1、 1 天津市和平区 2017-2018 学年高二上学期期中质量调查 数学试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 10 个小题 ， 每小题 4 分 ， 共 40 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知直线 l 的倾斜角为 030 ，则直线 l 的斜率为 （ ） A 33 B 22 C 1 D 3 2在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 2、 3? 的直线方程为 （ ） A 132 ?yx B 132 ?yx C 123 ?xy D 132 ?yx 3 若 ba, 是异面直线， ?/a ，则 b 与 ? 的位置关系是 （ ） A ?/b 或 ?b B b 与 ?
2、 相交或 ?/b C b 与 ? 相交或 ?b D b 与 ? 相交或 ?b 或 ?/b 4若一个长方体的长、宽、高分别为 3 、 2 、 1，则它的外接球的表面积为（ ） A 23? B ?5 C ?6 D ?24 5 过点 )1,1( ?A 与 )1,1(?B 且圆心在直线 02?yx 上的圆的方程为 （ ） A 4)1()3( 22 ? yx B 4)1()3( 22 ? yx C 4)1()1( 22 ? yx D 4)1()1( 22 ? yx 6如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 ?4 ，那么圆柱的体积等于 （ ） A ? B ?2 C ?4 D ?8 7过点 )4,2(?P 作圆
3、 C ： 0202422 ? yxyx 的切线 l ，直线 m ： 03 ? yax 与直线 l 平行，则直线 l 与 m 之间的距离为 （ ） A 58 B 512 C 4 D 2 8已知平面 ? 平面 ? ， l? ，点 lAA ? ,? ，直线 lAB/ ，直线 lAC? ，直线 ? /,/ mm ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 （ ） 2 A ?AB B mAC? C ?/AB D mAB/ 第 卷（共 60 分） 二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 9若点 )2,2(A ， )0,(aB ， )4,0(C 三点共线，则 a 的值等于 . 10 一个
4、圆锥的母线为 cm20 ，母线与轴的夹角为 030 ，则圆锥的高为 cm . 11圆 9)3()3( 22 ? yx 上到直线 01143 ? yx 的距离等 于 1 的点有 个 . 12若直线 l 与平面 ? 相交于点 O ， lBA ?, ， ?DC, ，且 BDAC/ ，则 DCO , 三点的位置关系是 . 13如图，正方体 1111 DCBAABCD ? 中，给出以下四个结论 ： /1CD 平面 11ABBA ； 11DA 与平面 1BCD 相交； ?AD 平面 DBD1 ； 平面 ?1BCD平面 11ABBA ，其中正确结论的序号是 14三棱锥 ABCP? 中， ED, 分别为 PC
5、PB, 的中点，记三棱锥 ABED? 的体积为 1V ，ABCP? 的体积为 2V ，则 ?21:VV 三、解答题 （本大题共 5 题，共 40 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15已知直线 l 经过直线 0243 ? yx 与直线 022 ? yx 的交点 P . （ 1）若直线 l 垂直于 012 ? yx ，求直线 l 的方程； （ 2）若直线 l 与经过两点 )6,8( ?A ， )2,2(B 的直线平行，求直线 l 的方程 . 16已知方程 04222 ? myxyx . （ 1）若此方程表示圆，求 m 的取值范围； 3 （ 2）若（ 1）中的圆与直线 042 ? yx
