1、2017 2018学年度上学期期中考试试题 高二数学 分数： 150分；考试时间： 120分钟 注意事项： 1答题 前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题） 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 如果 0ab?且 0ab? ，那么以下不等式正确的个数是 ( ) 23ab b? ； 110ab? ； 32a ab? ； 33ab? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 在 ABC? 中，已知角 B 030? ， AB? 2 ， 2AC? 则 ABC? 的面积为（ ）
2、A. 3 B. 3 或 23 C. 23 D. 43或 23 3 ABC? 的内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc， 若 ,abc， 成等比数列，且 2ca? ，则 cosB?（ ） A. 24 B. 14 C. 34 D. 23 4 已知 是椭圆 的两个焦点，焦距为 4.过点 的直线与椭圆相交于 两点， 的周长为 32，则椭圆 的离心率 为（ ） A. B. C. D. 5 曲线 22125 9xy?与曲线 22 1( 0)25 9xy ttt? ? ?的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距 相等 6 下列关于正弦定理的叙述中错误的是（ ） A. 在 A
3、BC中， a： b： c=sinA： sinB： sinC B. 在 ABC中，若 sin2A=sin2B，则 A=B C. 在 ABC中，若 sinA sinB，则 A B；若 A B，则 sinA sinB D. 在 ABC中， asinA = bcsinB sinC? 7 下列命题错误的是（ ） A. 对于命题 2: , 1p x R x x? ? ? ?使 得 0，则 :P? ,xR? 均有 2 1 0.xx? ? ? B. 命题 “ 若 2 3 2 0xx? ? ? ，则 1x? ” 的逆否命题为 “ 若 1,x? ， 则 2 3 2 0.xx? ? ? ” C. 若 pq? 为假命
4、题，则 ,pq均为假命题 D. “x 2” 是 “ 2 32xx? 0” 的充分不必要条件 . 8 下列各函数中，最小值为 2的是（ ） A. 1yxx? B. 1sin sinyxx?， 0,2x ?C. 2232xy x ? ? D. 4 31yxx? ? ? ， 1x? 9 等差数列 an和 bn的前 n项和分别为 Sn与 n，对一切自然数 n，都有 231nnS nTn? ?，则 55ab 等于 ( ) A. 23 B. 914 C. 2031 D. 1117 10 设 nS 为数列 ?na 的前 n 项和， 1 1a? ， 1 2nnaS? ? ， 则数列 1na?的前 20项和为（
5、 ） A. 19312 2 3? ?B. 19714 4 3? ?C. 18312 2 3? ?D. 18714 4 3? ?11在等腰梯形 ABCD 中， /AB CD ，且 2 , 1, 2A B A D C D x? ? ?，其中 ? ?0,1x? ，以 ,AB为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 1e ，以 ,CD为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意 ? ?0,1x? ，不等式 12t e e?恒成立，则 t 的最大值是（ ） A. 3 B. 5 C. 2 D. 2 12 过双曲线 的左焦点 作直线 与双曲线交于 ， 两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，则离心率 的取值
6、范围是（ ） A. B. C. D. 第 II卷（非选择题） 注意事项： 1 请用 0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第 卷答题纸的指定位置书写的答案如需改动， 要先划掉原来的答案，然后再写上新答案 2 不在指定答题位置答题或超出答题区域 书写的答案无效在试题卷上答题无效 3 第 卷共包括填空题和解答题两道大题 二填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 13 已知等差数列 an中， Sn为其前 n项和，若 a1= 3， S5=S10， 则当 Sn取到最小值时 n的值为_ 14.若 ,xy满足约束条件?04001yxyxx 错误！未找到引用源。 则 错误！未 找到引用源。yx
7、1?的最大值为 . 15. 若直线 022 ?byax )0,0( ? ba 始终 平分圆 22 2 4 1 0x y x y? ? ? ? ?的圆周， 则 ba 11? 的最小值为 16. 不等式 x2 2x 3a 2 2a 1在 R上的解集是 ?，则实数 a的取值范围是 _ 三解答题：本大题共小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10分） 给定两个命题 , P ：对任意实数 x 都有 012 ?axax 恒成立； Q ： 2 8 20 0aa? ? ? .如果 P Q 为真命题， P Q 为假命题，求实数 a 的取值范围 18 （本题 12 分） 已知
8、椭圆 ? ?22: 1 0xyE a bab? ? ? ?经过点 13,2P?，左焦点为? ?3,0F ? . （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）若 A 是椭圆 E 的右顶点，过点 F 且斜率为 12 的直线交椭圆 E 于 ,MN两点，求 AMN?的面积 . 19（本小题满分 12 分）在 ABC? 中， cba, 分别是 CBA , 的对边，且 AA cos3sin2 ? . （） 若 mbcbca ? 222 ，求实数 m 的值； （） 若 2a? ，求 ABC? 面积的最大值 20、 (本小题共 12分 ) 已知数列 ?na 中 , 1 4a? , , 1 44n na a? ? *()
