1、 2021 届单元训练卷高三数学卷（B） 第第 11 单元单元 圆锥圆锥曲线曲线 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，在每小
2、题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1已知 1( 5,0) F ， 2(5,0) F，动点P满足 12 | 2PFPFa，当a为3和5时，点P的轨迹分别 是（ ） A双曲线和一条直线 B双曲线和一条射线 C双曲线的右支和一条直线 D双曲线的右支和一条射线 2抛物线 2 2yx的准线方程为（ ） A 1 2 x B 1 2 x C 1 8 y D 1 8 y 3若椭圆 22 1 1625 xy 上一点P到焦点 1 F的距离为6，则点P到另一个焦点 2 F的距离是（ ） A2 B4 C6 D8 4若椭圆 22 2 1 4 xy m
3、与双曲线 22 2 1 2 xy m 有相同的焦点，则实数m为（ ） A1 B1 C1 D不确定 5 已知A为抛物线 2 :2(0)C ypx p上一点， 点A到C的焦点的距离为12， 到y轴的距离为9， 则p （ ） A2 B3 C6 D9 6已知双曲线与椭圆 22 1 95 xy 的焦点重合，它们的离心率之和为 8 3 ，则双曲线的渐近线方程 为（ ） A 3 3 yx B3yx C 3 5 5 y D 5 3 yx 7已知双曲线 22 2 1(0) 4 xy a a 的右焦点与抛物线 2 12yx的焦点重合，则该双曲线的离心率 为（ ） A 9 5 B 5 3 C 3 2 D 3 5 5
4、 8设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为5P是C上 一点，且 12 FPF P若 12 PFF的面积为4，则a（ ） A1 B2 C4 D8 9设O为坐标原点，直线2x与抛物线 2 :2(0)C ypx p交于D，E两点，若ODOE， 则C的焦点坐标为（ ） A 1 ( ,0) 4 B 1 ( ,0) 2 C(1,0) D(2,0) 10设O为坐标原点，直线xa与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线分别交于D， E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ） A4 B8 C16 D32
5、11已知动点M到点(1,0)F的距离等于点M到直线:1l x 的距离，设点M的轨迹为曲线E， A，B为曲线E上两动点，N为AB的中点， 若点N到y轴的距离为2， 则弦AB的最大值为 （ ） A6 B5 C4 D3 12已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B， 1 F， 2 F分别是椭 圆的左、右焦点，且 1 F AB的面积为 23 2 ，点P为椭圆上的任意一点，则 12 11 |PFPF 的取 值范围为（ ） A1,2 B 2, 3 C 2,4 D1,4 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分
6、13设椭圆 22 :1 369 xy C的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，A是C上任意一点，则 12 AFF的周长 为_ 14 已知直线AB过抛物线 2 4yx的焦点F， 交抛物线于 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy两点， 若 12 5xx， 则|AB等于_ 15已知F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点， 且BF垂直于x轴，若AB的斜率为3，则C的离心率为_ 16已知椭圆 22 :1(16) 16 xy Cm mm 的右焦点为F，点( 2,2 3)A 为椭圆C内一点，若椭圆 C上存在一点P，使得| 10PAPF，
7、则m的取值范围是_ 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）如图，已知抛物线 2 1yx与x轴相交于点A，B两点，P是该抛物线上位于第一 象限内的点 （1）记直线PA，PB斜率分别为 1 k， 2 k，求证 21 kk为定值； （2）过点A作ADPB，垂足为D，若D关于x轴的对称点恰好在直线PA上，求PAD的面 积 18 （12 分）如图，设P是圆 22 25xy上的动点，点D是P在x轴上投影，M为PD上一点， 且 4 | 5 MDPD （1）当P在圆上运动时
8、，求点M的轨迹C的方程； （2）求过点(3,0)且斜率为 4 5 的直线被C所截线段的长度 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点(2,3)M，点A为其左顶点，且AM的斜率 为 1 2 （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求AMN的面积的最大值 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p过点(1, 2)A （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与 l的距离等于 5 5 ?若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由 21 （12 分）已知
