1、 - 1 - 2017-2018 学年第一学期期中考试 高二数学试卷 时间： 120分钟 满分： 160分 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在 答题纸相应位置 上 1.抛物线 2 4xy? 的焦点坐标是 2.在空间内，如果两条直线 a和 b没有公共点，那么 a与 b的位置关系是 . 3.椭圆 2214xym?的一条准线方程为 my? ，则 ?m _ 4.命题“ 2, 1 0x R x x? ? ? ? ?”的否定是 . 5.在 平面直角坐标系 xOy 中，已知 y= 3x 是双曲线 x2a2y2b2=1（ a0,b0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离
2、心率为 6.已知圆锥的底面半径为 3，体积是 12? ，则圆锥侧面积等于 . 7. 已知 ， 表示两个不同的平面， m为平面 内的一条直线，则“ ”是“ m ”的 条件 . (请在 “ 充要、充分不 必要、必要不充分、既不充分也不必要 ” 中选择一 个填 空 ). 8.过椭圆 2 2 13x y?的右焦点 F作倾斜角为 4? 的直线交椭圆与 A,B两点，则线段 AB= 9.方程 22115xykk?+ 表示双曲线的充要条件是 k? . 10.一块边长为 10cm的正方形铁片按如图 (1)所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰 三角形作侧面，以它们的公共顶点 P为顶点，加工成一个如图 (
3、2)所示的正四棱锥容器，则当 x=6cm时，该容器的容积为 cm3. 图 (1) 图 (2) 11. 已知命题 :p “ 若 ba? ，则 | ba? ” ，则命题 p 及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是 12.椭圆 12222 ?byax ( 0?ba )的左焦点为 F,直线 mx? 与椭圆相交- 2 - 于 A,B 两点 ,若 FAB? 的周长最大时 , FAB? 的面积为 bc ,则椭圆的离 心率为 . 13、 （文科选做） 如图，在棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E、 F分别 是棱 BC， CC1的中点， P是侧面 BCC1B1内一点，若 A1P 平
4、面 AEF，则线段 A1P长度 的取值范围是 。 （理科选做） 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ， 点 E为 BB1的中点 ， 则平面 A1ED与平面 ABCD所成的锐二面角 的余弦值为 14. 某运动 队对 , , ,ABC D 四 位运动 员 进行选拔，只 选 一人 参 加比 赛， 在选拔结 果公布 前，甲 、乙、 丙 、 丁四 位教练对这 四 位 运动员预测 如下 ：甲说： “ 是 C 或 D 参加比赛 ” ； 乙说： “ 是 B 参加比赛 ” ；丙说： “ 是 ,AD都未参加比赛 ” ；丁说： “ 是 C 参加比赛 ”. 若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是
5、 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请 在 答题纸指定区域 内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算 步骤 15.（满分 14分） 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ， E、 F分别是 CD、 A1D1中点 (1)求证： AB1BF ； （ 2）若正方体的棱长为 1，求 EABFV? 16.（满分 14分） 设 :p 实数x满足4a x a?，其中0?； :q 实数 满足25x （ 1）若 1a? ，且 pq? 为真，求实数 x 的取值范围； （ 2） 若 p 是 q 的必要不充分条件 ，求实数 a 的取值范围 17. （满分 14分） 如图 ,在四棱锥 P ABCD? 中
6、 , 平面 PAB ? 平面 ABCD,BC/ 平面PAD, PBC? 90? , 90PBA?.求证 :(1) /AD 平面PBC ； (2)平面 PBC? 平面 PAB . 18 （满分 16 分） 已知椭圆 C 的中心在原点 ,一个焦点 ( 1,0)F? ,且长轴长与短轴长的比是2: 3 (1)求椭圆 C 的方 程 ; A B C P （第 17 题） D - 3 - (2)设点 1( ,0)3M ,点 P 是椭圆 上任意一点 ，求 MPuur 的 最小 值。 19.（满分 16分） 已知 0m? ，命题 :p 椭圆 C1： 2213xym?表示的是焦点在 y 轴上的椭圆，命题 :q 对
