1、 - 1 - 河北省永年县 2017-2018 学年高二数学上学期期中试题 理 一、选择题（每个小题只有一个正确选项，每题 5 分，共 60 分） 1命题“ ? x0 R,2x0 31”的否定是 ( ) A ? x0 R,2x0 3 1 B ? x R,2x 31 C ? x R,2x 3 1 D ? x0 R,2x0 31 2若 a1，那么下列命题中正确的是 ( ) A.1a1b B.ba1 C a20 的解集 （ 2）若对一切 x2，均有 x2 ax b (m 1)x m 5 成立，求实数 m 的取值范围 20 (12 分 ) 已知 a， b， c 分别是 ABC 的内角 A， B， C
2、所对的边，且 c 2， C 3. (1)若 ABC 的面积等于 3，求 a， b； (2)若 sin C sin(B A) 2sin 2A，求 A 的值 21、 (12 分 )在等比数列 an(n N*)中， a11，公比 q0，设 bn log2an，且 b1 b3 b5 6， b1b3b5 0。 (1)求 an的通项 an； (2)若 cn 1n(bn 6)， 求 cn的前 n 项和 Sn。 - 4 - 22、 (12 分 )在圆 x2 y2 4 上任取一点 P，过点 P 向 x 轴作垂线，垂足为 D。当点 P 在圆上运动时，动点 M 满足 PD 2MD，动点 M 形成的轨迹为曲线 C。
3、（ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A， B，且 OA OB 0，求直线 l 的斜率k 的取值范围 - 5 - 永年二中高二 期中考试数学试题答案 一、选择题（每个小题只有一个正确选项，每题 5 分，共 60 分） 1解析：选 C 由特称命题的否定的定义即知 2解析：选 D 利用特值法，令 a 2， b 2.则 1abc2不成立，故原命题为假命题由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题逆命题“设 a， b， c R，若 ac2bc2，则 ab”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有 2 个真命题，故选 C.
4、6 解析：选 D 依题意，结合正弦定理得 6a 4b 3c，设 3c 12k(k 0)，则有 a 2k， b3k， c 4k，由余弦定理得 cos B a2 c2 b22ac (2k)2 (4k)2 (3k)22 2k 4k 1116，故选 D. 7 解析： 选 C 等比数列 an的前 n 项和为 Sn，又 S4 2S2， a1 a2 a3 a4 2(a1 a2)， a3 a4 a1 a2， q2 1?|q| 1， “ |q| 1”是“ S4 2S2”的充要条件。 8解析 选 A 由题意可知， F1PF2是直角，且 tan PF1F2 2， |PF2|PF1| 2.又 |PF1| |PF2|
5、2a， |PF1| 2a3 ， |PF2| 4a3.根据勾股定理得 ? ?2a3 2 ? ?4a3 2 (2c)2，所以离心率 e ca 53 . 9 解析： 2a4， a6,48 成等差数列， 2a6 2a4 48， 2a1q5 2a1q3 48，又 q 2， a1 1， S8 1 (1 28)1 2 255.答案： B 10 解析： 作出不等式组? y 1，x y 2，3x y 14表示的区域如下图所示由 z ax y 得 y axz.当 a 0 时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出， a 1 时，线段 AC 上的所有点都是最优解；当 a 0 时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图
6、可看出，当 a 3 时，线段 BC 上的所 有点都是最优解故选 B. - 6 - 11 解析 设这条弦的两端点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，斜率为 k，则? x2136 y219 1，x2236y229 1，两式相减再变形，得x1 x236 ky1 y29 0。又弦中点为 (4,2)， k12。 这条弦所在的直线方程为 y 212(x 4)， 即 x 2y 8 0。故选 D。 12、 【解析】 由题意可知，数列 cn的前 n 项和 Sn n(c1 cn)2 ，前 2n 项和 S2n 2n(c1 c2n)2 ，所以 S2nSn2n(c1 c2n)2n(c1 cn)2 2 2nd4
7、 nd d 2 21 4 dnd，所以当 d 4 时， S2nSn为非零常数，则数列 cn是“和等比数列”，故 d 4。 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13 解析 由已知 an 1 an an 2， a1 1， a2 2，能够计算出 a3 1， a4 1， a5 2， a6 1， a7 1。 答案 1 14 解析 依题意得 |AB|2b2a 72， |F1F2| 2 16 7 6， ABF2的面积等于12|AB| |F1F2|1272 6212 。 15 设需租赁甲种设备 x 台，乙种设备 y 台， 则? 5x 6y 50，10x 20y 140，x N*，y N*.目标函数为 z
