1、 - 1 - 2017 2018上期高二期中考试 数学试题 时间 120分钟 满分 150分 一、 选择题： (本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 ) 1数列 2 , 5 , 2 2 , 11 ,，的一个通项公式是 ( ) A 31nan? B 23nnan? C 2 1nan? D 141nna ? 2.下列命题中成立的是 ( ) A若 ab? ，则 22ac bc? B若 ab? ，则 22ab? C若 0ab?，则 22a ab b? D若 0ab?，则 11?ab3 设 ABC? 的内角 CBA ， 所对边的长分别为
2、 cba ， ，若 BbAa coscos ? ， 则 ABC? 的形状为 ( ) A 直角三角 形 B 等腰三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形 4、在ABC中，已知2 2 2 2a b c ab? ? ?，则 C=（ ） A 30 B 150 C 45 D 135 5数列 ? ,321 1,321 1,21 1,1 n? 的前 n 项和为 （ ） （ A） 1?nn （ B） 12?nn （ C） 14?nn （ D）)1(2 ?nn6若实数 x， y满足不等式组? x 3y 30 ，2x y 30 ，x y 10 ，则目标函数 z x y的最大值为 ( ) A 715
3、B.157 C 1 D. 9 7 设等差 数列 ?na 的 前 n 项的和为 nS ，若 392aa?， 则 11S = （ ） A 12 B 10 C 11 D 22 - 2 - 8. 在 ? ABC中， A = ?60 ， b=1，面积为 3 ，则 CBA cba sinsinsin ? ? 的值为（ ） A. 3392 B. 13 C. 13 D. 339 9.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯 （ ） A 1盏
4、 B 3盏 C 5盏 D 9盏 10、 等比数列 an满足 a1=3，1 3 5a a a?=21，则3 5 7a a a? ? ?( ) （ A） 21 （ B） 42 （ C） 63 （ D） 84 11一船自西向东匀速航行 ， 上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75 且距灯塔 68 海里的 M处 ， 下 午 2时到达这座灯塔东南方向的 N处 ， 则这只船的航行速度为 ( ) A. 34 6海里 /小时 B 17 62 海里 /小时 C.17 22 海里 /小时 D 34 2海里 /小时 12.若不等式 2 162 abxxba? ? ? 对任意 ? ? ,0,ba 恒成立，则实数
5、 x 的取值范围是 A. (20)?， B. ( 2) (0 )? ? ?， ， C. (42)?， D. ( 4) (2 )? ? ?， ， 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13 在数列 an中， a1 1， an 1 ( 1)n(an 1)，记 Sn为 an的前 n项和，则 S2 013 _ 14在 ABC 中， 内角 ,ABC 所 对的边分别是 ,abc，已知 60B?，不等式 0142 ? xx的解集为 | x a x c? ，则 b? ； 15.若正数 x ， y 满足 135xy?，则 43xy? 的最小值为 _ 16.已知 x ， y 满足 1 0,0
6、,3,xyxyx? ? ?则 22( 1) ( 2)xy? ? ? 的取值范围是 - 3 - 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 . 17、 （本小题满分 10分） 已知关于 x 的不等式 ( 1) 3 11axx? . （ ）当 1a? 时，解该不等式； （ ）当 0a? 时，解该不等式 . 18 （ 本小题满分 12分） 在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别是 ,abc，且满足 45oA? ， 3cos 5B? （ ） 求 sinC 的值； （ ） 设 5a? ，求 ABC 的面积 19.(本小题满分 12分 ) 某家具厂有方木料
7、90 米，五合板 600 米，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料 0.1 米，五合板 2 米，生产一个书橱需要方木料 0.2 米，五合板 1 米，出售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元如何安排生产可使所得利润最大？ 20、 (本小题满分 12分 ) 设 ?na 是公比不为 1的等比数列，其前项和为 nS ，且 5 3 4,a a a 成等差数列。 （ 1）求数列 ?na 的公比； （ 2）证明：对任意 * 21, , ,k k kk N S S S? 成等差数列。 21.（本小题满分 12分） 在 ABC中， a， b， c分别是角 A， B， C的
8、对边，且 cos Bcos C b2a c. （ 1） 求角 B的 大小； （ 2）若 1ac?，求实数 b的取值范围 22.（本小题满分 12分） 已知数列 ?na 中，其前 n 项和 nS 满足 22nnSa?（ *n?N ） （ 1） 求证：数列 ?na 为等比数列，并求 ?na 的通项公式； - 4 - （ 2） 设 ( 1)nnb n a? ? ? ， 求数列 nb 的前 n 项和 nT ； （ 3）设 42nnnca? （ *n?N ），试确定实数 ? 的取值范围，使得对任意 *n?N ，有nn cc ?1 恒成立 - 5 - 周口中英文学校 2017 2018 上期高二期中考试