9、椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点F与抛物线 2 C的焦点重合 1 C的中心 与 2 C的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交 1 C于A，B两点，交 2 C于C，D两点且 4 | 3 CDAB （1）求 1 C的离心率； （2）设M是 1 C与 2 C的公共点若| 5MF ，求 1 C与 2 C的标准方程 22 （12 分）已知椭圆 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 的离心率为 15 4 ，A，B分别为C的左、右顶 点 （1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线6x上，且| |BPBQ，BPBQ，求APQ的面积 好教育单元训练金卷高三数学卷（B）
10、 第第 11 单元单元 圆锥圆锥曲线曲线 答答 案案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 【答案】D 【解析】当3a 时， 1212 | 26 |PFPFaFF，此时点P的轨迹为双曲线的右支； 当5a时， 1212 | 210 |PFPFaFF，此时点P的轨迹为以 2 F为端点的一条射线， 故选 D 2 【答案】C 【解析】由已知， 2 2yx，即 2 1 2 xy，所以抛物线 2 2yx的准线方程为 1 8 y 3 【答案】B
11、 【解析】由椭圆的标准方程可知， 2 25a ，5a， 由椭圆的定义可知： 12 | 210PFPFa， 1 | 6PF ， 2 | 4PF 4 【答案】C 【解析】由方程可知，双曲线焦点在x轴上， 22 42mm，得 2 1m ，1m， 故选 C 5 【答案】C 【解析】根据抛物线的定义可知，点A到C的焦点的距离等于到准线 2 p x 的距离， 即129 2 p ，解得6p 6 【答案】B 【解析】椭圆 22 1 95 xy 的焦点为( 2,0)，(2,0)，离心率 2 3 e ， 双曲线的离心率为 82 2 33 ，在双曲线中2c ，可得1a ，3b ， 故双曲线的渐近线方程为3yx ，故
12、选 B 7 【答案】D 【解析】因为双曲线 22 2 1(0) 4 xy a a 的右焦点 2 (4,0)Fa 与抛物线 2 12yx的焦点(3,0) F 重合，所以 2 43a ，解得5a ， 即该双曲线的离心率为 33 5 55 8 【答案】A 【解析】设 1 PFm， 2 PFn，则 1 2 1 4 2 PF F Smn ，| 2mna， 222 4mnc， 可得 22 4ca， 又5 c e a ，求得1a 9 【答案】B 【解析】不妨设(2, 4 )Dp，(2,4 )Ep， ODOE，440OD OEp，解得1p ， 故抛物线C的方程为 2 2yx，其焦点坐标为 1 ( ,0) 2
13、10 【答案】B 【解析】双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线分别为 b yx a ， 则容易得到| 2DEb，则8 ODE Sab ， 222 216cabab， 当且仅当2 2ab时，等号成立，所以 min 4c，焦距 min (2 )8c 11 【答案】A 【解析】由抛物线的定义可得，曲线E的方程为 2 4yx，焦点为(1,0)F，准线为:1l x ， 作 1 AAl， 1 NNl， 1 BBl，垂足分别为 1 A， 1 N， 1 B， 则 111 111 |(|)(|)| 222 NNAABBAFBFAB， 即 1 | 2| 2 (2 1)6ABNN ，
14、 综上可得，弦AB的最大值为6 12 【答案】D 【解析】由已知得椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的短轴长为22b，1b， 1 123 () 22 F AB Sac b ，解得23ac， 2a，3c ， 12 | 24PFPFa， 设 1 |PFx，则 2 | 4PFx，,xac ac，即23,23x， 2 12 11114 1,4 |44(2)PFPFxxx 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】126 3 【解析】根据题意，椭圆 22 :1 369 xy C，其中6a，3b， 则3693 3c ，A是C上任意
15、一点， 则 12 AFF的周长 1212 | 22126 3lAFAFFFac 14 【答案】7 【解析】由题知， 12 |527ABxxp 15 【答案】2 【解析】由题可知点B的坐标为 2 ( ,) b c a ，所以 2 3 AB b a k ca ，且 222 bca， 代入并化简可得 222 320320cacaee，解得2e或1e(舍去) 16 【答案】(168 3,49 【解析】椭圆 22 :1(16) 16 xy Cm mm 的右焦点(4,0)F，左焦点为( 4,0)F ， 由椭圆的定义可得2|mPF PF ，即| 2|PFmPF ， 又| 10PAPF，| 102PAPFm，
16、 由| | 4PAPFAF，可得41024m ，解得37m， 所以949m， 又( 2,2 3)A 在椭圆内，所以 412 1 16mm ， 所以1664(16)mm m，解得168 3m或168 3m ， 与取交集得168 349m 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 1 2 S 【解析】 （1）由题意得点A，B的坐标分别是( 1,0)A ，(1,0)B 设点P的坐标为 2 ( ,1)P t t ，且1t ，则 2 1 1
