1、 - 1 - 2017-2018学年上期期中联考高二数学试题（理科） 第 I卷 共 60 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、若设 0, 0a b c d? ? ? ?，则一定有（ ） A.abcd? B.abcd? C.abdc? D. cd ba? 2、命题“对任意 Rx? ，都有 02?x ”的否定为 ( ) A .对任意 Rx? ，都有 02?x B .不存在 Rx? ，使得 02?x C .存 在 Rx?0 ，使得 020?x D .存在 Rx?0 ，使得 020?x 3、 已知 x1， x2 R，
2、则“ x1 1且 x2 1”是“ x1 x2 2且 x1x2 1”的（ ） A充分且不必要条件 B必要且不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4、等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 63?S ， 03?a ，则公差 d 等于 （ ） A .-2 B . -1 C . 1 D . 2 5、 原点和点（ 1， 1）在直线 x+y a=0两侧，则 a的取值范围是（ ） A 0a2 B 0 a 2 C a=0 或 a=2 D a 0或 a 2 6、钝角三角形 ABC 的面积是 21 ， 1?AB ， 2?BC ，则 ?AC （ ） A . 1 B . 2 C . 5 D . 5
3、7、 在 ABC中，角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，且 b2+c2=a2+bc 若 sin B?sin C=sin2A，则 ABC的形状是（ ） A 钝角 三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 8、 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “ 今有女子善织，日 益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（ 1匹 =40尺，一丈 =10尺），问日益几何？ ” 其意思为： “ 有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？ ” 若一个月按
4、30 天算，则每天增加量为（ ） - 2 - A 尺 B 尺 C 尺 D 尺 9、已知yx,满足线性约束条件?30505xyxyx则yxz 42 ?的最大值为 （ ） A、 14 B、28C、48D、3810、若na是等差数列，首项1 1007 1008 1007 10080 , 0 , 0 ,a a a a a? ? ? ? ?则使前 n 项和0nS?成立的最大自然数n是 ( ) A 2 012 B 2 013 C 2 014 D 2 015 11、 已知函数 f（ x） =4x2 1，若数列1()fn前 n 项和为 Sn，则 S2015的值为（ ） A B C D 12、 若两个正实数 x
5、， y满足 + =1，且不等式 x+ m2 3m 有解，则实数 m的取值范围（ ） A ( 1,4)? B ( , 1) (4, )? ? ? C ( 4,1)? D ( ,0) (3, )? ? 第 卷 共 90分 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上 13、 在 中，角 A,B,C所对边长分别为 a,b,c，若 1. 则 c= 14、 ABC? 中，角 A,B,C 成等差数列，则 ?CAb ac sinsin2。 15、 已知 0 1,x? 则 (3 2 )xx? 的最大值为 。 16、 如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架形状如
6、图， 要求 060?ACB ， BC的长度大于 1米，且 AC 比 AB长 0.5米为 了广告牌稳固，要求 AC的长度越短越好，则 AC 最短为 米。 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17、 （ 10 分）（ 1）设数列 ?na 满足?)1(11)1(,11nanann ，写出这个数列的前四项； （ 2）若数列 ?na 为等比数列，且 253, 24,aa?求数列的通项公式 .na C A B - 3 - 18、 （本题满分 12分） 已知函数 2( ) 1 2f x mx mx? ? ?. (1)当 1m? 时，解不等式 ( ) 0fx? ；
7、 (2)若不等式 ( ) 0fx? 的解集为 R ，求实数 m 的取值范围 . 19、（本小题满分 12） ABC? 的内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc ,已知 2sin ( ) 8 sin 2BAC? (1)求 cosB (2)若 6ac? , ABC? 面积为 2, 求 .b 20、 （本小题满分 12分） 已知 0a? 且 1a? ，命题 P：函数 log ( 1)ayx?在区间 (0, )? 上为减函数；命题 Q：曲线 2 (2 3) 1y x a x? ? ? ?与 轴相交于不同的两点 .若 “ PQ? ” 为真， “ PQ? ” 为假，求实数 a 的取值范围 . 21、（本小
