1、 1 长安一中 2017 2018 学年度第一学期期中考试 高二级数学试卷（重点、平行） 时间： 100 分钟 总分： 150分 选择题：本题共 14 小题，每小题 5分，共 70 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 椭圆 11625 22 ? yx 上的一点 P 到一个焦点的距离为 3 ，则 P 到另一焦点距离是（ ） A 2 B 3 C 5 D 7 2已知 0ab? ， 0bc? ， 则直线 0ax by c? ? ? 通过 ( ) 象限 A第一、二、三 B第一、二、四 C第一、三、四 D第二、三、四 3 命题“ 58aa? ? ? ?， 则 ” 以及 它的逆命题、否
2、命题、逆否命题，真命题的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 4抛物线 22yx? 的准线方程为（ ） A 1y? B 12y? C 14y? D 18y? 5 与圆 2 2 2 212: ( 1 ) ( 3 ) 3 6 , : 4 2 4 0C x y C x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ?都相切的直线有（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 6 下列说法中正确的是 ( ) A “ (0) 0f ? ” 是 “ 函数 ()fx是奇函数 ” 的充要条件 B若 20 0 0: , 1 0p x x x? ? ? ? ?R ， 则 2: , 1 0p x x x?
3、? ? ? ? ?R C若 pq? 为假命题 ， 则 ,pq均为假命题 D “ 若6?， 则 1sin2?” 的否命题是 “ 若6?， 则 1sin2?” 7 在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， M 和 N 分别为 11AB 和 1BB 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是（ ） A 52? B 52 C 53 D 1010 2 8 “ 0ab? ” 是方程 “ 22ax by c?” 表示双曲线的 （ ） A充分不必要条件 B必要不 充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 命题“任意 ? ?1,2x? ， 2 0xa? ”为真命题的一
4、个充分不必要条件是 （ ） A 4a? B 4a? C 5a? D 5a? 10下列说法正确的是（ ） A经过空间内的三个点有且只有一个平面 B如果直线 l 上有一个点不在平面 ? 内，那么直线上所有点都不在平面 ? 内 C四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形 D用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台 11与两圆 221xy?和 22 8 12 0x y x? ? ? ?都外切的圆的圆心在 ( ) A一个椭圆上 B双曲线的一支上 C一条抛物线上 D一个圆上 12 过抛物线 2 4yx? 的焦点作直线交抛物线于 11( , )Px y ， 22( , )Qx y 两点，若 126x
5、x?，则 PQ 的值为 ( ) A.10 B.8 C. 6 D.5 13已知椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的离心率是 63 ，过椭圆上一点 M 作直线 MA ， MB交椭圆于 A ， B 两点，且斜率分别为 1k 、 2k ， 若点 A ， B 关于原点对称，则 12kk? 的值为( ) A 12 B 12? C 13 D 13? 14设 O 为坐标原点， 1F ， 2F 是 2222 1( 0, 0 )xy abab? ? ? ?的焦点，若在双曲线上存在点 P ，满足 1260FPF?o ， 7OP a? ，则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A 30xy? B 30xy?
6、. C 20xy? D 20xy? 二、 填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 ) 15命题 “ 若 A B B?U ，则 AB? ” 的逆否命题是 _ 16已知 ( 2 , 1 , 3 ) , ( 4 , 2 , ) , (1 , , 2 )a b x c x? ? ? ? ? ?r r r，若 ()a b c?r r r ，则 x _. 3 17 点 P 是双曲线 222xy?上的动点， F 是它的右焦 点，则线段 PF 的中点 M 的轨迹方程 为 _. 18 在平面直角坐标系中，动点 ( , )Pxy 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 (1,1)的距离，记点 P 的轨迹
7、为曲线 W ，下列四个结论中，正确结论的序号是 _ 曲线 W 关于原点对称； 曲线 W 关于直线 yx? 对称； 曲线 W 与 x 轴非负半轴， y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 21 ； 曲线 W 上的点到原点距离的最小值为 22? . 三、解答题 (本 大题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 19若抛物线 2( 0)y mx m?的准线与直线 1y? 的距离为 3，求抛物线的标准方程 。 20 已知命题 p ： ? ? 0,2,1 2 ? axx ，命题 :q 022, 0200 ? aaxxRx ，若“ p 且q ”为真命题，
