1、 1 大石桥市 2016-2017 学年度上学期期中考试 高二数学（ 理 科） 试卷 时间： 120 分钟 满分： 150 分 第卷（选择题共 60 分） 一、选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 60 分） 1、若 cba ? ， 0? cba ，则（ ） A、 acab? B、 bcac? C、 bcab? D、 22 cb ? 2、 已知向量 )3,1,2( ?a ， ),2,4( xb ? ，若 ba/ ，则 ?x （ ） A、 6 B、 310 C、 -6 D、 0 3、设 1?a ，则关于 x 的不等式
2、 0)1)( ? axaxa 的解集为（ ） A、 ),1(),( ? aa ? B、 ),( ?a C、 ),()1,( ? aa ? D、 )1,( a? 4、若实数 yx, 满足?2001yxyx ，则12 ? yxz 的最大值 为（ ） A、 2 B、 3 C、 4 D、 5 5、命题“ ? Nn ， ?Nnf )( 且 nnf ?)( ”的否定形式是（ ） A、 ? Nn ， ?Nnf )( 且 nnf ?)( B、 ? Nn ， ?Nnf )( 或 nnf ?)( C、 ? Nn0 ， ?Nnf )( 0 且 00)( nnf ? D、 ? Nn0 ， ?Nnf )( 0 或 00
3、)( nnf ? 6、已知 p ： 21241 ? x ， q ： 2,251 ? xx ，则下列说法正确的是（ ） A、 p 是 q 的充要条件 B、 p 是 q 的充分不必 要条件 C、 p 是 q 的必要不充分条件 D、 p 是 q 的既不充分也不必要条件 7、已知 ? 是任意实数，则方程 4sin22 ? ?yx 的曲线不可能是（ ） 2 A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆 8、已知抛物线 xy 22? 的焦点为 F ，定点 )2,3(A ，在此抛物线上求一点 P ，使 PFPA? 最小，则 P 点坐标为（ ） A、 )2,2(? B、 )2,1( C、 )2,1( ? D、 )
4、2,2( 9、 已知空间四边形 ABCD 中， caAB 2? ， cbaCD 865 ? ， 对角线 AC ， BD 的中点分别为 E ， F ，则 ?EF （ ） A、 cba 533 ? B、 cba 533 ? C、 cba 523 ? D、 cba 533 ? 10、 如果正数 dcba , 满足 4? cdba ，那么 （ ） A、 dcab ? ，且等号成立时， dcba , 的取值唯一； B、 dcab ? ，且等号成立时， dcba , 的取值唯一； C、 dcab ? ，且等 号成立时， dcba , 的取值不唯一； D、 dcab ? ，且等号成立时， dcba , 的取
5、值不唯一 . 11、 抛物线 21 21: xpyC ? )0( ?p的焦点与双曲线 13: 222 ? yxC的右焦点的连线交 1C 于第一象限的点 M ，若 1C 在点 M 处的切线平行于 2C 的一条渐近线，则 ?p （ ） A、 163 B、 83 C、 332 D、 334 12、 已知点 )2,1(A 在曲线 xyC 4: 2 ? 上，过点 A 作曲线 C 的两条动弦 AD 、 AE ，且 AD 、 AE 的斜率分别为 ADk 、 AEk ，满足 2? AEAD kk ，则直线 DE 过定点（ ） A、 )2,1( B、 )2,1( ? C、 )2,1( 或 )2,1( ? D、
6、)2,1(? 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：请把 答案填在题中横线上（每小题 5 分，共 20 分） . 13、设 p ： 112 ?x ， q ： 0)1()( ? axax ，若 q 是 p 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 _. 3 14 、 设 1e ， 2e 是 空 间 中 两 个 不 共 线 的 向 量 ， 已 知212 ekeAB ? ， 21 3eeCB ? ， 212 eeCD ? ，且 A 、 B 、 D 三点共线，则 k 的值是 . 15 、 如 图 ， 已 知 在 正 四 面 体 ABCD 中， ABAE 41? ，CDCF 41? ，则直线 D
7、E 和 BF 所 成 角 的 余 弦 值为 . 16、 已知椭圆 1:2222 ? byaxC )0( ?ba 的左右焦点分别为 1F 、 2F ，点 P 是椭圆上异于长轴端点的任意一点 ，若 M 是线段 1PF 上一点，且满足 PMMF 21 ? ， 02 ?OPMF ，则椭圆 的离心率的取值范围是 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证 (17-21 每题 12 分， 22 题 10 分， 共 70 分 ) 17、已知 p ：对任意实数 x 都有 012 ?axax 恒成立 ； q ： 02082 ? aa . 如果 qp? 为真命题， qp? 为假命题，求实数 a 的取值范围 18、已知
8、不等式 0232 ? xax 的解集为 ),()1,( ? b? （ 1）求 a ， b 的值； （ 2）解关于 x 的不等式 04)(2 ? cxcabx 19、已知实数 x ， y 满足?033042022yxyxyx （ 1）求 22 yxz ? 的最大值和最小值； （ 2）求 11?xyt 的最大值和最小值 20、 在如图所示的多面体中， AEBEF 平面? ，EBAE? ， EFAD/ ， BCEF/ ， 42 ? ADBC ，3?EF ， 2?BEAE ， G 是 BC 的中点 . （ 1）求证： DEGAB 平面/ ； 4 （ 2）求二面角 EDFC ? 的余弦值 . 21、已知
9、点 )2,0( ?A ，椭圆 E： )0(12222 ? babyax 的离心率为 23 ， F 是椭圆的焦点，直线 AF的斜率为 332 ， O 为坐标原点 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）设过点 A 的直线 l 与椭圆 E 相交于 P， Q 两点，当 OPQ? 的面积最大时，求直线 l 的方程 22、已知函数 aaxxf ? 2)( （ 1）当 2?a 时，求不等式 6)( ?xf 的解集； （ 2）设函数 12)( ? xxg ，当 Rx? 时， 3)()( ? xgxf ，求实数 a 的取值范围 5 期中考试数学（理）参考答案 一、选择题 1-5： ACADD 6-10： BCD
10、DA 11-12： DB 二、填空题 13、 ? ? ? ,221, ?14、 -8 15、 134 16、 )1,21( 三、解答题 17、解： p ： 012 ?axax 对任意实数 x 恒成立， 当 0?a 时，不等式恒成立，满足题意； 当 0?a 时，则有? ? ? 0402 aaa，解得 40 ?a ， 40 ? a q ： 02082 ? aa ，解得 210 ? a ， ? qp? 为真命题 ， qp? 为假命题， ? ? ? 210 40 aa a或或? ? 210 40 aaa 或 故 a 的取值范围是 )4,2)0,10( ? . 18、解：（ 1） ?不等式 0232 ?
