1、 1 2016-2017 学年上期期中考试试卷 高二数学（理科） 时量： 120分钟 总分： 150 一选择题（ 每小题 5分， 共 60 分 ） 1在 ABC中， 60A? ? ， 2AB? ，且 ABC的面积 32ABCS? ?，则边 BC 的长为（ ） A 3 B 3 C 7 D 7 2 设命题 p ：对 xeRx x ln, ? ? ，则 p? 为（ ） A 00 ln, 0 xeRx x ? ? B xeRx x ln, ? ? C 00 ln, 0 xeRx x ? ? D xeRx x ln, ? ? 3. 已知 ,abc满足 c b a? 且 0ac? ，下列选项中 不一定 成
2、立的是（ ） （ A） ab ac? （ B） ? ? 0c b a? （ C） 22cb ab? （ D） ( ) 0ac a c? 4.当 x3时，不等式 11xax?恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) ? ? ? ? 77. , 3 . 3 , . , . ,22A B C D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 95 SS ? ，且 01?a ，则 nS 中最大的是 A S6B S7C S8D S96 2x2 5x 30的一个必要不充分条件是 ( ) A 12x3 B 12x0 C 3x12 D 1x6 7
3、.下列命题中，其中是假命题的是（ ） A“ ? 是函数 sinyx? 的一个周期”或“ 2? 是函数 cosyx? 的一个周期” B“ 0m? ”是“函数 ? ? ? ?2lo g 1f x m x x? ? ?不存在零点”的充分不必要条件 C“若 ab? ，则 2 2 1ab?”的否 命题 D“任意 ? ?0,a? ? ，函数 xya? 在定义域内单调递增”的否定 2 8.已知 ,xy满足约束条件 0,2,0.xyxyy?若 z ax y?的最大值为 4，则 a? ( ) A 2 B.3 C. 2? D. 3? 9数列 na 满足 122, 1,aa?并且 1111( 2 )n n n nn
4、 n n na a a a na a a a?则数列的第 100项为（ ） A10012B5012C 1100 D 150 10.已知命题 ,命题 ,若命题“ ” 是真命题 ,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 11 在 ABC? 中 ,角 ,ABC 所对边长分别为 ,abc,若 2 2 22a b c? ,则 cosC 的最小值为（ ） A 32 B 22 C 12 D 12? 12.定义在 ( ,0) (0, )? ? 上的函数 ()fx,如果对于任意给定的等比数列 na , ( )nfa 仍 是等比数列 ,则称 ()fx为 “ 保等比数列函数 ”. 现有 定义在 ( ,
5、0) (0, )? ? 上的 如下函数 : 2()f x x? ; ( ) 2xfx? ; ( ) | |f x x? ; ( ) ln| |f x x? . 则其中是 “ 保等比数列函数 ” 的 ()fx的序号为 （ ） A B C D 二、填空题 （ 每小题 5 分 ，共 20分 ） 13.若直线 1( 0, 0)xy abab? ? ? ?过点 (1,1) ，则 ab? 的最小值等于 14.在 ? ABC中， A = ?60 ， b=1，面积为 3 ，则 CBA cba sinsinsin ? ? 的值是 15 已知等比数列 ?na 的首项 ,11?a 公比 2?q 则 ? 112221
6、2 lo glo glo g aaa ?_ 3 16已知点 ? ?,Aab 与点 ? ?1,0B 在直线 3 4 10 0xy? ? ? 的两侧，给出下列说法： 3 4 10 0ab? ? ? ；当 0a? 时， ab? 有最小值，无最大值； 222ab?；当 0a?且 1, 0ab?时， 1ba? 的取值范围是 53,24? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其中所有正确说法的序号是_ 三解答题（共 70分） 17. （ 10 分） ABC? 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知2 c o s ( c o s c o s ) .C a
7、 B + b A c? （ 1）求 C； （ 2）若 7?c , ABC? 的面积为 332 ，求 ABC? 的周长 18.（ 12 分） 设 p ：实数 x 满足 224 3 0x ax a? ? ?， q ：实数 x 满足 31x? （ 1）若 1a? ，且 pq? 为 真，求实数 x 的取值范围； （ 2）若其中 0a? 且 p? 是 q? 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 19 (12 分 )设数列 an的前 n项和为 Sn， a1 1，且对任意正整数 n，点 (an 1， Sn)在直线 2x y 2 0上 (1)求数列 an的通项公式； (2)是否存在实数 ，使得数列 Sn
