1、 - 1 - 2017-2018 学年度第一学期半期考试试题 高二数学（文科） (满分 150分 ,考试时间 120 分钟 ) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 设全集为 R，集合 1 | 1Axx?，则 RC A =（ ） A ? ?| 0 1xx? B ? ?| 0 1xx? C ? ?| 0 1xx? D ? ?| 1 0x x x?或 2.在 x轴上的截距为 2 且倾斜角为 135的直线方程为 . A. 2? xy B. 2? xy C. 2?xy D. 2?xy 3 某程序框图如图所示，该程序运
2、行后输出的 k 的值是 （ ） A 4 B 5 C 6 D 7 4 )42cos( ? xy 的一条对称轴方程是（ ） A 2?x B 4?x C 8?x D ?x 5 公差不为零的等差数列 ?na 中， 2 3 6,a a a 成等比数列，则其公比为 A 1 B 2 C 3 D 4 6设 P是 ABC所在平面 ? 外一点，若 PA， PB， PC两两垂直，则 P在平面 ? 内的射影是 ABC的（ ） A内心 B外心 C重心 D垂心 7 已知向量 ,ab,满足 1 0 , 6 ,a b a b? ? ? ?则 ab? 等于（ ） A 1 B 2 C 3 D 5 8 一个几何体的三视图如图所示，
3、其中主视图和左视图 是腰长为 1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何 体的外接球的表面积为 （ ） 1 - 2 - A.12? B.43? C.3? D.12 3? 9 设变量 xy， 满足 约束条件 703 1 03 5 0xyxyxy? ? ? ? ? ? ?，则目标函数 z 2x -y 的最大值为 A 10 B 8 C 3 D 2 10 已知圆 4)1( 22 ? yx 内一点 P（ 2， 1），则过 P点最短弦所在的直线方程是 （ ） A 01?yx B 03?yx C 03?yx D 2?x 11在 2012年 3月 15 日，某市物价部门对本市的 5家商场的某种商品的一天销售量及其
4、价格进行调查， 5家商场的售价 元和销售量 件之间的一组数据如下表所示： 价格 9 9.5 10 10.5 11 销售量y11 10 8 6 5 由散点图可知，销售量 与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是： 3.2x a? ?，则a?（ ） A 24? B35.6C40.5D4012已知 f（ x）是 R上的奇函数，对 x R都有 f（ x+4） =f（ x） +f（ 2）成立，若 f（ 1） = 2，则 f（ 2013）等于（ ） A 2 B 2 C 1 D 2013 第卷 (非选择题 共 90分 ) 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。把答案填在题中横线上
5、 . 13 已 知 函 数 ( ) s i n ( ) c o s ( )f x x x? ? ? ? ? ?是 偶 函 数 ， 且 0, 2? ，则 ? 的值 为 14 若直线 08)3(1 ? myxmyx 与直线 平行，则 ?m 。 15 已知球 O 的面上四点 A、 B、 C、 D， ,ABCDA 平面? ,BCAB? 3? BCABDA ,则球 O的体积等于 - 3 - 16.已知 )0,2(?A ， )0,2(B ，点 P 在圆 4)4()3( 22 ? yx 上运动，则 22 PBPA ? 的最小值是 则 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程
6、或演算步骤 . 17 （ 本小题满分 10 分 ）在 ABC 中， a b c、 、 是角 A B C、 、 所对的边，且满足2 2 2a c b ac? ? ? ( )求角 B 的大小； ( )设 ( s i n , c o s 2 ) , ( 6 , 1 )m A A n? ? ? ?，求 mn? 的最小值 . 18（ 本小题满分 12分 ） 设数列的前 ?na 项 n和为 nS ，若对于任意的正整数 n都有 naS nn 32 ? . （ 1）设 3nnba?，求证：数列 ?nb 是等比数列，并求出 ?na 的通项公式。 （ 2）求数列 ? ?nna 的前 n项和 . - 4 - 19（
7、本小题满分 12分）遵义 统计局就某地居民的月收入调查了 10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图 (每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在)1500,1000 )。 (1)求 居民月收入在 )3500,3000 的频率 ； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； (3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10000人中分层抽样方法抽出 100人作进一步分析，则月收入在 )3000,2500 的这段应抽多少人？ 20（本小题满分 12分） 在直三棱柱中， 1 3 , 2 ,A A A B B C A C D? ? ? ?是 AC 中
