1、 - 1 - 2017 2018 学年度第一学期期中考试 高二 数学（文） 试题 2017.11 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线 013 ? yx 的倾斜角为 A.3? B. 6? C. 32? D. 65? 2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 四面体 D. 三棱锥 3.若直线 032 ? ayax 与直线 07)1(3 ? ayax 平行，则实数 a = A. 3 B. 2? C. 2? 或 3 D. 3? 或 2 4.将一个直角边长为 1的等腰直角三
2、角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为 A. ?4 B. ?22 C. ?2 D. ?2 5.已知 ml, 表示两条不同的直线， ?, 表示两个不同的平面，则下列说法正确的是 A. 若 l m ， ?m ，则 l ? B.若 ? ， ?l ，则 l ? C. 若 ml? ， ?m ，则 l ? D. 若 ?l ， l ? ，则 ? 6. 如图是三棱锥 ABCD? 的三视图，则该三棱锥的外接球体积为 A. 29? B. ?33 C. 26? D 32? 7. 已知 BA, 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2 ，且 PBPA? ，若直线 PA 的方程为01?yx ，则直线 PB
3、的方程是 A. 072 ? yx B. 05?yx C. 042 ?xy D. 012 ?yx 8. 设直线 axy 2? 与圆 022: 22 ? ayyxC 相交于 BA, 两点，若 32?AB ，则圆1 2 2 A B C A B D A C D 正视图 侧视图 俯视图 - 2 - C 的面积为 A. ? B. ?2 C. ?4 D. ?6 9. 从动点 ( ,2)Pa 向圆 22: ( 1) ( 1) 1C x y? ? ? ?作切线，则切线长的最小值为 A. 2 B 22 C. 3 D. 10 10. 在直三棱柱 111 CBAABC ? 中， BAACBCAC 11, ? ， NM
4、, 分别为 ABBA ,11 的中点 .给出下列结论： ?MC1 平面 11ABBA ； AMBA ?1 ；平面 1AMC 平面 1CNB .其中正确结论的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 若直线 4)2( ? xky 与曲线 241 xy ? 有两个交点，则实数 k 的取值范围是 A. )125,0( B. 43,31( C. 43,125( D. ),125( ? 12. 在 ABC? 中， 009 0 , 3 0 , 1C B A C? ? ? ? ?， M 为 AB 的中点，将 ACM? 沿 CM 折起，使 ,AB间的距离为 2 ，则 C 到平面 ABM 的距离为
5、 A. 12B 22C. 1 D. 32 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分） 13已知圆 01682: 221 ? yxyxC ，圆 0144: 222 ? yxyxC ，则圆 1C 与圆 2C 的公切线条数是 14. 已知在直三棱柱 111 CBAABC ? 中， 1,2,90 10 ? BCACAAA C B ，则异面直线BA1 与 AC 所成角的余弦值是 15. 若 ABC? 的一个顶点是 )1,3( ?A ， CB?, 的角平分线方 程分别为 xyx ? ,0 ，则 BC边所在的直线方程为 16.已知空间四边形 ABCD 中，对角线 8,6 ? BDAC ，则空
6、间四边形 ABCD 中平行于 AC和 BD 的截面四边形的周长的取值范围是 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分）求过点 )1,1(),1,1( ? BA ，且圆心在直线 02?yx 上的圆的方程 . - 3 - 18 （本小题满分 12分） 如图 ，在直三棱柱 111 CBAABC ? 中， ,BCAB? FE, 分别是BCCA ,11 的中点 （ 1）求证： ?AB 平面 11BCCB ； （ 2）求证： FC1 平面 ABE . 19. （本小题满分 12 分） 已知圆 4)4()3(: 22 ? yxC 和直线
7、 034: ? kykxl （ 1） 求证 :不论 k 取什么值 ,直线 l 和圆 C总相交 ; （ 2）求直线 l 被圆 C截得的最短弦长及此时的直线方程 . 20 （本小题满分 12 分） 如图 ，在四棱锥 ABCDP? 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 ?PAD底面 ABCD ，且 ADPDPA 22? ，设 GFE , 分别为 DCBDPC , 的中点 . （ 1）求证：平面 EFG 平面 PAD ； （ 2）求证：平面 ?PAB 平面 PDC . 21 （本小题满分 12分）如图，已知长方形 ABCD 中， 2,22 ? ADAB ,M 为 DC 的中点，将 ADM? 沿 AM 折
8、起，使得平面 ?ADM 平面 ABCM . A B C A1 B1 C1 E F A B C D M B A C M E D P A B C D E F G - 4 - （ 1） 求证： BMAD? ； （ 2）若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，三棱锥 ADME? 的体积与四棱锥ABCMD? 的体积之比为 3:1 ？并说明理由 . 22 （本小题满分 12 分）已知 )0,6(),0,1(),0,2( QBA ? ，若动点 ),( yxP ? 满足 PBPA 2? ，设线段 PQ 的中点为 M （ 1）求点 M 的轨迹方程； （ 2）设直线 1?kxy 与点 M 的轨迹