7、 kR? ，直线 2 1 0kx y? ? ? 与 椭圆 C2： 2 2 22x y m?恒有公共点 . （ 1） 若命题 “ pq? ” 是假命题，命题 “ pq? ” 是真命 题，求实数 m 的取值范围 . （ 2）若 p 真 q 假时，求椭圆 C1、 椭圆 C2的上焦点之间的距离 d的范围。 20. （满分 16分）某奥运会主体育场的简化钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，我们称这两个椭圆相似。 （ 1）已知椭圆 2 21 :14xCy?，写出与椭圆 1C 相似且焦点在 x 轴上、短半轴长为 b 的椭圆 bC 的标准方程；若在椭圆 bC 上存在两点 M 、 N 关于
8、直线 2yx?对称，求实数 b 的取值范围；（ 2）从外层椭圆顶点 A、 B向内层椭圆引切线 AC、 BD，设内层椭圆方程为22ax+b=1 (a?b 0)，AC与 BD 的斜率之积为78，求椭圆的离心率。 - 4 - 高二数学参考答案 一、填空题： 1.答案：（ 1， 0） 2.平行或异面 3.答案： 5 4.答案： 01, 2 ? xxRx 5 答案： 2 6. 15? 7.必要不充分 8 3 9 ( 1,5)? ; 10.48 11.答案： 2 12 32 13. （文）3 2 5 , 42（理） 23 14.B 二、解答题： 15.(1)证明：连结 A1B， CD1， AB1 A1B，
9、 AB1 BC， A1B BC B， AB1 平面 A1BCD1， 又 BF 平面 A1BCD1， 所以 AB1 BF. （ 2） F 到底面的距离即为棱长 1 1 1 11 1 13 2 6E A B F F A B EVV? ? ? ? ? ? ? 16.解析：（ 1）若 1,a p q? ? ? 为真，因此： 14 25xxx?或则 x 的取值范围是： | 4 5xx? ； （ 2） “ 若 ，则 ” 是真命题，则有 2 45aa?，解得： 5 24 a?， 所以实数 a 的取值范围是 |1 2aa? 17.【证】 (1)因为 BC/平面 PAD, 而 BC? 平面 ABCD,平面 AB
10、CDI 平面 PAD = AD, 所以 BC/AD 因为 AD ? 平面 PBC,BC? 平面 PBC,所以 /AD 平面 PBC - 5 - (2)自 P作 PH ? AB 于 H,因为平面 PAB ? 平面 ABCD ,且平面 PAB I 平面 ABCD =AB, 所以 PH? 平面 ABCD 因为 BC ? 平面 ABCD,所以 BC ? PH. 因为 PBC? 90? ,所以 BC ? PB, 而 90PBA?,于是点 H与 B不重合 ,即 PB I PH = H. 因为 PB,PH ? 平面 PAB,所以 BC ? 平面 PAB 因为 BC ? 平面 PBC,故 平面 PBC ? 平
11、面 AB 18.解：（ 1）椭圆 C 的方程为 22143xy? （ 2） 设 ),( yxP 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为 22143xy?，故 22x? ? ? 因为 1( , )3MP x y? 所以22 2 2 22211| | ( ) ( ) 3 ( 1 )3 3 41 2 1 1 4 13 ( ) 34 3 9 4 3 3xM P x y xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又 22x? ? ? ，所以 MP最小值为 263 16 分 19.解： P真： 03m?， 直线 2 1 0kx y? ? ? 过定点 ? ?0,1A ， q 真： 2 2 2
12、01m? ， 1m?或 1m? 命题 “ pq? ” 是假命题，命题 “ pq? ” 是真命题， p? 和 q 一真一假 当 p 真 q 假时， ? ?0,1m? 当 p 假 q 真时， ? ? ?, 1 3,m ? ? ? ? ? 综上所述， ? ? ? ? ? ?, 1 0 , 1 3 ,m ? ? ? ? ? ? （ 2） 2 ,32d ?A B C P D H - 6 - 20.（ 1）椭圆 bC 的方程为： 22 1 ( 0 )4xy bbb? ? ? 2分设 :MNl y x t? ? ，点 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y， MN 中点为 00( ,
13、)xy ， 则 222214y x txybb? ? ?，所以 2 2 25 8 4 ( ) 0x tx t b? ? ? ? 则 12004 ,2 5 5xx ttxy? ? ?因为中点在直线 2yx?上，所以有 4 255tt?， 103t? 即直线 MNl 的方程为： 10: 3MNl y x? ?， 由题意可知，直线 MNl 与椭圆 bC 有两个不同的交点， 即方程 2 2 21 0 1 05 8 ( ) 4 ( ) 033x x b? ? ? ? ? ?有两个不同的实数解， 所以 0? ，即 253b? 8分 （ 2）设外面椭圆： 22 2 ( 0)xy mbab? ? ?设切线 AC 的方程为 )(1 maxky ? ,则 ? ? 02)()()( )( 22214221322122222 1 ? ? ? bakamxkmaxkababaybx maxky 由 =0 1122221 ? mabk,同理 )1( 22222 ? mabk 422 2 212 7188bbk k eaa? ? ? ? ?， 24e?16分
