1、 1 20162017 学年度第二学期高二期中考试 文科数学 第 卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设命题 ： “ ， ” ，则 为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】 A 【解析】 由题意得，命题 ： “ ， ” ，则 为 ，故选 A. 2. 执行如下图所示程序框图，若输出的 ，则 处填入的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 第一次循环得到： ，不输出； 第二次循环得到： ，不输出； 第三次循环得到： ，不输出； 第四次循环得到： ，退出循
2、环； 因此判断框中的条件为： ，故选 B. 3. 函数 的单调递增区间为（ ） A. 和 B. 2 C. 和 D. 【答案】 C 【解析】 由题意得， ，令 ，故选 C. 4. 若 ，则 与 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由题意得， ，又因为 ，则 ，故选 B. 5. 设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，则（ ） A. 1 B. 3 C. 3或 7 D. 1或 9 【答案】 C 【解析】 由双曲线的定义得， ,又因为 ，则 . 3或 7，故选 C. 6. 设 ， ，是虚数单位，则 “ ， ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件
3、 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 当 ， 时， 成立，故充分性成立， 但当 时，则不一定有： ， ，故必要性不成立 故选 A. 7. 已知复数 ， 在复平面内对应的点关于直线 对称， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由题意得，复数 ， 在复平面内对应的点关于直线 对称， ，则 3 ，故选 D. 8. 已知 ， ， ，则下列三个数 ， ， （ ） A. 都大于 6 B. 至少有一个不大于 6 C. 都小于 6 D. 至少有一个不小于 6 【答案】 D 【解析】 假设 3个数 ， ， 都小于 6，则 利用基本不
4、等式可得， ，这与假设矛盾，故假设不成立，即 3个数 ， ， 至少有一个不小于 6， 故选 D. 点睛：本题考查反证法，考查进行简单的合情推理，属于中档题，正确运用反证法是关键 . 9. 函数 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 C 【解析】 由题意得， 则 在 和 上单调递增，在 单调递减，即 ， 因此函数 有两个零点，故选 C. 10. 过抛物线 （ ）的焦点 且倾斜角为 的直线交抛物线于 、 两点，若，则 （ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】 D 【解析】 抛物线 y2=2px(p0)的焦点坐标为 ， 直线倾斜角为 ， 直线的方程为 ： .
5、设直线与抛物线的交点为 A(x1,y1)、 B(x2,y2)， 4 |AF|=x 1+ ,|BF|=x2+ ， 联立方程组 ,消去 y并整理 ,得 12x2?20px+3p2=0， 解得 x1= ,x2= ， |AF|:|BF|=3:1 ， 故选： D. . 11. 将正奇数按如图所示的规律排列，则第 21 行从左向右的第 5个数为（ ） A. 731 B. 809 C. 852 D. 891 【答案】 B 则第 21 行从左向右的第 5个数是第 405个正奇数， 所以这个数是 2405 ?1=809. 故选： B 12. 已知数列 满足 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案
6、】 A 【解析】 由题意，对 进行变形，得 则 ，即 4个一循环，那么 ，故选 A. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，根据递推关系求出数列的循环是解决问题的关键 . 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 5 13. 复数 的共轭复数 _ 【答案】 【解析】 由题意得， ，则 14. 双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于 _ 【答案】 【解析】 由题意得，顶点坐标为 ， 渐近线方程为 ，则顶点坐标为的距离为 15. 函数 的最大值为 _ 【答案】 【解析】 由题意得， 的定义域为 ，则 ， 即 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 上有最大值，即
7、16. 已知结论：在正 中，若 是边 的中点， 是 的重心，则 .若把该结论推广到空间中，则有如下结论：在棱长都相等的四面体 中，若 的中 心为 ，四面体内部一点 到四面体各面的距离都相等，则 _ 【答案】 3 【解析】 推广到空间，则有结论： “ 3” 设正四面体 ABCD边长为 1，易求得 AM= ，又 O 到四面体各面的距离都相等， 所以 O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为 r， 则有 r= ，可求得 r即 OM= ， 所以 AO=AM-OM= ，所以 3 故答案为： 3 6 点睛：本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思
