1、 1 2016-2017 学年山西省高二下学期期中考试理科数学 一、选择题：共 12题 1 已知复数 ，若 是纯虚数，则实数 等于 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】本题主要考查纯虚数 .由题意可得 ,则 a=1. 2 用三段论推理： “ 任何实数的平方大于 ，因为 是实数，所以 ” ，你认为这个推理 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.是正确的 【答案】 A 【解析】本题主要考查三段论 ,考查了逻辑推理能力 .三段论形式正确 ,但是 ,大前提错误 ,因为任何实数的平方大于 3 函数 在 区间 上的最小值为 A. B. C. D. 【答案】 D 2 【解析】本题主
2、要考查导数与函数的性质 ,考查了利用导数求函数最值的方法 . ,当 时 , , 当时 , ,所以 x=1是函数的极小值点 ,也是函数的最小值点 ,则 x=1时 ,函数取得最小值为 0 4 曲线 与直线 围成的封闭图形的面积是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本题主要考查定积分 ,考查了曲多边形面积的求法 . 曲线 与直线 的两个交点坐标分别为 ( , ),( , ),则封闭图形的面积为5 用反证法证明命题： “ 已知 、 是自然数，若 ，则 、 中至少有一个不小于 2”提出的假设应该是 A. 、 至少有两个不小于 2 B. 、 至少有一个不小于 2 C. 、 都小于 2 D. 、
3、 至少有一个小于 2 【答案】 C 3 【解析】本题主要考查反证法 ,考查了反证法的基本证明方法与过程 .根据对立事件的思想考虑可得 ,假设应该是 : 、 都小于 2. 【备注】反证法的结论与假设可看作是两个对立事件 6 若函数 有极值，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】本题主要考查导数 ,函数的性质与极值 ,考查了转化思想与逻辑推理能力 . ,因为函数 有极值，令,且 ,所以由二次函数的性质可得 ,求解可得 7 二维空间中圆的一维测度 (周长 ) ，二维测度 (面积 ) ，观察发现 ；三维空间球的二维测度 (表面积 ) ，三维测度 (体积 ) ，观察发现 .则由
4、四维空间中 “ 超球 ” 的三维测度 ，猜想其四维测度 A. B. C. D. 4 【答案】 B 【解析】本题主要考查类比推理 ,考查了逻辑推理能力 .由题意可知 , 四维测度 的导数,则 8 已知函数 = ，若存在 使得 ，则实数 的取值范围是 A. B.( C. D. 【答案】 C 【解析】本题主要考查导数与函数的性质 ,考查了转化思想与逻辑推理能力 .令,则存在 使得,即 ,令 ,则,则函数 在 上是增函数 ,所以函数 的最大值是,则 . 9 用数学归纳法证明不等式 则 与 相比 ,不等式左边增加的项数是 A. B. C. D. 5 【答案】 D 【解析】本题主要考查数学归纳法 ,考查了
5、逻辑推理能力 .因为当 时 ,左边为,共有 项 ;当 时 ,左边为 ,共有 项 ,因此增加的项数为 ,故答案为 D. 10 设函数 的导数 的最大值为 3，则 的图象的一条对称轴的方程是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本题主要考查导数 ,三角函数的图象与性质 ,考查了逻辑推理能力与计算能力 . ,因为导数 的最大值为 3,所以 =3,则 ,令 ,则 ,令 k=0可得 ,故答案为 A. 11 把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种 A.24 B.60 C.72 D.120 【答案】 B 6 【解析】本题主要考查排
6、列与组合 ,考查了分析问题与解决问题的能力 .由题意 ,先从五节课中任选两节排数学与语文 ,剩余的三节任意排列 ,则有 种不的 排法 . 12 已知函数 = ，其中 为自然对数的底数，若 是的导函数，函数 在区间 内有两个零点，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】本题主要考查导数 ,函数的性质与零点 ,考查了转化思想与数形结合思想 ,逻辑推理能力 .由 可得 ,则= , = ,令= ,则 ,因为函数 在区间内有两个零点，所以函数 的图象在区间 内有两个不同的交点 ,如图所示 ,当 ,即 时 ,两个函数的图象最多只有 1个交点 ,不符合题意 ;当 ,即 ,故答案为A.
7、 7 二、填空题：共 4题 13 设复 数 满足 ,则 _. 【答案】 【解析】本题主要考查复数的四则运算与共轭复数 .因为 ,所以 , 则 . 14 有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 _种 . 【答案】 81 【解析】本题主要考查分步乘法计数原理 ,考查逻辑推理能力 .因为每一封信均有 3种投法 ,所以不的投法有 8 15 已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点 (1,-3)处的切线方程是 _. 【答案】 【解析】本题主要考查导数与性质的几何意义 ,函数的解析式与性质 ,考查了逻辑推理能力与计算能力 .由题意 , 当 时，则 ， ,则 ,所以曲线 在点 (1,-3
8、)处的切线的斜率 ,则切线方程为16 设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式 的解集为 _. 【答案】 【解析】本题主要考查函数的构造 ,导数与函数的性质 ,考查了逻辑推理能力 .令,在 上 ,由 ，则有，故函数 在上是减函数 ,则由不等式 可得 ,即,即不等式的解集为 三、解答题：共 4题 9 17 某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器 (如图圆 柱高为 ，半径为 ，不计厚度，单位：米 )，按计划容积为 立方米，且 ，假设建造费用仅与表面积有关 (圆柱底部不计 )，已知圆柱部分每平方米的费用为 2千元，半球部分每平方米的费用为 4千元，设该容器的建造费用为 千
9、元 . (1)求 关于 的函数关系，并求其定义域； (2)求建造费用最小时的 . 【答案】 (1) 由容积为 立方米，得 ,解得 . 又圆柱的侧面积为 ，半球的表面积为 ，所以建造费用，定义域为 . (2) ，又 ，所以 ，所以建造费用 在定义域 上单调递减，所以当 时建造费用最小 . 10 【解析】本题主要 考查导数 ,函数的解析式与性质 ,考查了分析问题与解决问题的能力 .(1) 由容积为 立方米，得 ,求出 r 的取值范围 ,再根据圆柱与球的表面各积公式 ,易得 ，定义域为 ;(2)求导并判断函数的单调性 ,则结论易得 . 18 已知 = ,其中 . (1)若 在 处取得极值，求实数 的值 . (2)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围 . 【答案】 (1) 由 可得 ； 经检验， 满足题意 . (2) 函数 在 单调递增 . 在 上恒成立 . 即 在 上恒成立 .即 = ，