8、题满分 12分） 在 ABC? 中， A B C、 、 是三内角 ， a b c、 、 分别是 A B C、 、 的对边 ， 已 知 222 2 ( s i n s i n ) ( ) s i nA C a b B? ? ?， ABC? 的外接圆的半径为 2 (1) 求角 C ； (2) 求 ABC? 面积的最大值 22、 （本小题满分 12分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 且 1 2nnaS? ( 2)n? ， 1 2a? - 4 - （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）设nn ab 2log1? ， nnnn bbbT 221 ? ? ?，是否存在最大的正整数 k，
9、使得对于任意的正整数 n ，有 12kTn?恒成立？若存在，求出 k 的值；若 不存在，说明理由 - 5 - 2017-2018学年上期期中联考 高二数学参考答案（理科） 一、选择题： 本大题有 12 小题，每小题 5分，共 60分 1 12： DCAAB CCADC DB 二、填空题： 本大题有 4小题，每小题 5分，共 20分 13 2 14 34 15. 89 16. 32? 三、解答题： 17.（本小题满分 10分） (1) 35,23,2,14321 ? aaaa? 5分， (2)由已知得 24,3 411 ? qaqa ，联立方程组解得得 2,231 ? qa， ,223 1? n
10、na,23 2? nna ? 10 分 18（本小题满分 12分） ? ?2 1 2 0 ,( 3 ) ( 4 ) 0xxxx? ? ? ? ?解 ： （ 1 ） 当 m=1 时 ， 不 等 式 为，解 集 为 x|x4.?4 分 （ 2）若不等式 ( ) 0fx? 的解集为 R ，则 当 m=0时， -120恒成立，适合题意； ?6 分 当 0m? 时，应满足200 , 4 8 00 4 8 0mm mmm? ? ? ? ? ? ?即 解 得由上可知， 48 0m? ? ? ?12 分 19.（ 1）由题设及 ? CBA 得 2sin8sin 2 BB ? ，故 sin 4 -cosBB ?
11、（ 1 ） 上式两边平方，整理得 21 7 c o s B -3 2 c o s B + 1 5 = 0 解得 15c o s B = c o s B 171 （ 舍 去 ） ， =? 6分 （ 2）由 1 5 8c o s B s in B1 7 1 7?= 得 ，故 14a s in2 1 7ABCS c B ac? ?又 17=2 2ABCS ac? ?， 则，由余弦定理及 a6c? 得 - 6 - 2 2 22b 2 c osa 2 (1 c osB )17 1536 2 (1 )2 174a c ac Bac? ? ? ? ? ? ? ? ?（ +c ）所以 b=2? 12 分 20
12、、 （本小题满分 12分） 解： 0a? 且 1a? , 命题 P 为真 ? 01a? ?2 分 命题 Q为真 ? 2(2 3) 4 001aaa? ? ? ? ? ? 且? 10 2a? 或 52a?5 分 ?“ PQ? ” 为真， “ PQ? ” 为假 ?命 题 P 、 Q 一个为真，一个为假 若 P 真 Q假，则?25112110aaa或121 ? a?7 分 若 P 假 Q真，则 1 150 22aaa? ? ? ? 或解得 52a?9 分 实数 a 的取值范围是 15,1 ,22? ? ? ? ? ? ? ? ?10 分 21.解： (1)由已知，由正弦定理得： 222 2 ( )
13、( ) ( )2 2 2a c babR R R? ? ?， 因为 =2R ， 所以 2 2 2a c ab b? ? ? ， 即： 2 2 2a b c ab? ? ?， 由余弦定理得 ：2 cosab C ab? ， 所以 1cos 2C? 又 0 C ?， 所以 =3C? ? 6分 (2)由正弦定理得： 2 s i n 2 2 s i n 63c R C ? ? ? ?，由余弦定理得： 22 6a b ab? ? ? 所以 22 62a b ab ab? ? ? ?， 即 ： 6ab? ， 所以 1 1 3 3 3= s i n 62 2 2 2S a b C ? ? ? ?， 当且仅当
14、 6ab? 时 ， S 取到最大值 332 ? 12 分 - 7 - 22 （本小题满分 12分） 解：（ 1）由已知 an=Sn 1+2， an+1=Sn+2， ，得 an+1 an=Sn Sn 1 （ n 2）， an+1=2an （ n 2） 又 a1=2， a2=a1+2=4=2a1， an+1=2an （ n=1， 2， 3， ? ） 数列 an是一个以 2为首项， 2为公比的等比数列， an=2?2n 1=2n ? 4分 （ 2） bn= = = ， Tn=bn+1+bn+2+? +b2n= + +? + ， Tn+1=bn+2+bn+3+? +b2（ n+1） = + +? + + + Tn+1 Tn= + = = n是正整数， Tn+1 Tn 0，即 Tn+1 Tn 数列 Tn是一个单调递增数列， 又 T1=b2= ， Tn T1= ， 要使 Tn 恒成立，则有 ，即 k 6， ? 12 分