8、200x 300y. 作出其可行域，易知当 x 4， y 5 时， z 200x 300y 有最小值 2 300 元 16 解析： 由正弦定理得 (2 b)(a b) (c b)c，即 (a b)(a b) (c b)c，即 b2 c2a2 bc，所以 cosA b2 c2 a22bc 12，又 A (0， ) ，所以 A3.又 b2 c2 a2 bc 2bc 4，- 7 - 即 bc 4，故 S ABC 12bcsinA 12 4 32 3，当且仅当 b c 2 时，等号成立，则 ABC 面积的最大值为 3. 三、解答题（共 6 道题，共 70 分，写出必要的文字说明与演算步骤） 17 解
9、(1)由焦距是 4 可得 c 2，且焦点坐标为 (0， 2)， (0， 2)由椭圆的定义知 2a32（ 2 2） 2 32（ 2 2） 2 8，所以 a 4，所以 b2 a2 c2 12. 又焦点在 y 轴上，所以椭圆的标 准方程为 y216x212 1. （ 2）椭圆 9x2 4y2 36 可化为 x24y29 1，可知焦点在 y 轴上，焦点坐标为 (0， 5)，设所求椭圆方程为 y2a2x2b2 1(ab0)，则 c 5又 2b 2，即 b 1，所以 a2 b2 c2 6，所求椭圆标准方程为 x2 y26 1 18 解：由 y loga(x 1)在区间 ( 1， )上单调递减知 00，解之
10、得 a52 p 真对应集合 A a|052 由于 p q 真，即 p， q 中至少有一个为真命题 因此适合题数目要求的 a 的 取值集合是： A B ? a? ?052 19 解析 （ 1） 依题意，得方程 x2 ax b 0 的解集为 1,2.由根与系数的关系，得? a 1 2，b 1 2， 即 ? a 3b 2， 不等式 bx2 ax 10为 2x2 3x 10. 方程 2x2 3x 1 0的两根分别为 x1 12，x2 1， bx2 ax 10 的解集为 x|x1 (2)当 x2 时， x2 3x 2 (m 1)x m 5 恒成立，即 x2 4x 7 m(x 1) 对一切 x2，均有不等
11、式 x2 4x 7x 1 m 成立 而 x2 4x 7x 1 (x 1)4x 1 2 2 (x 1)4x 1 2 2(当且仅当 x 3 时等号成立 )， - 8 - 实数 m 的取值范围是 (， 2 20 解： (1) c 2， C 3 ， 由余弦定理得 4 a2 b2 2abcos 3 a2 b2 ab， ABC的面积等于 3， 12absin C 3， ab 4，联立? a2 b2 ab 4ab 4 ，解得 a 2， b 2. (2) sin C sin(B A) 2sin 2A， sin(B A) sin(B A) 4sin Acos A， sin Bcos A 2sin Acos A，
12、 当 cos A 0 时， A 2 ； 当 cos A 0 时， sin B 2sin A，由正弦定理得 b 2a， 联立? a2 b2 ab 4b 2a ，解得 a2 33 ， b4 33 ， b2 a2 c2， C 3 ， A6. 综上所述， A 2 或 A 6. 21 解析 (1)因为 b1 b3 b5 6，所以 log2a1 log2a3 log2a5 6，所以 log2(a1a3a5) 6，所以log2(a31q6) 6， 所以 log2(a1q2) 2，即 b3 2， a1q2 4 a3。因为 a11， 所以 b1 log2a10， 又因为 b1b3b5 0， 所以 b5 0 lo
13、g2a5， a5 1， 所以 a5a3 14 q2， 又 q0， ? a1q2 4，q2 14， 解得 ? a1 16，q 12。 所以 an 16 ?12n 1 25 n(n N*)。 (2)由 (1)知 an 25 n， 所以 bn 5 n(n N*)， 所以 cn 1n(5 n 6) 1n(n 1)， 所以 Sn ? ? ?1 12 ? ?12 13 ? ?13 14 ? ? ?1n 1n 1 ?1 1212131314?1n1n 1 ? ?1 1n 1 nn 1(n N*)。 22、 【解析】 (1)解法一：由 2 知点 M 为线段 PD 的中点，设点 M 的坐标是 (x， y)，则点
14、 P- 9 - 的坐标是 (x,2y)。因为点 P 在圆 x2 y2 4 上，所以 x2 (2y)2 4。所以曲线 C 的方程为 x24y2 1。 （ 2）显 然直线 x 0 不满足题设条件，故设直线 l： y kx 2， A(x1， y1)， B(x2， y2) 联立? y kx 2，x24 y2 1 消去 y 并整理，得 ?k2 14 x2 4kx 3 0， 所以 x1 x2 4kk2 14， x1x2 3k2 14 由 (4k)2 12? ?k2 14 4k2 30，得 k 32 或 k0， 所以 OA OB x1x2 y1y20 又 y1y2 (kx1 2)(kx2 2) k2x1x2 2k(x1 x2) 4 3k2k2 14 8k2k2 14 4 k2 1k2 14， 所以 3k2 14 k2 1k2 140， 即 k24， 所以 2k2 综合 ，得直线 l 的斜率 k 的取值范围为 2， 32 ? ?32 ， 2