8、点 . （ 1）求证： 1BC/平面 BDA1 ； （ 2）求点 1B 到平面 BDA1 的距离； 0 . 00053000 35000 . 00030 . 0004200015000 . 00020 . 0001400025001000月收入 （ 元 ）频率 /组距- 5 - 21. （本小题满分 12 分） 已知线段 AB 的端点 B 的坐标为 (1， 3)，端点 A 在圆 C: 4)1( 22 ? yx 上运动（ 1）求线段AB的中点 M的轨迹； （ 2）过点 N（ 0,1）的直线l与圆 C 有两个交点 E、 F， .求弦 EF最小时的直线l的方程 . 22（本题满分 12分） 已知圆
9、C：22 30x y D x Ey? ? ? ? ?关于直线10xy? ? ?对称，圆心在第二象限，半径为2. （ 1）求圆 C的方程； （ 2） 是否存在斜率为 2的直线l， 截圆 C所得的弦为 AB，且以 AB 为直径的圆过原点，若存在，则求出l的方程，若不存在，请说明理由。 - 6 - 答案： 1-6 DABCCD 7-12ACBBAA 错的 1-6 AABCCD 7-12 ACBBDA 11.8 修改 13.4? 14. 23? 15. 29? 16.26 16解： 设 ),( yxP ，则 828)(2)2()2( 222222222 ? OPyxyxyxPBPA .设圆心为 )4,
10、3(C ，则 325m in ? rOCOP ， 22 PBPA ? 的最小值为 26832 2 ? . 17、（） （ II）略 解（） ， ， 3分 ， 5分 （ II） 6分 ， 8 分 ， 10分 当 sinA=“1“ m.n的最小值是 -5 12 分 18、 解：（ 1） Sn=2an 3n，对于任意的正整数都成立， Sn 1=2an 1 3n 3， - 7 - 两式相减，得 a n+1=2an+1 2an 3，即 an+1=2an+3， an+1+3=（ 2an+3）， 所以数列 bn是以 2为公比的等比数列， 由已知条件得： S1=2a1 3， a1=3 首项 b1=a1+3=6
11、，公比 q=2， an=6 2n 1 3=3 2n 3 （ 2） nan=3 n 2n 3n Sn=3（ 1 2+2 22+3 23+ +n 2n） 3（ 1+2+3+ +n）， 2Sn=3（ 1 22+2 23+3 24+ +n 2n+1） 6（ 1+2+3+ +n）， Sn=3（ 2+22+23+ +2n） +3（ 1+2+3+ +n） = Sn= 19.解 ： （ 1）月收入在 3000， 3500的频率为： 0.0003（ 3500-3000） =0.15； （ 2）频率分布直方图知，中位数在 2000， 2500），设中位数为 x， 则 0.0002 500+0.0004 500+0
12、.0005（ x-2000） =0.5，解得 x=2400， 根据频率分布直方图估计样本数据的中位数为 2400； （ 3）居民月收入在 2500， 3000的频率为 0.0005（ 3000-2500） =0.25， 所以 10000人中月收入在 2500， 3000的人数为 0.25 10000=2500（人）， 再从 10000人用分层抽样方法 抽出 100人，则月收入在 2500， 3000的这段应抽取100 =25人 2500 10000 - 8 - x z y A B C D 1A 1B 1C E 20 . 解答： （ 1）连结 1AB 交 1AB于 E ，连结 DE . 1 11
13、1/ /D E B C B C A B DD E A B D ? ? 平 面平 面.6 分 (2) 如图建立坐标系， 则 1(0,2 2,3)B , (0,2 2,0)B , 1( 1,0,3)A ? 1 (0, 2 2,3)DB ? , (0, 2 2,0)DB ? 1 ( 1,0,3)DA ? 设平面 BDA1 的法向量为 ( , . )n x yz? ， 2 2 030yxz? ? ? ?所以 (3,0,1)n? . 1 3 1 010n DBdn? .12 分 21.（ 1）设中点为（ x0,y0) 则 A点坐标为（ 2x0-1,2y0-3) 因为 A点在圆上 ,把点带入圆方程 得 x
14、02+(y0-3/2)2=1 所以线段 AB 的中点 M的轨迹为 x2+(y-3/2)2=1 （ 2）当 CN EF时，弦 EF最小，l斜率为 -1，l方程为 y=-x+1 22（ 1）22 2 4 3 0y x y? ? ? ? ?（ 2）满足条件的直线不存在 【解析】 试题分析：（ 1）圆心为22 12( , ) ,2 2 2D E D Er ? ? ?2分 由题意：22102212 22DEDE? ? ? ? ? ? ?4分 解得：2, 4DE? ?或4, 2? ?（舍） 圆 C的方程为2 4 3 0x y x y? ? ? ? ?6分 - 9 - （ 2）假设存在满足要求的直线l，设其
15、方程为2y x b?， 设1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，由题意，1 2 1 2,0O A O B O A O B x x y y? ? ? ? ? ?8分 得：22 1 2 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) 5 2 ( ) 0x x x b x b x x b x x b? ? ? ? ? ? ?（ *） 10 分 将2y x b代入圆的方程22 4 3 0y x y? ? ? ? ?得： 5 ( 4 6) 4 3 0x b x b b? ? ? ? ? ?，该方程的两根为12,xx12分 将21 2 1 24 6 4 3,55b b bx x x x? ? ? ? ? ?代入 （ *）得： 22 8 15 0bb? ? ?14分 0,?方程无解，满足条件的直线不存在 . 16 分
