ 1）依题意 1)( ? xexf ， 令 0)( ?xf 得 0?x 令 0)( ?xf 得 0?
16、x - 9 - 故函数 )(xf 在 ? ?0,? 单调递减，在 ? ?,0 单调递增 故函数 )(xf 的极小值为 1)0( ?f ，没有极大值。 （ 2）依题意对 )()(, xgxfRx ? ,即 nxmxe x ? )1( ，即 0? nmxex 恒成立 令 nmxexu x ?)( ，则 mexu x ? )( 若 0?m ，则 0)( ?xu ， )(xu 在 R 上单调递增，没有最小值，不符题意，舍去。 若 0?m ，令 0)( ?xu 得 mx ln? 当 0)( ?xu ，即 ? ?mx ln,? 时， )(xu 单调递减； 当 0)( ?xu ，即 ? ? ,lnmx 时，
17、 )(xu 单调递增。 故 0lnln)( l n)( lnm i n ? nmmmnmmemuxu m 故 mmmnm ln2 ? 令 mmmmq ln2)( ? ，则 mxq ln1)( ? 当 ),0( em? 时， 0)( ?xq ， )(xq 单调递增； 当 ? ? ,em 时， 0)( ?xq ， )(xq 单调递减 故 eeeeeqxq ? ln2)()( m a x ，即 enm ? ，即 nm? 的最大值是 e 。 22 （ ） 见解析； （ ） . 试题解析： （ 1） 依题意，曲线 ， 故曲线 的参数方程是 ( 为参数 )， 因为直线 ，直线 ，故 的极坐标方程为 ； （ 2）易知曲线 的极坐标方程为 ， 把 代入 ，得 ， ， - 10 - 把 代入 ，得 ， ， 23 (1) (2) 试题解析： ( ） 当 时 ， ， 得 ， 所以 成立 当 时 ， ， 得 ，所以 成立 当
