1、 1 2017 2018学年度第一学期高二期中考试 理科数学 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.已知直线的方程为 062 ? yx ，则该直线的斜率为 ( ) . 21.A 21.?B 2.C 2.?D 2.圆 0138222 ? yxyx 的圆心到直线 01?yax 的距离为 1，则 ?a （ ） . 34.?A 43.?B 3.C 2.D 3. 经过原点 O 作圆 2264xy? ? ?（ ） 的切线，切线长是 ( ). .42A . 37B .43C .4D 4.已知点 A 的坐标为 )4,4(? ，直线
2、 l 的 方程为 02?yx ，则点 A 关于 l 的对称点 A 的坐标为（ ） A . )4,32(? B . )6,2(? C . )4,2( D . )6,1( 5.下列命题中， nm, 表示两条不同的直线， ? 、 ? 、 ? 表示三个不同的平面 若 ?m ， ?/n ，则 nm? ； 若 ? ， ? ，则 ?/ ； 若 ?/m ， ?/n ，则 nm/ ； 若 ?/ ， ?/ ， ?m ，则 ?m 正确 的命题是（ ） A . B . C . D . 6. 已知正四面体 ABCD 中， E 是 AB 的中点，则异面直线 CE BD与 所成 角的余弦值为（ ） 1.6A 3. 6B 1
3、.3C 3. 3D 7.两条平行直线 3 4 12 0xy? ? ? 与 8 11 0ax y? ? ? 之间的距离为（ ） 23.5A 23.10B . 7C 7.2D 第 8 题图 2 8.如右上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） . 20A ? . 24B ? . 28C ? . 32D ? 9.如右图，圆锥的底面直径 2?AB ，母线长 3?VA ，点 C 在母线长 VB 上，且 1?VC ，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 到点 C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ） 13.A 7.B 334.C233.D10.平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为
4、 1，球心 O 到平面 ? 的距离为 ，则球 O 的表面积为（ ） . 12 3A ? . 12B ? . 8C? . 4D? 11.如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， MN、 分别是 1BB 、 BC 的中点，则图中阴影部分在平面 11ADDA 上的投影为图中的（ ） A. B. C. D. 12.直线 4)2( ? xky 与曲线 241 xy ? 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是（ ） 43,125.(A ),125.( ?B 43,21.(C )125,0.(D 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 ) 13.如图，正方体 D
5、CBAABCD ? 中， 2AB? ，点 EF、 分别为 DA 、 DC 的中点，则线段 EF的长度等于 _ 第 11 题图 第 9 题图 3 第 13题图 第 14题图 14.如图所示， P 是三角形 ABC 所在平面外一点，平面 ? 平面 ABC ， ? 分别交线段PA PB PC、 、 于 A B C?、 、 ，若 34PA AA? ?： ： ，则 A B C ABCSS? ? ? ?： 15.已知直线 l 经过点 12P（ ， ） ，且与直线 23yx?平行，则该直线 l 方程为 16.设 P 点在圆 1)2( 22 ? yx 上 移动，点 Q 满足条件?14xxyyx，则 PQ 的最
6、大值是 . 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .) 17.（本小题满分 10分） 如右图，四棱锥 P ABCD? 的底面是正方形，侧棱 PA 底面 ABCD E， 是 PA 的中点 （）求证： PC BDE平 面 ； （）证明： BD CE? 18.（本小题满分 12分） 已知关于 xy， 的方程 C ： 22 2 4 0x y x y m? ? ? ? ? （ 1）若方程 C 表示圆，求 m 的取值范围； （ 2）若圆 C 与圆 22 8 1 2 3 6 0x y x y? ? ? ? ?外切，求 m 的值； 4 19.（本小题满分 12分
7、） 如图，已知面 11AABB 垂直于圆柱底面， AB 为底面直径， C 是底面圆周上异于 AB，的一点， 1 2AA AB? 求证： （ 1） 11AA C BA C?平 面 平 面； （ 2）求几何体 1A ABC? 的最大体积 V 20.（本小题满分 12分） 已知 ABC? 的三个顶点为 ( ) ( ) ( )3 0 2 1 2 3A B C?， ， ， ， ， D 为 BC 的中点 .求： (1)BC 所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的垂直平分线 DE 的方程 21.(本小题满分 12分 ) 如图，在四棱锥 P ABCD? 中， PA
