1、 ( ) 2 ln(0)f xa x bxx=- 【题型综述题型综述】 用导数研究函数的单调性用导数研究函数的单调性 （1）用导数证明函数的单调性 证明函数单调递增（减） ，只需证明在函数的定义域内 ( ) fx（）0 （2）用导数求函数的单调区间来源: 求函数的定义域D求导 ( ) fx解不等式 ( ) fx( )0 和 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；来源: (4)解不等式 f(x) (或( )0fx )在该区间上存在解集， 这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； （3）若已知 ( ) fx 在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 ( ) fx 的单
2、调区间，令 I 是其 单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围 【典例指引】【典例指引】 例 1已知函数 32 11 ( )(0) 32 f xxaxxb a=+ +?，( )fx为函数( )f x的导函数 (1)设函数( )f x的图象与 x 轴交点为 A，曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是33yx=-，求, a b的值； (2)若函数( )( ) ax g xefx - =?，求函数( )g x的单调区间 来源:Z.xx.k.Com () ( ) ( ) ax fx g x e = 2 1 ax xax e + =()xR ( )g x = 2 2 (2)(1) () axax a
3、x xa ea xaxe e +-+ 2 (2) ax x axae-=-+- 当0a=时，( )2g xx=， *网 x (,0)-? 0 (0,)+? ( )g x - 0 +来源: ( )g x 极小值 ( )g x的单调递增区间为(0,)+?，单调递减区间为(,0)-? ()当 2 0a a -=，即2a =时，( )g x = 22 20 x x e-=-?， 故( )g x在(,)-?单调递减； ()当 2 0a a -时， x 2 (,)a a -? 2 a a - 2 (,0)a a - 0 (0,)+? ( )g x - 0 +来源: 0 - ( )g x 极小值 极大值 (
4、 )g x在 2 2 (,0) a a - 上单调递增，在(0,)+?， 2 2 (,) a a - -?上单调递减 综上所述，当0a=时，( )g x的单调递增区间为(0,)+?，单调递减区间为(,0)-?； 当02a时，( )g x的单调递增区间为 2 (,0)a a -，单调递减区间为(0,)+?、 2 (,)a a -? 例 2已知函数 ( ) 2 1 ln 2 fxxax=-，aR （1）求函数 ( ) fx的单调区间； 【思路引导】 （1）先确定函数的定义域，求导后得 ( ) 2 1 ax fx x - =，根据a正负进行讨论，可得函数的单调区间； 试题解析： （1）函数 ( )
5、fx的定义域为( ) 0,+? 由题意得 ( ) 2 11 ax fxax xx - =-=， 当0a时， ( ) 0fx ，则 ( ) fx在区间( ) 0,+?内单调递增； 当0a时，由 ( ) 0fx =，得 1 x a =或 1 x a =-（舍去） ， 当 1 0 x a ， ( ) fx单调递增， 当 1 x a 时， ( ) 0fx 时， ( ) fx的单调递增区间为 1 0, a 骣 琪 琪 桫 ，单调递减区间为 1 , a 骣 琪 +? 琪 桫 *网 例 3 已知函数 ( ) x f xe=， ( ) 2 2 a g xxx=-，（其中aR， e为自然对数的底数， 2.718
6、28e=） （1）令 ( )( ) ( )h xf xg x=+，求 ( ) h x的单调区间； 【思路引导】 （1） 求导函数的导数得 ( ) exh xa =-， 再根据是否变号进行分类讨论单调性： 当0a时， 导函数不变号， 为单调递增；当0a时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增 所以 ( ) h x的减区间为( ) ,lna-? ，增区间为( ) ln , a +? 综上可得，当0a时， ( ) h x在上单调递增 当0a时， ( ) h x的增区间为( ) ln , a +?，减区间为( ) ,lna-?*网 例 4已知函数 ( ) 1 ln, 1 x fxa x x - =+
7、 + 其中实数a为常数且0a （I）求函数 ( ) fx的单调区间； 【思路引导】 （1）利用导数并结合实数a的不同取值求解单调区间； 例 5已知函数 ( )() 2 2 xx f xaeaex=+- （1）讨论的单调性 ( ) fx； 【思路引导】 （1）求出 ( ) fx，分类讨论，分别由 ( ) 0fx 可得增区间，由 ( ) 0fx ，即 3 2 a -讨论导数与 0 的关系，得到单调性； 3设函数 ( )() 2 ln2,.f xxmxn m nR=-? （1）讨论 ( ) fx的单调性； 【思路引导】 （1）函数 f（x）的定义域为（0，+） ， ( ) 2 11 4 4 mx f
8、xmx xx - =-=，对 m 分类讨论即可得出 试题解析： （1）函数 ( ) fx定义域为( ) 0,+?， ( ) 2 11 4 4 mx fxmx xx - =-= 当0m时， ( ) 0fx ， ( ) fx在( ) 0,+?上单调递增； 当0m时， ( ) 0fx 得 1 0 2 x m 分别讨论单调性，求出单调区间; 5已知函数 ( ) 2 1 ln 2 fxxax=-， aR （1）求函数 ( ) fx的单调区间； 【思路引导】 （1）先确定函数的定义域，求导后得 ( ) 2 1 ax fx x - =，根据a正负进行讨论，可得函数的单调区间； 6已知函数 ( )( ) 2
9、ln,1f xxax g xax=-=+，其中e为自然对数的底数.来源:Z+X+X+K （1）讨论函数 ( ) fx在区间 1,e上的单调性； 【思路引导】 （1）求出 ( ) fx，讨论三种情况 1 a e ， 1a， 1 1a e 可得增区间， ( ) 0fx ? （1）讨论函数 ( ) fx的单调性；来源: （2）若2ba=-，求函数 ( ) fx的最值 【思路引导】 （1）先求导，分类讨论即可求出函数的单调区间； （2）求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出，注 意分类讨论 若0,0ba，则 ( ) 0fx 时， 0b时，函数 ( ) fx有最大值 111 ln2ln2 222 fa
10、aaa 骣骣骣 琪琪琪=-=-+ 琪琪琪 桫桫桫 ，无最小值； 当0a，由（1）得，函数 ( ) fx在 1 , 2 骣 琪 +? 琪 桫 上单调递增，在 1 0, 2 骣 琪 琪 桫 上单调递减， 故0a0 时，求函数 f(x)的单调区间； 【思路引导】 （1）先求导数，转化研究二次函数 2 yxxa=-符号变化规律：当判别式非正时，导函数不变号；当判 别式大于零时，定义域上有两个根 ，导函数符号先负再正再负. 9已知常数，函数 . (1)讨论在区间上的单调性； 【思路引导】 (1)结合函数的解析式可得，分类讨论有： 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 来源
11、:163文库 试题解析： （1） 当时， 此时，在区间上单调递增 当时，得 当时，；时，； 故在区间上单调递减，在区间上单调递增 综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上 单调递减，在区间上单调递增 点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历 届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 10已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）设函数.若对于任意，都有成立，求实数 的取值范围. 【思路引导】 （1） 代入， 求导， 可求出切线方程。（2） 因为.又因为， 的两根0，所以分与与三类讨论单调性。 （3）由成立，即 ，变形.，所以只需。
