新人教A版高中数学必修二第八单元《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教案及课件.zip

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(人教 A 版普通高中教科书数学必修第二册第八章)本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册（人教 A 版）第八章立体几何初步，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。一、教学目标与数学学科素养一、教学目标与数学学科素养课程目标课程目标1通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式2能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题数学学科素养数学学科素养1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.二、教学重难点二、教学重难点1.教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；2.教学难点：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积三、教学过程三、教学过程1.表面积1.表面积1.1 创设情境，引入课题1.1 创设情境，引入课题【实际情境】【实际情境】在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关规定：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和规定：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和【设计意图】表面积的求解不是凭空产生的，用包装盒用纸问题这一实例，让学生感受“求表面积”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.1.2 复习回顾，探索新知1.2 复习回顾，探索新知【问题】：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？【设计意图】通过复习回顾，让学生感受到求解表面积的转化思想，进而用于解决本节课的新问题情境。【探究】棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？【思考 1】棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形；【思考 2】棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形；【思考 3】棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。【小结】求棱柱、棱锥、棱台的侧面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题，而计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。【设计意图】通过初中正方体，长方体表面积的求法，提炼出求解表面积的基本思想方法，并且在探究棱柱，棱锥，棱台的基础上，了解从空间问题到平面问题转化的思路，形成求解表面积问题的一般方法.1.3 典例分析，举一反三1.3 典例分析，举一反三例例 1 已知如图，四面体SABC的棱长均为a，求它的表面积【答案】23a【解析】因为四面体 SABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的 4 倍不妨求SBC 的面积，过点 S 作 SDBC，交 BC 于点 D，如图所示因为 BCSBa，SD2222322aSBBDaa,所以 SSBC12BCSD12a32a34a2.故四面体 SABC 的表面积 S434a23a2.跟踪训练一：已知一个正四棱锥跟踪训练一：已知一个正四棱锥 P-ABCD 的侧棱长为的侧棱长为 5，底面的边长为，底面的边长为 6，求它的表面积，求它的表面积解：因为PBC是等腰三角形，所以 .因此，四棱锥P-ABCD的表面积1226562122PBCS8461242ABCDPS解题技巧（求多面体表面积注意事项）1多面体的表面积转化为各面面积之和2解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决2.体积2.体积2.1 复习回顾，引入课题2.1 复习回顾，引入课题还记得以前学过的特殊棱柱还记得以前学过的特殊棱柱正方体、长方体的体积公式吗？正方体、长方体的体积公式吗？(a 为正方体的棱长)(a、b、c 为长方体的长、宽、高)正方体、长方体的体积公式可以统一为：正方体、长方体的体积公式可以统一为：sh2.2 探索新知2.2 探索新知【思考 1】棱柱的体积公式是什么？如何计算它的体积？一般地，如果棱柱的底面积是 S，高是 h,那么这个棱柱的体积 V 棱柱=sh【思考 2】棱锥的体积公式是什么？如何计算它的体积？一个三棱柱可以分解成三个体积相等的三棱锥，如图所示：一个三棱柱可以分解成三个体积相等的三棱锥，如图所示：如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的 3 倍.3aV正方体abcV长方体因此，一般地，如果棱锥的底面面积为 S，高为 h，那么该棱锥的体积ShV31【思考 3】棱台的体积公式是什么？如何计算它的体积？【思考 3】棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？【设计意图】通过初中正方体，长方体体积公式，归纳出求解棱柱的体积公式。然后将棱柱分解，进而求出棱锥的体积公式。接着将棱台看成大棱锥截取一个小棱锥，通过一些相似知识的应用，进而得出棱台的体积公式。过程中让学生体会化归的基本思想方法，并且在探究棱柱，棱锥，棱台的基础上，感受求解体积问题的一般方法。最后再从形和数的角度让学生感受棱柱，棱锥，棱台的结构特征及其联系。2.3 典例分析，举一反三2.3 典例分析，举一反三例例 3 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是 0.5m，公共面ABCD是边长为 1m 的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到30.01m）？【答案】30.67m【解析】由题意知长方体ABCDABC D的体积1 1 0.5V 30.5 m，棱锥PABC D的体积11 1 0.53V 316m，所以这个漏斗的容积112263V 30.67 m.跟踪训练二跟踪训练二：如图，已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 a 的正方体，E 为 AA1的中点，F 为 CC1上一点，求三棱锥 A1D1EF 的体积.解：(1)由 V 三棱锥 A1D1EFV 三棱锥 FA1D1E，SA1D1E12EA1A1D114a2，又三棱锥 FA1D1E 的高为 CDa，V 三棱锥 FA1D1E13a14a2112a3，V 三棱锥 A1D1EF112a3解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项)1常见的求几何体体积的方法公式法：直接代入公式求解等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积2求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算3.归纳小结，提炼升华3.归纳小结，提炼升华1、求几何体的表面积2、求几何体体积的常用方法4.课外作业4.课外作业四、教学反思四、教学反思本节课的重点是掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.而本节课的难点可以通过三组体积公式对比，寻找其联系(棱台上底面和下底面面积一样时，图形变成棱柱，对应的公式，经推导也就变成棱柱的体积公式了;棱台上底面无限缩小至点时，图形变成棱锥，对应的公式，经推导也就变成棱锥的体积公式了.)使学生对其更加理解.再有解决实际问题时可先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.8.3.28.3.2圆柱、圆锥、圆圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积台、球的表面积与体积学习目标1.知道圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算公式;2.能利用计算公式求旋转体的表面积与体积;3.能利用公式解决与旋转体相关的简单实际问题.4.核心素养:直观想象、数学抽象,数学运算.圆柱的侧面展开图是矩形O一、探究新知1.圆柱圆锥的侧面展开图是扇形O2.圆锥OO圆台的侧面展开图是扇环3.圆台OO4.圆台侧面积公式OO5.圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？Orr上底扩大Or0上底缩小6.圆柱、圆锥、圆台的体积公式OO7.球的半径为R,则球的表面积公式和体积公式O半径球心图8.3-5二、巩固新知1.例1.如图8.3-4某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料?(取3.14).图8.3-4解:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.2.例2.如图，圆柱的底面直径与高都等于球 的直径，求球与圆柱体积之比.已知正方体的八个顶点都在球O的球面上且正方体的棱长为a，求球O的表面积和体积.ACo o解:正方体的一条对角线是球的一条直径,所以球的半径为小结：正方体的中心是正方体外接球，内切球的球心 3.变式训练：内切球棱切球外接球三、课堂小结:1).圆柱 2).圆锥 3).圆台1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式OO作业:课本p120 习题8.3 4、5题