8、ABCD? 平 面 ， E 为 PA 的中点， F 为 BC 的中点，底面 ABCD 是菱形，对角线 AC BD， 交于 O ， ? 120BAD ， 1.PA AD?求证： （ 1） 平面 /EFO PCD平 面 ； （ 2）求二面角 E FO B?的余弦值 . 5 22.(本小题满分 12分 ) 已知圆 2225C x y? ? ?： （ ） ，直线 1 2 0l m x y m m R? ? ? ? ?： ， （ 1）求证：对 mR? ，直线 l与圆 C 总有两个不同的交点 A 、 B ； （ 2）求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线； （ 3）是否存在实数 m ，
9、使得圆 C 上有四点到直线 l的距离为 455？若存在，求出 m 的范围；若不存在，说明理由 6 2017 2018 学年度第一学期高二期中考试 理科数学答案 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1.B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.B 7.D 8.C 9.B 10.B 11.A 12.A 二、填空题 (本大题共 4小题 ，每小题 5分，共 20 分 ) 13. 6 14. 9： 49 15.y=2x 16. 261? 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分 ) 17. （本小题满分 10 分） 证明：（）连结 AC 交 BD 于 O，连结 OE， 因为四边
10、形 ABCD是正方形，所以 O为 AC中点 （ 1分） 又因为 E是 PA的中点，所以 PC OE，（ 3分） 因为 PC?平面 BDE， OE?平面 BDE， （ 4分） 所以 PC平面 BDE（ 5分） （）因为四边形 ABCD是正方形，所以 BD AC（ 6分） 因为 PA底面 ABCD，且 BD?平面 ABCD， 所以 PA BD（ 8分） 又 AC PA=A， AC?平面 PAC， PA?平面 PAC，所以 BD平面 PAC（ 9分） 又 CE?平面 PAC， 所以 BD CE（ 10分） 18.（本小题满分 12分） 解：（ 1）把方程 C： x2+y2-2x-4y+m=0，配方得
11、：（ x-1） 2+（ y-2） 2=5-m， （ 3分） 若方程 C表示圆，则 5-m 0，解得 m 5； （ 5分） （ 2）把圆 x2+y2-8x-12y+36=0化为标准方程得：（ x-4） 2+（ y-6） 2=16， （ 7分） 得到圆心坐标（ 4， 6），半径为 4， （ 8分） 则两圆心间的距离 d= =5，（ 10分） 7 因为两圆的位置关系是外切，所以 d=R+r即 4+ =5，解得 m=4.（ 12分） 19.（本小题满分 12分） （ 1）证明：因为 C是底面圆周上异于 A， B的一点， AB是底面圆的直径， 所以 AC BC （ 1分） 因为 AA1平面 ABC， B
12、C?平面 ABC，所以 AA1 BC， （ 3分） 而 AC AA1=A，所以 BC平面 AA1C （ 5分） 又 BC?平面 BA1C，所以平面 AA1C平面 BA1C （ 6分） （ 2）解：在 Rt ABC 中，当 AB边上的高最大时，三角形 ABC面积最大， 此时 AC=BC.（ 7分） 此时几何体 1A ABC? 取得最大体积 .（ 8分） 则由 AB2=AC2+BC2且 AC=BC， 得 ，（ 10 分） 所以 （ 12 分） 20.（本小题满分 12分） 解： (1)因为直线 BC经过 B(2， 1)和 C(-2， 3)两点， 由两点式得 BC的方程为 y-1= (x-2)，（
13、2分） 即 x+2y-4=0 （ 4分） 8 (2)设 BC中点 D的坐标为 (x， y)，则 x= =0， y= =2 （ 6分） BC边的中线 AD过点 A(-3， 0)， D(0， 2)两点，由截距式得 AD所 在直线方程为 + =1，即 2x-3y+6=0 （ 8分） (3)BC的斜率 k1=- ，则 BC的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2，（ 10分） 由斜截式得直线 DE的方程为 y=2x+2 （ 12分） 21.（本小题满分 12分） 解：（ 1）因为菱形 ABCD，所以 O为 AC和 BD的中点 . 因为 E 为 PA 的中点， O为 AC的中点，所以 EO PC （ 1分）
14、 又 EO? 平面 PCD， PC?平面 PCD，所以 EO平面 PCD （ 2分） 因为 F为 BC 的中点， O为 BD的中点，所以 FO CD. （ 3分） 又 FO? 平面 PCD， PC?平面 PCD，所以 FO平面 PCD， （ 4分） 又 EO FO=O ， EO?平面 EFO， FO?平面 EFO（ 5分） 所以，平面 EFO平面 PCD （ 6分）（ 2） EA? 平面 ABCD，所以 EA? OF 过 A作 AM? FO交 FO的延长线于 M，连接 EM，所以 FO? 平面 AEM，所以 FO? EM， 所以 EMA为二面角 B-OF-E的平面角 （ 8分） 9 又 PA=AD=1，所以 AE= 2121 ?PA ， （ 9分） 设 FO 交 AC 于 Q ，又 ? 120BAD ，易知 OAQ? 为 等 边 三 角 形 ， 所 以433s in21 ? ?AM，
