1、 1 2017 2018学年度第一学期期中考试 高二数学试题 （考试时间： 120分钟 满分： 160分） 一填空题（ 本大题共 14 小题，每小题 5分，共计 70分 ） 1、命题 “ 20, 0x x x? ? ? ?” 的否定是 2、不等式 0432 ? xx 的解集为 3、不等式 02 ? cbxax 的解集是 ? 1?xx 或 ?3?x ，则 ?cba : 4、 设变量 yx, 满足约束条件?222xyxxy ，则yxz 3? 的最小值是 5、右图是抛物线形拱桥 ,当水面在 l 时 ,拱顶离水面 2米 , 水面宽 4米 ,水位下降 1米后 ,水面宽 米； 6、与双曲线 22 14yx
2、 ?有共同的渐近线，且过点（ 2， 2）的双曲线方程为 _ 7、 若正数 yx, 满足 21xy?，则 11xy?的最小值为 _ 8、 若关于 x ， y 的不等式组 （ a 为常数）所表示的平面区域的面积等于 3，则 a 的值为 9、 已知焦点在 y轴上的椭圆方程为 198 22 ? yax ，则 a的范围是 _ 10、不等式 21 x x a? ? ? 在区间 1,1? 上恒成立，则实数 a 的取值范围是 11、若双曲线 44 22 ? yx 的焦点是 21,FF 过 1F 的直线交左支于 A、 B，若 |AB|=5，则 AF 2B的周长是 2 12、 已知椭圆22xa +22yb =1(
3、ab0)，点 A， B1， B2， F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 AB2与直线 B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为 . 13、已知椭圆 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?， 12,FF是椭圆的左右焦点， l 是右准线，若椭圆上存在点 P ，使 1PF 是 P 到直线 l 的距离的 2 倍，则该椭圆离心率的取值范围是 14、 已知任意实数 21,1 ? yx ，不等式122422? xyyxm恒成立，则 m 最大值为_ 二、解答题（共 6题， 90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本题满分 14分 ） 已知命题 P：方程 1
4、14 22 ? tytx 所表示的曲线为焦点在 x轴上的椭圆； 命题 q：关于实数 t的不等式 2 ( 3 ) ( 2 ) 0t a t a? ? ? ? ? （ 1） 若命题 P为真，求实数 t的取值范围； （ 2） 若命题 P是命题 q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围。 16（本题满分 14分） （ 1）设全集 RU? ，集合 ? 06 2 ? xxxA ，集合? 1312xxxB.求 BA? ; （ 2）设 1x? ，求 ?y 1( 5)( 2)xxx?的最大值 . 3 17（本题满分 14分） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 椭 圆2222 1 ( 0
5、 )yx abab? ? ? ?的 左 顶 点 为 A ， 右 焦 点 为( 0)Fc， . 00( )P x y， 为椭圆上一点，且 PA PF? . （ 1）若 3a? ， 5b? ，求 0x 的值；（ 2）若 0 0x? ，求椭圆的离心率； 18（本小题满分 16分） 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以 30天计），旅游人数()ft（万人）与时间t（天）的 函数关系近似满足1( ) 4ft t?，人均消费()gt（元）与时间t（天）的函数关系近似满足( ) 115 | 15 |g t t? ? ?. （ ）求该城市的旅游日收益()wt（万元）与时间1 30 , )t t t N?
6、 ? ?的函数关系式； （ ）求该城市旅游日收益的最小值（万元） 19（本小题满分 16分） 已知 ,Ra? 函数 .)( axxxf ? （ 1）当 2?a 时，写出函数 )(xfy? 的单调增区间； （ 2）当 2?a 时，求函数 )(xfy? 在区间 ?2,1 上的最小值； （ 3）设 0?a ，函数 )(xf 在 ),( nm 上既有最大值又有最小值，请分别求出 nm, 的取值范围（用 a 表示） . x y O P A F 4 20.（本小题满分 16分） 已知 ,AB分别是椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的左，右顶点，点 3(1, )2D 在椭圆 C 上，
7、且直线 DA 与直线 DB 的斜率之积为 24b? （ ）求 椭圆 C 的标准方程； （ II）点 P 为椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，直线 AP ， PB 与椭圆的右准线分别交于点M ， N 在 x 轴上是否存在一个定点 E ,使得 EM EN? ?若存在，求点 E 的坐标；若不存在 ,说明理由； 已知常数 0?l ，求 PM PN PA PB? ? ?l 的取值范围 . （第 20 题） A BOPMNxy5 2017 2018学年度第一学期期中考试 数学试卷 一填空题（ 本大题共 14 小题，每小题 5分，共计 70分 ） 1 命题 “ 20, 0x x x? ? ? ?” 的否定是
8、 20, 0x x x? ? ? ? 2 不等式 0432 ? xx 的解集为 )4,1(? 3 不等式 02 ? cbxax 的解集是 ? 1?xx 或 ?3?x ， 则 ?cba : 1:( 4):3? 4设变量 yx, 满足约束条件?222xyxxy ，则yxz 3? 的最小值是 8? 5、右图是抛物线形拱桥 ,当水面在 l 时 ,拱顶离水面 2米 , 水面宽 4米 ,水位下降 1米后 ,水面宽 米； 62 6、与双曲线 22 14yx ?有共同的渐近 线，且过点（ 2， 2）的双曲线方程为_ 1123 22 ? yx 7、 若正数 yx, 满足 21xy?，则 11xy?的最小值为 _
9、 223? 8.若关于 x ， y 的不等式组 1 0,1 0,10xyxax y? ? ? ? ?（ a 为常数）所表示的平面区域的面积等于 3，则 a 的值为 5 9. 已知焦点在 y轴上的椭圆方程为 198 22 ? yax ，则 a的范围是 _ )1,8(? 10 不等式 21 x x a? ? ?在区间 1,1? 上恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( 2, )? 11 若双曲线 44 22 ? yx 的焦点是 21,FF 过 1F 的直线交左支于 A、 B，若 |AB|=5，则 AF 2B6 的周长是 18 12.已知椭圆22xa +22yb =1(ab0)，点 A， B1， B2
