1、第22章二次函数小结与复习一、教学目标1.通过复习二次函数的图象和性质，运用二次函数解决实际问题等内容，梳理本章知识，形成有关二次函数的知识体系.2.通过回顾探究二次函数的图象和性质的过程，再次体会类比归纳和数形结合的数学思想，形成分析和解决函数问题的一些基本方法.3.通过利用二次函数解决实际问题，再次体会建模思想，增强应用意识.二、教学重点、难点重点：复习二次函数的定义、图象和性质.难点：用二次函数解决实际问题.三、教学过程知识梳理一、二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数.注意：(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3
2、)当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数.二、二次函数的图象与性质三、二次函数图象的平移四、二次函数表达式的求法五、二次函数与一元二次方程的关系(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根六、二次函数的应用1.二次函数的应用包括以下两个方面：(1)用二次函数表示实际问题
3、变量之间的关系，解决最大(小)化问题(即最值问题)；(2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.2.一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义.考点讲练考点一 求抛物线的顶点坐标、对称轴、最值例1 求抛物线yx22x3的顶点坐标.解法一：配方，得y=x2-2x+3=(x-1)2+2，则顶点坐标为(1，2)解法二：由顶点公式，得，则顶点坐标为(1，2)方法总结解决此类题目可以先把二次函数y=ax2+bx+c配方为顶点式y=a(x-h)2+k的形
4、式，得到：对称轴是直线x=h，最值为y=k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.针对训练1.对于y2(x3)22的图象下列叙述正确的是( ) A.顶点坐标为(3，2) B.对称轴为直线x3 C.函数的最大值为2 D.函数的最小值为2考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小比较例2 二次函数yx2bxc的图象如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1x21，则y1与y2的大小关系是( ) A.y1y2 B.y1y2 C.y1y2 D.y1y2针对训练2.下列函数中，当x0时，y随x增大而减小的是( ) A. B.yx1 C. D.y3x2考点三 二次函数的图
5、象与系数a，b，c的关系例3 二次函数yax2bxc的图象如图所示，下列结论：abc0；2ab0；4a2bc0；(ac)2b2.其中正确的个数是() A.1B.2C.3D.4方法总结1.根据图象开口方向及与y轴交点位置来确定a、c符号.2.根据对称轴的位置确定b的符号：b=0对称轴是y轴；a、b同号对称轴在y轴左侧；a、b异号对称轴在y轴右侧. 这个规律可简记为“左同右异”.3.当x=1时，函数y=a+b+c. 当图象上横坐标x=1的点在x轴上方时，a+b+c0；当图象上横坐标x=1的点在x轴上时，a+b+c=0；当图象上横坐标x=1的点在x轴下方时，a+b+c0.同理，可由图象上横坐标x=-
6、1的点判断a-b+c的符号.针对训练3.已知二次函数yx22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是( ) A.b1 B.b1 C.b1 D.b1考点四 抛物线的几何变换例4 将抛物线yx26x5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( ) A.y(x4)26 B.y(x4)22 C.y(x2)22 D.y(x1)23针对训练4.若将抛物线y7(x4)21通过平移得到y7x2，则下列平移方法正确的是( ) A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位 D.
7、先向右平移4个单位，再向下平移1个单位考点五 二次函数表达式的确定例5 已知关于x的二次函数，当x1时，函数值为10，当x1时，函数值为4，当x2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得： ，解这个方程组得 这个二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.针对训练5.已知抛物线yax2bxc与抛物线yx23x7的形状相同，顶点在直线x1上，且顶点到x轴的距离为5，请写出满足此条件的抛物线的表达式.解： 抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1又 顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为5 顶点坐标为(1，5
8、)或(1，-5) 其表达式可以为：(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5考点六 二次函数与一元二次方程例6 若二次函数yx2mx的对称轴是直线x3，则关于x的方程x2mx7的解为( ) A.x10，x26 B.x11，x27 C.x11，x27 D.x11，x27针对训练6.已知二次函数yax2bx2的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2bx20的解为_.考点七 二次函数的应用例7 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件
9、)与销售单价x(元)符合一次函数ykxb，且x65时，y55；x75时，y45.(1)求一次函数的表达式；(2)若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？解：(1)根据题意，得，解得故所求一次函数的表达式为y=-x+120.(2)w=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200，配方得w=-(x-90)2+900 抛物线的开口向下 当x90时，w随x的增大而增大 60x60(1+45%)，即60x87 当x=87时，w有最大值，此时w=-(87-90)2+900=891故销售单价定为87元时，商场可获得
10、最大利润891元.针对训练7.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析.解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为y=ax2+bx，由图象的点的含义，得，解得故所求一次函数的表达式为y=-x2+14x(2)y=-x2+14x=-(x-7)2+49 当x=7时，y最大=49故第7个月时，利润最大为49万元.
11、(3)没有利润，即-x2+14x=0解得x1=0(舍去)或x2=14而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损.例8 如图，梯形ABCD中，ABDC，ABC90，A45，AB30，BCx，其中15x30.作DEAB于点E，将ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.(1)用含有x的代数式表示BF的长；(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值.解：(1)由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30 BF=2x-30(2) F=A=45，CBF=ABC=90 BGF=F=45，BG=BF=2x-30 S=SDEF-
12、SGBF=DE2-BF2=x2-(2x-30)2=-x2+60x-450(3) S=-x2+60x-450=-(x-20)2+150 a=-0，152030 当x=20时，S有最大值，最大值为150.针对训练8.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积；(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.解：(1)由题意，得羊圈的长为25m，宽为(40-25)2=7.5(m)，故羊圈的面积为257.5=187.5(m2)(2)设羊圈与墙垂直的一边为x m，则与墙相对的一边长为(40-2x)m，羊圈的面积： S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200 (0x20) 01020 当x=10时，S有最大值，最大值为200. 张大伯的设计不合理合理的设计是：羊圈与墙垂直的两边长为10m，而与墙相对的一边长为20m，此时羊圈的面积最大为200m2.