8、n 2n为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由； 4 20（ 12 分） 设函数 2( ) 1f x mx mx? ? ?. （ 1）若对一切实数 x ， ( ) 0fx? 恒成立，求 m 的取值范围 . （ 2）对于 1,3, ( ) 5x f x m? ? ? ?恒成立，求 m 的取值范围 . 21 （ 12 分）已知数列 na 的首项1 23a?，1 2 1nn naa a? ? ?， 1,2,3,n? ? （ 1）证明：数列 1 1na?是等比数列；（ 2）求数列 nna 的前 n 项和 nS 22 （ 12 分） 设 f（ x） =3ax2+2bx+c，若 a+b+c=
9、0， f（ 0） f（ 1） 0，求证： （ 1）方程 f（ x） =0有实根 （ 2） 若 2 1且 设 x1， x2是方程 f（ x） =0的两个实根，则 |x1 x2| 5 高二数学（理科） 时量： 120分钟 总分： 150 1.A 2.C 3.C 4.D 5.B 6.D 7.B 8.A 9.D 10.A 11.C 12.C 13.4 14. 3392 15. .55 16 由无界性可得 ab? 无最值； 命题 由点 ),( baA 在直线 01043 ? yx 的左上方，可得 222ab?； 解命题 主要抓住 1ba? 的几何意义再作图，从而可得只有 正确 17（ 10 分） 由已知
10、及正弦定理得， ? ?2 c o s C s in c o s s in c o s s in C? ? ? ? ? ?， 即 ? ?2 co s C sin sin C? ? ? ?故 2 sin C cos C sin C? 可得 1cosC 2? ，所以 C 3? （ II）由已知， 1 3 3sin C22ab ? 又 C 3? ，所以 6ab? 由已知及余弦定 理得， 22 2 cos C 7a b ab? ? ?故 2213ab?，从而 ? ?2 25ab? 所以 C? 的周长为 57? 18. （ 12分） （ 1）由 x2 4ax+3a2 0得（ x 3a）（ x a） 0 当
11、 a=1时， 1 x 3，即 p为真时实数 x的取值范围是 1 x 3 由 |x 3| 1，得 1 x 3 1，得 2 x 4即 q 为真时实数 x的取值范围是 2 x 4， 若 p q为真，则 p真且 q真 实数 x的取值范围是 2 x 3 （ 2）由 x2 4ax+3a2 0得（ x 3a）（ x a） 0， 若 p是 q的充分不必要条件，则 p? q，且 q? p， 设 A=x| p， B=x| q，则 A?B， 又 A=x| p=x|x a或 x 3a， B=x| q=x|x 4或 x 2，则 0 a 2，且 3a 4实数 a的取值范围是 19（ 12 分） (1)由 2an 1 Sn
12、 2 0 当 n2 时 2an Sn 1 2 0 2an 1 2an an 0 an 1an 12(n2) a1 1,2a2 a1 2?a2 12 an是首项为 1，公比为 12的等比数列， an (12)n 1. (2)Sn 2 12n 1 6 若 Sn n 2n为等差数列，则 S1 2， S2 2 22， S3 3 23成等差数列， 2(S2 2 22) S1 32 S3 258 =2,经检验知 Sn n 2n为等差数列 。 20（ 12 分） （ 1） 0m? 时，符合题意200 ( 4 , 0 )0 40mm mm? ? ? ? ? ? ?综上可知 ( 4,0m? （ 2） 21, 3
13、 , 6 0x m x m x m? ? ? ? ?恒成立，令 2( ) 6g x m x m x m? ? ? ? 0m? 时，符合题意 0m? 时，对称轴 12x? ，当 0m? 时，满足： (1) 0g ? 60mm? ? ? 当 0m? 时，满足： 6(3) 0 0 7gm? ? ? ? 综上可知： 6( , )7m? ? 21（ 12分） 解：（ 1） 1 2 1nn naa a? ? ?， ? 111 1 1 12 2 2nn n naa a a? ? ? ?， ? 11 1 11 ( 1)2nnaa? ? ? ?，又1 23a?， ?1111 2a ?， ?数列1 1na?是以为
14、12首项，12为公比的等比数列 ? 4分 （ 2）由（）知111 1 1 11 2 2 2nnna ? ? ? ? ?，即 1112nna ?， ? 2nnnnna ? 设231 2 32 2 2nT ? ? ? ? 2nn， 则231 1 22 2 2nT ? ? ?1122nn?， 由 ? 得21 1 12 2 2nT ? ? ?1 1 111(1 )1122 112 2 2 2 212nn n n n nn n n? ? ? ? ? ? ? ? ?， ?112 22n nnnT ? ? ?又 1 2 3? ? ? ? ( 1)2nnn ? ? ? 212 4 22 2 2 2 2n nn
15、n n n nS ? ? ? ? ? ? ? ? 22设 f（ x） =3ax2+2bx+c，若 a+b+c=0， f（ 0） f（ 1） 0，求证： （ 1）方程 f（ x） =0有实根 7 （ 2） 若 2 1且 设 x1， x2是方程 f（ x） =0的两个实根，则 |x1 x2| 【解答】 证明：（ 1）若 a=0，则 b= c， f（ 0） f（ 1） =c（ 3a+2b+c） = c2 0， 与已知矛盾，所以 a 0 方程 3ax2+2bx+c=0的判别式 =4（ b2 3ac）， 由条件 a+b+c=0，消去 b，得 =4（ a2+c2 ac） = 故方程 f（ x） =0 有实根 （ 2）由条件，知 ， ， 所以（ x1 x2） 2=（ x1+x2） 2 4x1x2= 因为 2 1所以 故