17、1 1 t kt t ， 2 2 1 1 1 t kt t ， 所以 21 2kk为定值 （2）由直线PA，AD的位置关系知 1 1 AD kkt ， 因为ADPB，所以 2 (1)(1)1 AD kkt t ，解得2t ， 因为P是第一象限内的点，所以2t ，得点P的坐标为( 2,1)P 联立直线PB与AD的方程 (12)(1) (12)(1) yx yx ，解得点D的坐标为 22 (,) 22 D 所以PAD的面积 12 | | 1 22 PD SAByy 18 【答案】 （1） 22 1 2516 xy ； （2） 41 5 【解析】 （1）设点M的坐标是( , )x y，P的坐标是(,
18、) pp xy， 因为点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且 4 | 5 MDPD， 所以 p xx，且 5 4 p yy， P在圆 22 25xy上， 22 5 ()25 4 xy， 整理得 22 1 2516 xy ，即C的方程是 22 1 2516 xy （2）过点(3,0)且斜率为 4 5 的直线方程是 4 (3) 5 yx， 设此直线与C的交点为 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 将直线方程 4 (3) 5 yx代入C的方程 22 1 2516 xy ，得 22 (3) 1 2525 xx ， 化简得 2 380 xx， 1 341 2 x ， 2 341 2 x
19、 ， 所以线段AB的长度是 222 121212 164141 |()()(1)()41 25255 ABxxyyxx， 即所截线段的长度是 41 5 19 【答案】 （1） 22 1 1612 xy ； （2）18 【解析】 （1）根据题意，把点(2,3)M代入椭圆得到 22 49 1 ab ， 设(,0)Aa，又 31 22 AM k a ，4a， 代入式，求得 2 12b ， 椭圆C的方程为 22 1 1612 xy （2）由题意，可知AM的直线方程为240 xy， 设直线20 xym与椭圆相切于点N， 22 20 1 1612 xym xy ， 联立方程组得 22 16123480ym
20、ym， 22 14464(348)0mm，得8m， 由题意可知8m时，AMN面积最大， 直线240 xy与直线280 xy距离 22 |4( 8)|12 5 5 1( 2) d ， | 3 5AM ， 112 5 3 518 35 AMN S 20 【答案】 （1） 2 4yx，1x； （2）存在，直线l方程为210 xy 【解析】 （1）将(1, 2)代入 2 2ypx，得 2 ( 2)21p，所以2p ， 故所求的抛物线C的方程为 2 4yx，其准线方程为1x （2）假设存在符合题意的直线l，其方程为2yxt ， 由 2 2 4 yxt yx ，得 2 220yyt 因为直线l与抛物线C有
21、公共点，所以得4 80t，解得 1 2 t 另一方面，由直线OA与l的距离 5 5 d ，可得 | |1 55 t ，解得1t 因为 1 1,) 2 ， 1 1 ,) 2 ， 所以符合题意的直线l存在，其方程为210 xy 21 【答案】 （1） 1 2 ； （2） 22 1: 1 3627 xy C， 2 2: 12Cyx 【解析】 （1）F为 1 C的焦点且ABx轴，( ,0)F c， 2 2 | b AB a ， 设 2 C的标准方程为 2 2(0)ypx p， F为 2 C的焦点且ABx轴，(,0) 2 p F，| 2CDp 4 | 3 CDAB， 1 C与 2 C焦点重合， 2 2
22、42 2 3 p c b p a ， 消去p得 2 8 4 3 b c a ， 2 32acb， 22 322acac， 设 1 C的离心率为e，则 2 2320ee， 1 2 e 或2e(舍)， 故 1 C的离心率为 1 2 （2）由（1）知2ac，3bc，2pc 22 1 22 :1 43 xy C cc ， 2 2: 4Cycx 联立两曲线方程，消去y得 22 316120 xcxc， (32 )(6 )0 xc xc， 2 3 xc或6xc(舍)， 从而 25 |5 233 p MFxccc3c 1 C与 2 C的标准方程分别为 22 1 3627 xy ， 2 12yx 22 【答案
23、】 （1） 22 16 1 2525 xy ； （2） 5 2 【解析】 （1） 2 2515 54 cm e a ， 2 25 16 m ， C的方程为 22 16 1 2525 xy （2）由椭圆对称性不妨取点P在椭圆C上半部分，如图所示 作PCx轴于点C，直线6x交x轴于点D， 由已知易证PBCBQDRtRt，所以1PCBD，BCDQ， 故可设( ,1)P x，代入C得 2 16 1 2525 x ，解得3x， (3,1)P，(6,2)Q或( 3,1)P ，(6,8)Q， 当(3,1)P，(6,2)Q时， 22 1115 10 210 2(12 ) 2222 APQABQABPBPQ SSSS ， 当( 3,1)P ，(6,8)Q时， 22 1115 10 810 2(18 ) 2222 APQABQABPBPQ SSSS ， 综上，APQ的面积为 5 2