9、交于不同的两点 ),(),( 2211 yxDyxC ，且满足 221 1 1kxx ?，求直线 l 的方程 . 2017 2018学年度第一学期期中考试 高二 数学（文）答案 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B A C D A B C B D C B 二、填空题： 13. 4 14. 66 15. 052 ?yx 16. )16,12( 三、解答题： 17.解 :由已知得线段 AB 的中点坐标为 )0,0( ， - 5 - 所以 111 )1(1 ? ?ABk所以弦 AB 的垂直平分线的斜率为 1?k ， 所以 AB 的垂直平分线方程为 xy? 4分
10、又 圆心在直线 02?yx 上， 所以? ? ? 02yx xy解得?11yx即圆心为 )1,1( 圆的半径为 2)1(1)11( 22 ?r 所以圆的方程为 4)1()1( 22 ? yx 10分 18（ 1）证明：因为 在直三棱柱 111 CBAABC ? 中， ?BB1 底面 ABC 所以 BBAB 1? .2分 又因为 BCAB? ， BBBBC ? 1 所以 ?AB 平面 11BCCB 5分 （ 2）取 AB 的中点 D ，因为 F 为 BC 的中点， 所以 DF AC ，且 ACDF 21? 6 分 因为 E 为 11CA 的中点， AC 11CA ，且 11CAAC? 所以 DF
11、 1EC ，且 1ECDF? ，所以四边形 EDFC1 为平行四边形 所以 FC1 DE .10分 又因为 FC1 ? 平面 ABE ， DE ? 平面 ABE 所以 FC1 平面 ABE 12 分 19. 解 :(1)证明 :由直线 l 的方程可得 , )4(3 ? xky ,则直线 l 恒通过点 )3,4( ,把 )3,4( 代入圆的 C 方程 ,得 42)43()34( 22 ? , 所以点 )3,4( 在圆 C 的内部 ,又因为直线 l 恒过点 )3,4( , 所以直线 l 与圆 C 总相交 6 分 A B C A1 B1 C1 E F D - 6 - (2)设定点为 )3,4(A ，
12、由题可知当直线 l 与 CA 直线垂直时，直线 l 被圆 C 截得的弦长最短， 因为 143 34 ?CAk，所以直线 l 的斜率为 1?k 所以直线 l 的方程为 43 ? xy ，即 01?yx 1 0分 设圆心 )4,3(C 到直线 l 距离为 d ，则 22 143 ?d所以直线 l 被圆 C 截得最短的弦长为 22)2(42 2 ? 12 分 20.证明：（ 1）因为 GFE , 分别为 DCBDPC , 的中点， 所以 EG PD ， FG BC 因为 BC AD ，所以 FG AD 因为 ?EG 平面 PAD ， ?FG 平面 PAD ?PD 平面 PAD ， ?AD 平面 PA
13、D ， 所以 EG 平面 PAD ， FG 平面 PAD 又 GFGEG ? ，且 ?FGEG, 平面 EFG 所以 平面 EFG 平面 PAD 6分 （ 2）因为 平面 ?PAD 底面 ABCD ，平面 ?PAD 底面 ADABCD? 四边形 ABCD 是正方形， ADCD? ， ?CD 平面 ABCD 所以 ?CD 平面 PAD ,所以 PACD? 8 分 又因为 ADPDPA 22? ，所以 22222 )2 2()2 2( ADADADPDPA ? ， 即 PDPA? 又 DPDCD ? ，且 ?PDCD, 平面 PDC 10 分 所以 ?PA 平面 PDC ，又 ?PA 平面 PAB
14、 所以 平面 ?PAB 平面 PDC 12 分 21. （ 1）证明： 因为长方形 ABCD 中， MADAB ,2,22 ? 为 DC 的中点， 所以 2? BMAM ，所以 AMBM? 2分 因为平面 ?ADM 平面 ABCM ，平 面 ?ADM 平面 AMABCM ? ， 且 ?BM 平面 ABCM P A B C D E F G - 7 - 所以 ?BM 平面 ADM ，因为 ?AD 平面 ADM 所以 BMAD? 6 分 （ 2） E 为 DB 的中点 . 因为 322 )222(,222221 ? A B C MABM SS， 所以ABCMDABMD VV ? ? 32，即ABC
15、MDABMD VV ? ? 3121因为由题得ABCMDADME VV ? ? 31所以ABMDADME VV ? ? 21，因为 ADMBABMD VV ? ? 所以ADMBADME VV ? ? 21设点 E 到平面 ADM 的距离为 1h ，点 B 到平面 ADM 的距离为 2h 所以21 312131 hShS A D MA D M ? ?所以21 21hh ?所以点 E 为线段 DB 的中点 . .12分 22. 解 (1)因为 )0,1(),0,2( BA ? ， ),( yxP ? ，且 PBPA 2? 所以 2222 )1(2)2( yxyx ? ， 化简得 0422 ? xy
16、x ，即 4)2( 22 ? yx 设 ),( yxM ，由中点坐标公式得?226yyxx，即? ? ? yy xx 2 62 将代入得： 4)2()82( 22 ? yx 所以点 M 的轨迹方程为 1)4( 22 ? yx 5分 （ 2）由? ? ? 1)4( 122 yx kxy消去 y 得 1)1()4( 22 ? kxx 整理得 016)4(2)1( 22 ? xkxk 所以221221 1 16,1 )4(2 kxxk kxx ? ?B A C M E D - 8 - 由已知221 1 1kxx ?得2221221 )1( 14)( kxxxx ?所以222222)1( 11 164)1( )4(4 kkk k ? ?即 1)1(64)4(4 22 ? kk ，即 013260 2 ? kk 所以 301,2121 ? kk所以直线 l 的方程为 121 ? xy 或 1301 ? xy 即 012 ? yx 或 03030 ? yx 12 分