6、相交于 NM, 两点，且 ONOM? （ O 为坐标原点），求 m 的值 . 17如图，直三棱柱 111 CBAABC ? 中， 1111 CBCA ? ， BAAC 11 ? ， NM, 分别是 ABBA ,11的中点，求证： （ 1） ?MC1 平面 11ABBA ； （ 2） AMBA ?1 ； （ 3）平面 /1AMC 平面 CNB1 . 18如图，在四棱锥 ABCDP? 中， 底面四边形 ABCD 是矩形， ?PA 平面 ABCD ， FE,分别是 PDAB, 的中点， ADPA? . （ 1）求证： /AF 平面 PEC ； （ 2）求二面角 BCDP ? 的大小； （ 3）若 2
7、2,2 ? CDAD ，求直线 PE 与平面 PCD 所成角的正弦值 . 19已知 O 为坐标原点，设动点 ),( tsM （ 1）当 34,0 ? ts 时，若过点 M 的直线 l 与圆 C ： 0822 ? xyx 相切，求直线 l 的方程； 4 （ 2）当 0,2 ? ts 时，求以 OM 为直径且被直线 0543 ? yx 截得的弦长为 2 的圆的方程； （ 3）当 0,2 ? ts 时，设 )0,1(A ，过点 A 作 OM 的垂线，与以 OM 为直径的圆交于点 N ，垂足为 H ，试问：线段 ON 的长是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由 . 5 试卷答案 一
8、、选择题 1-5： ABDCD 6-8： CA 二、填空题 9 4 10 310 11 3 12在同一条直线上 13 14 4:1 三、解答题 15解：由? ? ? 022 0243 yx yx，解得? ?22yx点 P 的坐标为 )2,2(? . （ 1）直线 012 ? yx 的斜率为 21 ， 与该直线垂直的直线 l 的斜率为 2? ， 直线 l 的方程为 )2(22 ? xy ，即 022 ? yx . （ 2）直线 AB 的斜率为 3428 26 ?ABk， 直线 l 与直线 AB 平行， 34?lAB kk， 直线 l 的方程为 )2(342 ? xy ， 即 0234 ? yx
9、. 16（ 1） 解：方程 04222 ? myxyx 表示圆， mFED ? ,4,2 ， 0420422 ? mFED ， 解得 5?m . m 的取值范围是 5?m . （ 2）设 NM, 的坐标分别为 ),(),( 2211 yxyx ， 则由? ? ? 042 04222 yx myxyx 消去 x 并整理得 6 08165 2 ? myy ， 58,5162121 myyyy ?， ONOM? ，且2211 , xykxyk ONOM ? ， 12211 ? xyxy ，即 02121 ? yyxx ， 2211 24,24 yxyx ? ， 0)24)(24( 2121 ? yy
10、yy ， 整理得 016)(85 2121 ? yyyy 0165168585 ? m ， 解得 58?m ，即 m 的值为 58 . 17 （ 1） 证法一：由直三棱柱 111 CBAABC ? 得 ?1AA 平面 111 CBA ， ?MC1 平面 111 CBA ， ?1AA MC1 ， 又 1111 CBCA ? ， M 为 11BA 的中点， 111 BAMC ? ， 又 1111 ABAAA ? ， ?MC1 平面 11ABBA . 证法二：由直三棱柱 111 CBAABC ? 得 平面 ?11ABBA 平面 111 CBA ，且平面 ?11ABBA 平面 11111 BACBA
11、? ， 1111 CBCA ? ， M 为 11BA 的中点， 111 BAMC ? ， 7 又 ?MC1 平面 111 CBA ， ?MC1 平面 11ABBA . （ 2）由（ 1）知， ?MC1 平面 11ABBA ?BA1 平面 11ABBA ， ?MC1 BA1 ， ?1AC BA1 ， ?1AC 11 CMC ? ， ?BA1 平面 1AMC ， ?AM 平面 1AMC ， AMBA ?1 . （ 3）证法一：由直三棱柱 111 CBAABC ? 知，四边形 11ABBA 是矩形， NM, 分别是 ABBA ,11 的中点， MBAN 1/ ，且 MBAN 1? ， 四边形 NAM