10、， F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 AB2与直线 B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为 . (变式 1) 【答案】 12 【解析】如图， A(-a， 0)， B1(0， -b)， B2(0， b)， F(c， 0)，设点 M2Ma yc?， . 由 2ABk =kAM， 得 ba =2Mya ac? ， 所以 yM=b 1ac?. 由 1FBk =kFM， 得 bc =2-Myacc ， 所 以 yM=2 -baccc?. 从而 b 1ac?=2 -baccc?， 整理得 2e2+e-1=0， 解得 e=12 . 7 13、 已知椭圆 22 1( 0 )xy
11、abab? ? ? ?， 12,FF是椭圆 的 左右焦点， l 是右准线， 若椭圆上存在点 P ，使 1PF 是 P 到直线 l 的距离的 2 倍，则 该 椭圆离心率的取值范围是 ? ? 1,2 173 14已知任意实数 21,1 ? yx ，不等式122422? xyyxm恒成立，则 m 最大值为_ 4 二、解答题（共 6题， 90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（ 14 分） 已知命题 P：方程 114 22 ? tytx 所表示的曲线 为焦点在 x轴上的椭圆； 命题 q：关于实数 t的不等式 2 ( 3 ) ( 2 ) 0t a t a? ? ? ? ? （ 1）
12、若命题 P为真，求实数 t的取值范围； （ 2） 若命题 P是命题 q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围。 解（ 1） 方程 22141xytt?所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆 ?4 1 0tt? ? ? ? -4分 解得： 51 2t? -7分 （ 2） 命题 P是命题 q的充分不必要条件 ? 51 2t? 是不等式 2 ( 3 ) ( 2 ) 0t a t a? ? ? ? ?解集的真子集 -10 分 因方程 2 ( 3 ) ( 2 ) 0t a t a? ? ? ? ?两根为 1, 2a? 故只需 52 2a? -12分 解得： 12a? -14 分 16 （本题满分 14 分
13、） （ 1） 设全集 RU? ，集合 ? 06 2 ? xxxA ，集合? 1312xxxB.求 BA? ; 8 （ 2） 设 1x? ，求 ?y 1( 5)( 2)xxx?的最大值 . 解： 06 2 ? xx ， 062 ?xx ， 不等式的解为 23 ? x ， ? 23 ? xxA -2分 由 1312 ?xx 解得 3?x 或 4?x .-4分 ? 43 ? xxxB 或 -7分 1x? ， 10x? ? ? ，设 10xt? ? ? ， 则 1xt? ， 于是有 21 1 1 .4( 4 ) ( 1 ) 5 4 945 25ttyt t t t t ttt? ? ? ? ? ? ?
14、 ? ?-12分 当且仅当 4t t? ，即 2t ? 时取等号，此时 1x? 当 1x? 时，函数取得最 大 值 19 -14分 17 （本题满分 14 分） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 椭 圆2222 1 ( 0 )yx abab? ? ? ?的 左 顶 点 为 A ， 右 焦 点 为( 0)Fc， . 00( )P x y， 为椭圆上一点，且 PA PF? . （ 1）若 3a? ， 5b? ，求 0x 的值；（ 2）若 0 0x? ，求椭圆的离心率； 解 :(1)因为 3a? ， 5b? ，所以 2 2 2 4c a b? ? ? ，即 2c? ， 由
15、PA PF? 得， 00 132yyxx? ? ?，即 220 0 0 6y x x? ? ? , 又 2200195xy?， 2004 9 9 0xx? ? ? .解得0 34x?或 0 3x? (舍 ). -7分 (2)当 0 0x? 时 , 220yb? ， 由 PA PF? 得， 001yyac? ? ，即 2b ac? ，故 22a c ac? ， 所以 2 10ee? ? ? ，解得 512e ? （负值已舍） -14分 18（本小题满分 16分） x y O P A F 9 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以 30天计），旅游人数()ft（万人）与时间t（天）的函数关系近
16、似满足1( ) 4ft t?，人均消费()gt（元）与时间t（天）的函数关系近似满足( ) 115 | 15 |g t t? ? ?. （ ）求该城市的旅游日收益()wt（万元）与时间1 30 , )t t t N? ? ?的函数关系式； （ ）求该城市旅游日收益的最小值（万元） 【解析】 （ ）由 题意得，1( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( 115 | 15 |)w t f t g t tt? ? ? ? ? ?(1 30 , )t t N? ? ?（ ）因为*1( 4 ) ( 100) , ( 1 15 , )() 1( 4 ) ( 130 ) , ( 15 30 , )t t t
17、Ntwtt t t Nt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-6分 当1 15t?时，1 25( ) ( 4 ) ( 100) 4( ) 401w t t ttt? ? ? ? ? ?4 2 25 401 441? ? ? ?当且仅当25t?，即5t?时 等 号 -10分 当15 30t?时，1 130( ) ( 4 ) ( 130 ) 519 ( 4 )w t t t? ? ? ? ? ?，可证()wt在15,30t?上单调递减，所以当30t?时，()wt取最小值为4033-16分 19 已知 ,Ra? 函数 .)( axxxf ? （ 1）当 2?a 时，写出函数 )(xfy? 的单调增区间； （ 2）当 2?a 时，求函数 )(xfy? 在区间 ?2,1 上的最小值；
