1、9.4.2总体离散程度的估计(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第九章)一、教学目标1.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差).2.会求样本数据的方差、标准差、极差.3.理解离散程度参数的统计含义.二、教学重难点1.方差、标准差的计算方法2.利用样本的方差、标准差对总体数据进行分析三、教学过程(一)方差、极差和标准差的概念引言:平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据“中心位置”的重要信息,可以描述一组数据的集中趋势。但有时候仅仅知道“中心位置”不足以让我们做出有效的决策,请看下面的案例。问题1:有两位射击运动员在一次射击测试各射击10次,每次命中的环数如下:甲7 8
2、 7 9 5 4 9 10 7 4 乙9 5 7 8 7 6 8 4 7 7 如果你是教练,你如何对两位运动员的射击情况做出评价?如果这是一次选拔性考核,你应当如何做出选择?预案:通过简单的排序和计算,可以发现甲、乙两位运动员射击成绩的平均数、中位数和众数均为7。从这个角度来看,两位运动员之间没有差别。结合初中知识,现在我们用方差来刻画两位射击运动员成绩的离散程度。,甲运动员10次射击成绩的方差为4,乙运动员10次射击成绩的方差为1.2;由此可知,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小,说明乙比甲的射击成绩稳定。追问:高中的方差和我们初中学的有什么不同吗?方差的定义:假设一组数据是,用表示这组
3、数据的平均数,用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即,则这组数据到的平均距离为,为了避免式子中含有绝对值,通常改用平方来代替,即,我们将定义为这组数据的方差,用表示。公式的推导,因为.有时为了计算方差的方便,也用上述表达式计算方差。设计意图:通过案例,帮助学生回忆方差的概念和统计含义。问题2:除了方差,你还能想到其他刻画数据离散程度的统计量吗?预案:一种简单的度量数据离散程度的方法就是极差。极差是数据的最大值与最小值的差,即甲命中环数的极差=10-4=6,乙命中环数的极差=9-5=4。极差在一定程度上刻画了数据的离散程度,可以发现甲的成绩波动范围比乙大。但因为极差只使用了数据中最大、最
4、小两个值的信息,所含的信息量很少。设计意图:让学生主动探索多个统计量刻画数据的离散程度,并认识到每个统计量的优缺点。问题3:问题1中方差的单位是什么?预案:由于方差的单位是原始数据的单位的平方,与原始数据不一致。为了使二者单位一致,我们对方差开方,取它的算数平方根,即,我们称之为这组数据的标准差,用表示。问题4:方差和标准差的取值范围是什么?如果方差和标准差为0,这组数据有什么特点?预案:非负数;方差和标准差都为0,那么这组数据都一样,都等于平均数。进一步说明,方差和标准差都是刻画一组数据的离散程度的指标,但是在解决实际问题中,一般多采用标准差。(一) 分层随机抽样样本方差的计算引言:在实际问
5、题中,往往很难获得所有的数据,可以用简单随机抽样或分层随机抽样的方法抽取样本,用样本的方差估计总体的方差。请看下面的例题:问题5:在对树人中学高一年级学生身高的调查中,采用样本量比例分配的分层随机抽样,如果不知道样本数据,只知道抽取了男生23人,样本的平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人,样本的平均数和方差分别为160.6和38.62。你能由这些数据计算出样本的平均数和方差吗?并对高一年级全体学生的身高方差做出估计吗?预案:把抽取的男生样本记为,样本的平均数记为,方差记为;把抽取的女生样本记为,样本的平均数记为,方差记为;把总样本数据的平均数记为,方差记为。根据平均数的定
6、义,算出;根据方差的定义和变形公式,总样本的方差 由可得同理可得所以,将=170.6,=12.59和=160.6,=38.62以及=165.2代入上式,可得因此,总样本的平均数为165.2,方差为51.4862,据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862。追问:比较总样本方差与男生组及女生组的方差,你能发现什么?预案:可以看到总样本反差既大于男生组的方差,也大于女生组的方差.男、女生的平均数相差越大,即两组差别越大,总样本方差比男、女生的方差均大得多,这说明分层随机抽样的效果也就越好。设计意图:引导学生对统计结果进行解释,进而更好地理解分层随机抽样的使用范围。问题6:一般地,如果知道两
7、组数据各自的数据个数、平均数和方差,如何计算全部数据的平均数和方差呢?预案:一般地,如果已知第一组数据的个数为,平均数和方差分别为和,第二组数据的个数是,平均数和方差分别为和,那么总样本的平均数,总样本方差为设计意图:将总样本平均数和总样本方差从问题5推广到一般,让学生体会由具体到一般的思想。(二) 用平均数和标准差反映数据取值信息问题8:平均数反映数据的集中趋势,标准差刻画了数据的离散程度,那么将平均数和方差综合在一起.例如,考察以平均数为中心的区间,观察数据分别落在这两个区间的百分比,你能发现什么规律?预案:以100户居民用户的月均用水量数据为例。可以发现,100个数据中大部分都集中在,内
8、,在,外的只有7个数据,也就是说绝大部分的数据落在,.通过平均数和标准差两个统计量,就可以得到大部分数据的取值范围.方差越大,则这个区间越大;方差越小,则这个区间越小.设计意图:让学生认识到利用平均数和标准差也可以部分反映数据的取值规律.(三) 课堂小结问题9:假设老师请你帮忙完成一个数据分析任务,给了你们学校全体高一年级学生的数学成绩数据,请你写一份数据分析报告.结合这节课的学习内容,你会用哪些统计量?为什么?预案:引导学生对平均数和方差等统计量的特点进行归纳概括.设计意图:通过时间里,让学生体会平均数和方差等统计量的特点及应用.(四) 布置作业教科书第213,214页练习第2,3,4,5题.