12、B1 是平行四边形， NBAM 1/ ， ?AM 平面 CNB1 ， ?NB1 平面 CNB1 ， /AM 平面 CNB1 ， 连接 MN ，则四边形 MNBB1 是矩形， MNBB/1 ，且 MNBB?1 ， 又 11/CCBB ， 11 CCBB? ， 1/CCMN ，且 1CCMN? ， 四边形 1MNCC 是矩形， CNMC /1 ， 8 ?MC1 平面 CNB1 ， ?CN 平面 CNB1 ， /1MC 平面 CNB1 又 NNBCNMMCAM ? 11 , ? ， 平面 /1AMC 平面 CNB1 . 证法二：由（ 2）知， ?BA1 平面 1AMC ， ?AM 平面 1AMC ，
13、 ?BA1 AM ， 1/NBAM ， ?BA1 1NB ， ?CN 平面 11ABBA ， ?BA1 平面 11ABBA ， ?CN BA1 ， ?1NB NCN? ， ?BA1 平面 CNB1 ， 平面 /1AMC 平面 CNB1 . 18、（ 1）证明：取 PC 的中点 G ，连接 FGEG, ， F 是 PD 的中点， DCFG/ ，且 DCFG 21? ， 四边形 ABCD 是矩形， DCAB/ ，且 DCAB? ， ABFG/ ，且 ABFG 21? ， 又 E 是 AB 的中点， 9 ABAE 21? ， AEFG/ ，且 AEFG? ， 四边形 AEGF 是平行四边形， EGA
14、F/ ， ?AF 平面 PEC ， ?GE 平面 PEC /AF 平面 PEC . （ 2） ?PA 平面 ABCD ， ?CD 平面 ABCD ?PA CD ， 四边形 ABCD 是矩形， ?AD CD ， ?PA AAD? ， PA 、 ?AD 平面 PAD ， ?CD 平面 PAD ， 又 ?PD 平面 PAD ， ?CD PD PDA? 为二面角 BCDP ? 的平面角， ADPA? ， PAD? 为等腰直角三角形 045?PDA ，即 二面角 BCDP ? 的大小为 045 . （ 3）由（ 2）知， PAD? 为等腰直角三角形 F 是斜边 PD 的中点， PDAF? ， 由（ 1）
15、知， EGAF/ ， PDEG? ， 又由（ 2）知， ?CD 平面 PAD ， ?AF 平面 PAD ， ?CD AF ， ?CD EG ， 又 ? CDPDDCDPD ,? 平面 PCD ， ?EG 平面 PCD ， PG 是直线 PE 在平面 PCD 上的射影， EPG? 为直线 PE 与平面 PCD 所成的角， 在 PAERt? 中， 2?PA ， 222212121 ? ABCDAE ， 62)2( 2222 ? PAAEPE ， 在等腰直角 PAD? 中， 2222 22 ?PD F 是 PD 的中点， 221 ? PDAF ， 2?EG 10 3362s in ? PEEGEPG
16、， 即 直线 PE 与平面 PCD 所成角的正弦值为 33 . 19、 (1)解：依题意 )34,0(M ， 将圆 C ： 0822 ? xyx 化为标准方程为： 16)4( 22 ? yx ， 则圆心 )0,4(C ，半径为 4?r ， 直线 l 过点 M ， 当斜率不存在时，直线 l 的方程为 0?x ，符合题意； 当斜率存在时，设过点 M 的直线 l 的方程为 34?kxy ，即 034 ? ykx . 直线 l 与圆 C 相切， 圆心 C 到直线 l 的距离为 4， 即 41 |344| 2 ? kkd，解得 33?k ， 3433 ? xy ，即 0123 ? yx ， 综上可得，所求直线 l 的方程为 0?x 或 0123 ? yx . （ 2）依题意得， ),2( tM （ 0?t ）， 以 OM 为直径的圆圆心为 )2,1( t ，半径为 41 2tr ? ， 圆的方程为 14)2()1( 222 ? ttyx ， 以 OM 为直径的圆被直线 0543 ? yx 截得的弦长为 2， 圆心到直线 0543 ? yx 的距离为 21)14(122 ttrd ? ， )0(2)4(3 |523| 22 ? ? ttt，解得 4?t .
