1、 1 2017-2018 学年高二上学期期中考试 数学试题（文科） 注意：本试卷包含 、 两卷。第 卷为选择题，所有答案必须用 2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第 卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。 一、选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分） 1. 在 ABC中， b=2， A= ， B= ，则 a的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列 an中， a1=1， q= ， an= ，则 n=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 不等 式 2的解集为（ ） A. -1， 0） B. -1， + ） C. （ - ，
2、 -1 D. （ - ， -1 （ 0， + ） 4. 设 a 0， b 0，若 a+b=1，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 1 D. 5. ABC中，角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c且 b2+c2-a2+bc=0，则 等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题 p： 1 x|（ x+2）（ x-3） 0，命题 q： ?=0，则下面判断正确的是（ ） A. p假 q真 B. “ p q” 为真 C. “ p q” 为真 D. “ q” 为假 7. 给出下列说法： 终边相同的角同一三角函数值相等； 在三角形中，若 sinA=sinB，则有 A=B； 不论是用
3、角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； 若 sin=sin ，则 与 的终边相同； 若 cos 0，则 是第二或第三象限的角 其中正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设 x， y满足 ，则 z=x+y（ ） A. 有最小值 2，最大值 3 B. 有最小值 2，无最大值 C. 有最 大值 3，无最小值 D. 既无最小值，也无最大值 9. 已知等比数列 an中， a5a7=6， a2+a10=5，则 等于（ ） A. B. C. D. 或 2 10. 不等式 2 的解集为（ ） A. -1， 0） B. -1， + ） C. （ - ， -1
4、D. （ - ， -1 （ 0， + ） 11. 设 A=x|2x2-px+q=0， B=x|6x2+（ p+2） x+5+q=0，若 A B= ，则 A B等于（ ） A. ， ， -4 B. ， -4 C. ， D. 12. 设 a b 0，则 a2+ + 的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0 分） 13. 已知 ABC中， a=2， A=60 ，则 ABC的外接圆直径为 _ 14. an=2n-1， Sn= _ 15. 汽车以每小时 50km的速度向东行驶，在 A处看到一个灯塔 M在北偏东 60 方向，行驶 1.2小时后，看
5、到这个灯塔在北偏东 15 方向，这时汽车与灯塔的距离为_ km 16. 已知两个等差数列 an， bn的前 n项和分别记为 Sn， Tn， = ，则= _ ， = _ 三、解答题（本大题共 6小题，共 72.0 分） 17. ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 bcosC+ccosB=2acosB （ 1）求角 B的大小； （ 2）若 ，求 ABC的面积 18. 已知数列 an的前 n项和为 Sn，且满足 an+2Sn?Sn-1=0（ n2 ）， a1= （ 1）求证： 是等差数列； （ 2）求 an的表达式 19. 设命题 p： ? x R， x2-2（ m-3）
6、x+1=0，命题 q： ? x R， x2-2（ m+5） x+3m+190 （ 1）若 p q为真命题，且 p q为假命题，求实数 m的取值范围 3 （ 2）若 p q为假命题，求实数 m的取值范围 20. 设 0 ，不等式 8x2-（ 8sin ） x+cos20 对任意 x R恒成立，求 的取值范围 21. 在 ABC中，设 = -1， = ，求角 A， B， C 22. 已知等差数列 an中， a1=1， an+1=2an+2n+1（ 2n+1），求数列 an的通项公式 4 答案和解析 【答案】 1. B 2. B 3. A 4. A 5. A 6. B 7. C 8. B 9. D
7、10. A 11. A 12. D 13. 14. n2 15. 30 16. ； 17. 解：（ 1） bcosC+ccosB =2acosB 由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosBsinA=2sinAcosB， sin A 0， ， 0 B ， ； （ 2） ， b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（ a+c） 2-3ac 即 13=16-3ac， 解得 ac=1， 18. （ 1）证明： -an=2SnSn-1， -Sn+Sn-1=2SnSn-1（ n2 ）， Sn0 （ n=1， 2， 3） - =2 又 = =2， 是以 2为首项， 2为
8、公差的等差数列 （ 2）解：由（ 1）， =2+（ n-1） ?2=2n， Sn= 当 n2 时， an=Sn-Sn-1= - =- 或 n2 时， an=-2SnSn-1=- ； 当 n=1时， S1=a1= an= 19. 解：若命题 p： ? x R， x2-2（ m-3） x+1=0 为真命题 ， 则 =4 （ m-3） 2-40 ， 解得： m （ - ， 24 ， + ）； 若命题 q： ? x R， x2-2（ m+5） x+3m+190 则 =4 （ m+5） 2-4（ 3m+19） 0， 解得： m （ -6， -1）， （ 1）若 p q为真命题，且 p q为假命题， 则命