11、 xax 的解集为 ),()1,( ? b? ， ?1 和 b 是一元二次方程 0232 ? xax 的根 则有?baba1213 ，解得?21ba（ 2）由（ 1）知， 04)(2 ? cxcabx 即为 04)22(2 ? cxcx 0)2)(2( ? cxx 当 22?c 即 1?c 时，不等式的解集为 ),2()2,( ? ?c ； 6 当 22?c 即 1?c 时，不等式的解集为 ? ?2?xx ； 当 22?c 即 1?c 时，不等式的解集为 ),2()2,( ? c? . 19、解： (1) 2222 )0()0( ? yxyx z? 表示的是可行域内的动点 ),( yxM 到原
12、点距离的平方，可知当点 M 在边 AC 上滑动，且 ACOM? 时，z 取得最小值，于是 54min ?z .由? ? ? 033 042yx yx，得)3,2(B .当点 M 滑到与点 B 重合时， z 取得最大 值，即13max ?z . (2) 由? ? ? 033 022 yx yx，得 )0,1(A ，同理， C 点坐标为 )2,0( . )1( )1(11 ? ? xyxyt是可行域内的动点 ),( yxM 与定点 )1,1( ?P 连线的斜率，如图所示，过定点 P的 动直线 l 扫过可行域 ABC? 时，可以看到直线 PA 的斜率最小，直线 PC 的斜率最大 . 21?PAk，3
13、?PCk . ?t 的最大值为 3，最小值为 21 . 20、（ 1）证明： EFAD/? ， BCEF/ ， BCAD/? . 又 ADBC 2? ， G 是 BC 的中点， BGAD/? 且 BGAD? ， ?四边形 ADGB 是平行四边形， DGAB/? . D E GDGD E GAB 平面平面 ? ,? ， DEGAB 平面/? . (2)建立空间直角坐标系，如图所示， 则 )2,0,0(A )0,0,0(E )0,0,2(B )0,4,2(C )0,3,0(F )2,2,0(D . 易得 )0,0,2(?EB 是平面 EFDA 的一个法向量 . 设平面 DCF 的法向量为 ),(
14、zyxn? ，易得 )2,1,0( ?FD ， )0,1,2(?FC ， 7 由? ? 00nFC nFD，得? ? ? 02 02yx zy，令 1?z ，得 )1,2,1(?n . 设二面角 EDFC ? 的大小为 ? ，可知 ? 为钝角， 6662 2,c o sc o s ? EBn?， ?二面角 EDFC ? 的余弦值为 66? . 21、解：（ 1） 14 22 ?yx （ 2）由题可知，直线 l 的斜率存 在，故设 l ： 2?kxy ， ),( 11 yxP ， ),( 22 yxQ 将 2?kxy 代人 14 22 ?yx 中整理得 01216)41( 22 ? kxxk 当
15、 0)34(16 2 ? k 即 432?k 时， 14 16221 ? k kxx ， 14 12221 ? kxx 从而 ? 2121 xxkPQ 14 34144)(1222212212 ? ? k kkxxxxk 点 O 到直线 PQ 的距离122 ? kd， 所以 POQ? 的面积 ? PQdS POQ 21 14 344 22?kk ， 设 tk ?34 2 ，则 0?t ，ttttPQdSP O Q 4444212 ?， 44?tt ，当且仅当 2?t ，即 27?k 时等号成立，且满足 0? 所以，当 POQ? 的面积最大 时， l 的方程为 227 ? xy 或 227 ? xy 22、解：（ 1） 3,1? 8 （ 2）不等式 3)()( ? xgxf 可化为 aaxx ? 3212 ， 即23221 aaxx ?， 当 3?a 时，原不等式成立 当 3?a 时，由绝对值三角不等式可得 121221 ? aaxx， 023121 ? aa ， 平方得 22 )3()1( aa ? ， 解得 32 ?a ， 实数 a 的取值范围是 ),2 ?