9、nN?（ 1）求证：数列 12na?是等差数列； （ 2）求数列的 ?na 通项公式 na ； （ 3）记 11()2 nnnb na ?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nS . 21、 (本小题共 12分 ) 解关于 x 的不等式： 1 0( )1ax aRx ? ? 22.（本题 12 分）已知椭圆 C： 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的离心率为 22 ，且经过点 ( 2,0)M? (1) 求椭圆 C的标准方程； (2) 设斜率为 1的直线 l与椭圆 C相交于 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y 两点，连接 MA， MB 并延长交直线 4x? 于 P， Q
10、两点，设Py，Qy分别为点 P， Q的纵坐标，且 121 1 1 1PQy y y y? ? ?求 ABM的面积 参考答案 1 C 【解析】由题意可得： 0, 0,a b a b?， 据此有： 2 2 2 2 3,a b a b b b b? ? ? ? ?，正确； 110ab?，正确； 2 2 3 2 3,a b a a a ab? ? ? ? ?，错误； 3 3 3 30, 0,a b a b?,正确； 综上可得不等 式正确的个数是 3个。 本题选择 C选项 . 2 A 【解析】因为三角形是等腰三角形，所以 30C?，所以 120A?，由三角形面积公式， 1s s in 32 A B A
11、C A? ? ? ?，选 A. 3 C 【解析】因为 ,abc成等比数列，所以有2b ac?，且 2ca?，由余弦定理推论得2 2 2 3c os = 24a c bB ac? ?，故正确答案是 C. 4 A 【解析】焦距为 4即 错误！未找到引用源。 ； 错误！未找到引用源。 的周长为 32，即 错误！未找到引用源。 所以椭圆 错误！未找到引用源。 的离心率 错误！未找到引用源。 为 错误！未找到引用源。 故选 A 5 C 【解析】曲线 可得： 2 2 22 5 , 9 1 6a b c? ? ? ?，曲线221( 0)25 9xy ttt? ? ?可得： 2 2 225 , 9 16a t
12、 b t c t? ? ? ?由此可得只有其离心率ca时 相等的 6 B 【解析】 对于 A，在 ABC?中，由正弦定理可得 2 sina R A?， 2 sinb R B?， 2 sinc R C?，所以 s in s in s ina b c A B C?： ： ： ：，故 A正确；对于 B，若 sin2 in2AB?，则 22或22AB?，可得 ?或 2AB?，故 错误；对 于 C，若 sin sin?，根据正弦定理 2 sina R A?， 2 sinb R B?，得 ab?，再根据大边对 大角可得 AB?，故 C正确；对于 D，由 sin sin sina b cA B C?，再根据
13、比例式的性质可得，故 D正确 . 7 C 【解析】特称命题的否定是换量词否结论，不变条件的；故 A选项为正确的。 逆否命题是条件和结论互换，并且既否条件又否结论。故 B选项正确。 C若 pq?为假命题，则两者有一个为假即可。 D 2 32xx? 0 2x? 或 1? ，根据小范围推大范围， x 2” 是 “ 2 32xx? 0”的充分不必要条件，是正确的。 故答案为 C。 8 D 【解析】对于 A：不能保证 0x ， 对于 B：不能保证1sinx sinx?， 对于 C：不能保证221 22 xx ?对于 D： ? ?4 4 41 , 3 1 2 2 1 2 4 2 21 1 1x y x x
14、 xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当且仅当41 1x x?即 3x?时等号成立 故选 D 9 B 【解析】195 5 1 9 9195 5 1 9 992 2 9 922 3 9 1 1 492aaa a a a Sbbb b b b T? ? ? ? ? ? ? ? ? ,选 B. 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路 ,一是利用基本量 ,将多元问题简化为一元问题 ,虽有一定量的运算 ,但思路简洁 ,目标明确 ;二是利用等差、等比数列的性质 ,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具
15、，应有意识地去应用 .但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形 . 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少 运算量”的方法 . 10 D 【解析】 1 2nnaS? ?， ? 12nnaS? 相减得 ? ?1 32nna a n? ? 由 1 1a?得出 2 2 12, 3a a a? ? ? 21, 1 2 3 , 2nn na n? ? ? ， 1na= 21, 1 11 ,223nnn? ? 0 1 1 81 2 2 01 1 1 1 1 1 1. . . . . . 1 . . . . . .2 3 3 3a a a ? ? ? ? ? ?
16、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1919111 1 3 131 1 112 2 2 313? ? ? ? ? ? ?= 18714 4 3? ?故选 D 点睛：已知数列的 na与 nS的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意 n的范围，有的时候要检验 n=1的时候，本题就是检验 n=1,不符合，通项是分段的 . 11 B 12 D 【解析】双曲线的实轴长为 错误！未找到引用源 。 ，要使这样的直线有两条，第一种情况是：当直线与左右两支相交于两点时，只需 错误！未找到引用源。 ，此时直线若和左支相交，必有两条直线符合，即 错误！未找到引用源。 .当 错误！未找到引用源。 时，直线与两支都相交时，存在两条直线符合题意，此时需要当直线仅与左支相 交时，最短的弦长大于 错误！未找到引用源。 ，即， 错误！未找到引用源。 .综上，选 错误！未找到引用源。 . 13 7或 8 14. 2； 15. 4 16 ( 1,3) 17.（本小题满分 10分） 解：命题 P ： 012 ?axax 恒成立 当 =0a 时，不等式恒成立，满足题意 -2 分 当 0a? 时，20 40a aa? ? ? ?，解得 04a? -4分 04a? -6 分 命题 Q ： 2 8 20 0aa? ? ? 解得 10 2a? ? ? -