8、想属于基础题 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知是虚数单位，复数 ，若 ，求实数 ， 的值 . 【答案】 【解析】 试题分析：对复数 进行化简得 ，再将 代人到 中，即可利用复数相等的条件列出关于 a,b的二元一次方程组，解方程组求出 a,b 的值，即可完成解答 . 试题解析： . 将 代入 得 ，即. 由复数相等的定义可知 ， . 18. 已知 ， ，且 ，试用分析法证明不等式 成立 . 【答案】 见解析 【解析】 试题分析：本题要用分析法证明 ，即根据结论一步一步往前推，由于 ， ，且 ，则 ，从结论出发，要证 ，只需要证明 ，
9、即证明 或 ，进而根据已知条件证得结论 . 试题解析： 7 要证 ， 只需证 ， 只需证 ， 只需证 ，即证 或 ， 而由 ，可得 显然成立， 所以不等式 成立 . 19. 已知命题 ：函数 在 上单调递增；命题 ：关于 的方程有解 .若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围 . 【答案】 . 【解析】 试题分析：命题 p：函数 在 上单调递增，利用一次函数的单调性可得 或 ; 命题 q：关于 x的方程 有实根，可得 ，解得 ;若 “p 或 q” 为真， “p 且 q” 为假，可得 p与 q必然一真一假分类讨论解出即可 试题解析： 由已知得 ， 在 上单调递增 . 若 为真命题，则 ， ，
10、 或 ； 若 为真命题， ， ， . 为真命题， 为假命题， 、 一真一假， 当 真 假时， 或 ，即 ； 当 假 真时， ，即 . 故 . 点睛：本题考查了一次函数的单调性、一元二次方程由实数根与判别式的关系、复合命题的判定方法，考查了推理能力，属于基础题 20. 某手机生产企业为了解消费者对某款手机功能的认同情况，通过销售部随机抽取 50 名8 购买该款手机的消费者，并发出问卷调查（满分 50分），该问卷只有 30 份给予回复，这 30份的评分如下： （ ）完成下面的茎叶图，并求 16 名男消费者评分的中位数与 14 名女消费者评分的平均值； （ ）若大于 40 分为 “ 满意 ” ，否则
11、为 “ 不满意 ” ，完成上面的 列联表，并判断是否有 的把握认为消费者对该款手机的 “ 满意度 ” 与性别有关 . 参考公式： ，其中 参考数据： 【答案】 （ 1）见解析（ 2）没有 的把握 【解析】 试题分析：（ ）由茎叶图可得到 16名男消费者的中位数，同理可求出女消费者评分的平均值，根据所给 的数据可得列联表；（ ）根据列联表求出 , ，所以没有 的把握认为消费者对该款手机的 “ 满意度 ” 与性别有关 . 试题解析： （ ）茎叶图如图 . 由图可知男消费者评分的中位数是 45.5， 9 女消费者评分的平均值为 . （ ）列联表如图， ，所以没有 的把握认为消费者对该款手机的 “ 满
12、意度 ” 与性别有关 . 点睛：本题考查了古典概型，列联表，独立性检验的方法等知识，考查了学生处理数据和运算求解的能力 . 21. 已知函数 . （ ）当 时，求 的极值； （ ）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围 . 【答案】 （ 1）极大值 ，无极小值 .（ 2） 【解析】 试题分析： （ ）当 时，先由函数的解析式求出定义域，再利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出函数的极值； （ ） 由 恒成立，即恒成立 ， 令 ，再分 ， 进行讨论，从而得出实数 的取值范围 . 试题解析： （ ）当 时， ，则 ， 因为 ，所以当 时， ；当 时， . 所以 在 处取得极大值 ，无极小值 . （
13、 ） 恒成立，即 恒成立， 令 ，则 ， 当 时， ， 当 时， ，所以 ，满足题意； 10 当 时， ，所以必存在一个区间 使得 ， 所以 ，这与题意矛盾 ，所以不成立 . 综上可知 . 22. 已知椭圆 ： （ ）的焦距为 ，点 在 上 . （ ）求椭圆 的方程； （ ）设点 在 上，点 的轨迹为曲线 ，过原点作直线与曲线 交于 、 两点，点 ，证明： 为定值，并求出定值 . 【答案】 （ 1） （ 2） 3 【解析】 试题分析： （ ）由题意知： c= ，根据椭圆定义可求得 a，根据 b2=a2-c2可得 b；（ ）分直线的斜率为 0，不为 0两种情况进行讨论：当直线的斜率为 0时直接按照向量数量积运算即可；当直线的斜率不为 0时，设直线的方程为： ， ，联立直线方程与椭圆方程消掉 y得 x的一元二次方程，由韦达定理及向量数量积公式代入运算可得结论； 试题解析： （ ）由已知得 ，解得 ， 椭圆 的方程为 . （ ）由条件可得 ， 曲线 的方程为 . 当直线的斜率不存在时，不妨设 ， ，则 ， ，； 当直线的斜率存在时，设其方程为 ，可设点 ， ， 则 ， ， ， 把点 代入曲线 的方程 得 ，. 综上可知， . 点睛：本题考查椭圆方程、直线方程及其位置关系，直线与圆锥曲线的关系 ， 椭圆的标准方程 ， 考查向量的数量积运算，考查学生解决问题的能力