9、题 p， q一真一假， 5 当 p真 q假时， m （ - ， 24 ， + ），且 m （ - ， -6 -1， + ） 即 m （ - ， -6 -1， 24 ， + ）， 当 p假 q真时， m （ 2， 4），且 m （ -6， -1），此时不存在满足条件的 m值； 综上可得： m （ - ， -6 -1， 24 ， + ） ? （ 6分） （ 2）若 p q为假命题，则命题 p， q至少有一个假命题， 若命题 p， q全为假，则 m （ 2， 4），且 m （ - ， -6 -1， + ） 即 m （ 2， 4）， 结合（ 1）的结论可得： 此时 m （ - ， -6 -1， + ）
10、 ? （ 9分） 20. 解：由题意：不等式 8x2-（ 8sin ） x+cos20 对任意 x R恒成立， 由二次函数的性质可得： 0 ， 即：（ 8sin ） 2-48cos20 整理得： 4sin21 ， 0 ， 或 所以 的取值范围是 0， ， 21. （本题满分为 14 分） 解： 由 ，得： ， ? （ 3分） 整理解得： ? （ 6分） ， 或 ? （ 12分） A+C= ，或 3C-A= ， 当 A+C= 时，由于 A+C= ，矛盾， 可得： 3C-A= ，结合 A+C= ，可得： C= ， A= ? （ 14 分） 22. 解： an+1=2an+2n+1（ 2n+1），
11、两边同除 2n+1可得： - =2n+1， = + +? + + =（ 2n-1） +（ 2n-3） +? +3+ = + =n2- an=n2?2n-2n-1 【解析】 6 1. 解： b=2， A= ， B= ， 由正弦定理可得： a= = = 故选： B 由已知利用正弦定理即可解得 a的值 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 2. 解： an= = ，解得 n=6 故选： B 利用等比数列的通项公式即可得出 本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 3. 解： ? ? ? ?1 x 0 故选 A 本为基的分式等，利用穿根法解即可
12、，也可特值法 本题考查单分式等式解，属基本题在题中， 要意等号 4. 解： a 0， b 0， a+b=1， =（ a+b） =2+ =4，当且仅当 a=b= 时取等号 故选 A 利用 “ 乘 1法 ” 和基本不等式的性质即可得出 熟练掌握 “ 乘 1法 ” 和基本不等式的性质是解题的关键 5. 解： ABC中， b2+c2=a2-bc 根据余弦定理，得 cosA= =- A （ 0， ）， A= 由正弦定理，得 ， = = sin （ -C） -sinC= cosC- sinC-sinC= （ cosC- sinC） 原式 = = 故选： A 根据题中等式，结合余弦定理算出 A= ，再由正弦
13、定理将 化简为 由sinB=sin（ A+C）和 A= ，将分子、分母展开化简、约去公因式，即可得到 的值 本题给出三角形边之间的平方关系，求角 A的大小并求关于边与角的三角函数关系式的值，着重考查了两角和与差的正弦公式和用正、余弦定理解三角形等知识，属于中档题 7 6. 解：解（ x+2）（ x-3） 0得： x （ -2， 3）； 故命题 p： 1 x|（ x+2）（ x-3） 0为真命题； 命题 q： ?=0为假命题； 故 p假 q真，错误； “ p q” 为真，正确； “ p q” 为真，错误； “ q” 为真，错误； 故选： B 解二次不等式，可判断命题 p的真假，根据空集的定义，可
14、判断命题 q的真假，最后结合复合命题真假判断的真值表，可得答案 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次不等式的解法，集合的相关概念，属于基础题 7. 解： 由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确 在三角形中，若 sinA=sinB，则有 A=B，故正确； 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确， 若 sin=sin ，则 与 的终边相 同或终边关于 y轴对称，故不正确 若 cos 0，则 是第二或第三象限角或 的终边落在 x轴的非正半轴上，故不正确 其中正确的个数为 3个， 故选： C 由任意角的三角函数的定义，三角函数值
15、与象限角的关系，即可得出结论 本题综合考查了象限角与象限界角、弧度制与角度制、三角函数值与象限角的关系等基础知识，属于基础题 8. 解析：如图作出不等式组表示 的可行域，如下图所示： 由于 z=x+y的斜率大于 2x+y=4的斜率， 因此当 z=x+y过点（ 2， 0）时， z有最小值， 但 z 没有最大值 故选 B 本题考查的 知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数 z=x+y及直线 2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论 目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是： 将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式 分析 Z与截距的关系，是符号相同，还是相反 根据分析结果，结合图形做出结论 根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案 8 9. 解： a2a10=6， a2+a10=5， a2和 a10是方程 x2-5x+6=0的两根，求得 a2=2， a10=3 或 a2=3， a10=2 q8= = 或 =q8= 或 故选 D 首先根据等比数列的性质得出 a5a7=a2a10根据题设可推断 a2和 a10是方程 x2-5x+6=0的两根，求得 a2和 a10，进而求得 q8代入 答案可得