8、求实数 a 的取值范围 21 已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为13，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大 4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为 3： 7，求椭圆方程和双曲线方程。 22如图 1，正三角形 ABC 的边长为 2a ， CD 是 AB 边上的高， ,EF分别为 AC 和 BC 边上的中点，现将 ABCV 沿 CD 翻折成直二面角 A DC B?，如图 2. (1)试判断翻折后的直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角 B AC D?的余弦值； (3) 求点 C 到 平 面 DEF 的距离 图 1 图 2 4 23已知椭圆
9、:E 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的半焦距为 c ，原点 O 到经过两点 ? ?,0c ， ? ?0,b 的直线的距离为 12c . (1)求椭圆 E 的离心率； (2)如图 3， AB 是圆 M ： 225( 2) ( 1) 2xy? ? ? ? 的 一条 直径， 图 3 若椭圆 E 经过 A ， B 两点，求椭圆 E 的方程 5 长安一中 2017 2018学年度第一学期期中考试 高二级 数学试卷（重点、平行） 时间： 100分钟 总分： 150分 命题人：赵福存 审题人：谈荣江 一 选择题： D A B D A D B B C C B B D D 二 填空题 (本大题共
10、4小题，每小题 5分，共 20 分 ) 15. 若 A B，则 A B B 16. 4. 17.2(x 1)2 2y2=1 . 18. 三、解答题 (本大题共 5小题，共 60分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 19 228 16x y x y? ? ?或 20 解：由“ p且 q”为真命题，则 p， q都是真命题 p： ax?2在 ? ?2,1上恒成立，只需 ? ? 1min2 ? xa ，所以命题 p： 1?a； q：设 ? ? aaxxxf ? 222，存在 Rx?0使 ? ? 00 ?xf ， 只需 ? ? 0244 2 ? aa，即 022 ?a 21 ? aa 或，
11、所以命题 q： 21 ? aa 或 由 ? ? 211 aaa 或得 1?a或 2?a 故实 数 a的取值范围是 1?a或 2?a 21 设焦点在 x轴上的椭圆方程为x yb2 22 1? ?，双曲线方程为xm yn22 22 1? ?， 由已知得 ca mcacmcam? ?1343 71373： ：椭圆方程为 2 2 2 21 , 14 9 3 6 9 4x y x y? ? ? ?双 曲 线 方 程 为， 若焦点在 y轴上，同样可得方程为 22149 36yx? ， 22194yx?。 22. 解 建立如图所示的 空间直角坐标系，则 D(0,0,0)， B(a,0,0)， A(0,0，
12、a)， C(0， 3a,0)，F? ?a2， 32 a， 0 ， E? ?0， 32 a， a2 . 6 (1)AB (a,0， a)， EF ? ?a2， 0， a2 12(a,0， a)， EF 12AB. EF AB. EF AB. 又 AB?平面 DEF， EF?平面 DEF， AB 平面 DEF. (2)易知 DB (a,0,0)是平面 ADC的一个法向量 设平面 ACB的一个法向量为 n (x， y， z) 而 AB (a,0， a)， BC ( a， 3a,0)， 则? n AB xa az 0，n BC ax 3ay 0.令 x 1， 得 z 1， y 33 ， 平面 ACB的
13、一个法向量为 n ? ?1， 33 ， 1 . n DB a. cos n， DB aa 1 13 1 217 . 二面角 BACD 的余弦值为 217 . (3)平面 DEF内的向量 DE ? ?0， 32 a， a2 ， DF ? ?a2， 32 a， 0 . 设平面 DEF的一个法向量为 m ( )x， y， z ， 则 ? m DE 32 ay a2z 0，m DF a2x 32 ay 0.令 y 3，则 z 3， x 3. 平面 DEF的一个法向量 m ( 3， 3， 3)又 DC (0， 3a,0)， DC m 3a. 点 C到平面 DEF的距离 d |DC m|m| 3a9 3
14、9217 a. 23. 解 (1)过点 (c,0)， (0， b)的直线方程为 bx cy bc 0， 则原点 O到该直线的距离 d bcb2 c2 bca， 由 d 12c，得 a 2b 2 a2 c2，解得离心率 ca 32 . 7 (2)法一：由 (1)知，椭圆 E的方程为 x2 4y2 4b2. 依题意，圆心 M( 2,1)是线段 AB 的中点，且 |AB| 10. 易知， AB与 x轴不垂直，设其方程为 y k(x 2) 1，代入 得 (1 4k2)x2 8k(2k 1)x 4(2k 1)2 4b2 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 8k 2k 11
15、 4k2 ， x1x2 4 2k 12 4b21 4k2 . 由 x1 x2 4，得 8k 2k 11 4k2 4，解得 k 12. 从而 x1x2 8 2b2. 于是 |AB| 1 ? ?12 2|x1 x2| 52 x1 x2 2 4x1x2 10 b2 2 . 由 |AB| 10，得 10 b2 2 10，解得 b2 3. 故椭圆 E的方程为 x212y23 1. 法二：由 (1)知，椭圆 E的方程为 x2 4y2 4b2. 依题意，得点 A， B关于圆心 M( 2,1)对称，且 |AB| 10. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x21 4y21 4b2， x22 4y22 4b2， 两式相减并结合 x1 x2 4， y1 y2 2，得 4(x1 x2) 8(y1 y2) 0. 易知 AB 与 x轴不垂直，则 x1 x2，所以 AB的斜率 kAB y1 y2x1 x2 12. 因此直线 AB 的方程为 y 12(x 2) 1，代入 得 x2 4x 8 2b2 0. 所以 x1 x2 4， x1x2 8 2b2. 于是 |AB| 1 ? ?12 2|x1 x2| 52 x1 x2 2 4x1x2 10 b2 2 .由 |AB|10，得 10 b2 2 10，解得 b2 3.故椭圆 E的方程为 x212y23 1.