9、数学 答案 一、选择： 每小题 5分，共 60分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C C B D C A B B B C 二、填空： 本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 . 13、 1005 1314、15、 5 16、 ? ?29,2 三、解 答题： 本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 . 17、 （本小题满分 10分） 解：原不等式可化为 ( 1) 3 101axx? ，即 2 01axx? ? ,等价于 ( 2)( 1) 0ax x? ? ? （ ）当 1a? 时，不等式等价于 ( 1)( 2) 0
10、xx? ? ?, 12x? 原不等式的解集为 |1 2xx? .? 4分 （ ） 原不等式等价于 ( 2)( 1) 0ax x? ? ?, 2( )( 1) 0a x xa? ? ? 0a? , 2( )( 1) 0xxa? ? ? 当 2 1a? ，即 02a?时，解集为 2 |1 xxa? 6分当 2 1a? ，即 2a? 时，解集为 ? ? 8分 当 21a? ，即 2a? 时，解集为 2 | 1xxa ? 10分18 （ 本小题满分 12分） （ ） 3cos ,5B? 4sin 5B? 2 2 7 2s i n s i n ( ) s i n ( 4 5 ) c o s s i n2
11、 2 1 0oC A B B B B? ? ? ? ? ? ? - 6 - (或： 2 2 7 2s i n s i n (1 3 5 ) c o s s i n2 2 1 0oC B B B? ? ? ? ?)? 6 分 （ ）法一： 由正弦定理得，45sin 5 42sin 22aBbA? ? ?， 1 1 7 2s in 5 4 2 1 42 2 1 0ABCS a b C? ? ? ? ? ? ? 12分法二： 由正弦定理得，725sin 10 7sin 22aCcA? ? ?， 1 1 4s in 5 7 1 42 2 5ABCS a c B? ? ? ? ? ? ?. 19.(本小
12、题满分 12分 ) 【解】设生产书桌 x 张，生产书橱 y 个，可获总利润 z 元，则 80 120z x y? .? 2分 由题设知： 0.1 0.2 902 6000,0,xyxyx x Ny y N? ? ? ?2 9002 6000,0,xyxyx x Ny y N? ? ? ? ? 6分 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域， 即可行域，如右图示 . ? 7分 作直线 : 80 120 0l x y?，即直线 2 3 0xy?. 把直线 l 向右上方平移 到 1l 的位置，直线 1l 经过可行域上的点 M ，此时 80 120z x y? 取得最大值 ? 9分 由 2 9
13、002 600xyxy? ?解得点 M 的坐标为 (100,400) ? 10分 当 100 , 400xy? 时， m a x 8 0 1 0 0 1 2 0 4 0 0 5 6 0 0 0z ? ? ? ? ?(元 ) ? 11分 因此安排生产 400 个书橱， 100 张书桌，可获利润最大为 56 000 元 ? 12 分 20、 (本小题满分 12分 ) （ 1）设数列 ?na 的公比为 ( 0, 1)q q q?，由 5 3 4,a a a 成等差数列， 得 3 5 42a a a?， - 7 - 即 2 4 31 1 12a q a q a q?，由 10, 0qa? 4分 得 2
14、+ 2 0qq?， 解得 122, 1qq? ? （舍去）， 所以 2q? ；? 6分 （ 2） ? ? ? ? ? ? ?3 2121 21 11kkk aaS ? ? 8分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?211211121 2121321 2121 21 ? ? ? ? kkkkkk aaaSS ? 10 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? kkkk Saa 22223222223 121 ? 即对任意 * 21, , ,k k kk N S S S? 成等差数列? 12 分 21.（本小题满分 12分） 解：（ 1）由正弦定理可得 2 s in , 2
15、 s in , 2 s ina R A b R B c R C? ? ?，代入已知得 co s sinco s 2 sin sinBBC A C? ? ?2 分 即 2 s in c o s s in c o s c o s s in 0A B C B C B? ? ? 即 2 sin c o s sin ( ) 0A B B C? ? ? A B C ? ? ? sin( ) sinB C A? 故 2 sin cos sin 0A B A?，即 sin (2 cos 1) 0AB? ?4 分 sin 0A? 1cos 2B? ， 又 ? ?0,B ? 23B ? ?6 分 （ 2）：因为
16、1ac?， 1cos 2B? ， 2 2 2 2 22 c o sb a c a c B a c a c? ? ? ? ? ? ?8 分 2()a c ac? ? ? 1ac? 21 2ac?34? ?10 分 32b? ， ?11 分 - 8 - 又 1b a c? ? ? 3 12 b? ，即 b 的取值范围为 3,12? ? ?12 分 22.（本小题满分 12分） 解：解：（ 1）当 1n? 时， 1122Sa?， 1 2a? ?1 分 因为 22nnSa? 当 2n? 时， 1122nnSa? 两式相减得 1122n n n n na S S a a? ? ? ? 即 12nnaa? ?3 分 数列 ?na 是以 1 2a? 为首项，公比为 2的等比数列 12 2 2nnna ? ? ? ?4 分 （ 2）由（ ）知 nn nb 2)1( ? ，它的前 n 项和为 nT 1 2 3 12 3 4 11 2 3 4 121111T 2 2 3 2 4 2 2 ( 1 ) 2 (1 )2T 2 2 3 2 4 2 2 ( 1 ) 2 ( 2)(1 ) ( 2) : T 2 2 2 2 2 2
