1、 1 福建省厦门市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 一、选择题：本大题共 12小题每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的答案填在答卷纸上 . 1. 在复平面内，复数 11i? 对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 函数 xxxf 3)( 3 ? 的极大值点是 （ ） A 2? B 1? C 1 D 2 3 有一段 “三段论” 推理是这样的： 对于可导函数 ()fx，如果 0( ) 0fx? ? ，那么 0xx? 是函数 ()fx的极值点，因为函数 3()f x x? 在0x? 处的导数值 (0) 0f?
2、 ? ，所以， 0x? 是函数 3()f x x? 的极值点 .以上推理中 （ ） A大前提错误 B 小前提错误 C推理形式错误 D 结论正确 4 下列各式中值为 1的是 ( ) A 10xdx?B ? ?10 1x dx?C 101dx?D 1 20x dx?5 函数 ( ) ( 3) xf x x e? 的单调递增区间是 ( ) A. 2( , )? B. 03(, ) C. 14(, ) D. 2( , )? 6. 函数 y=2sinx的图 象 上一点 3( , )32? 处的切线的 倾斜角为（ ） A 34? B 4? C 23? D 56? 7.用反证法证明命题 “ 三角形的内角中至
3、少有一个角不大于 60 ” 时，应假设 ( ) A三角形的三个内角都不大于 60 B三角形的三个内角都大于 60 C三角形的三个内角至多有一个大于 60 D三角形的三个内角至少有两个大于 60 8.由直线 1, 2xx?，曲线 2yx? 及 x 轴所围图形的面积为 （ ） A 3 B 7 C 73 D 13 9 设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足： “ 当 f(k) k2成立时，总可推出 f(k 1) (k 1)2成立 ” 那么，下列命题总成立的是 ( ) A若 f(1)1 成立，则 f(9)81 成立 B若 f(2)4 成立，则 f(1) 1成立 C若 f(3) 9成立，
4、则当 k1 时，均有 f(k) k2成立 D若 f(3) 16成立，则当 k3 时，均有 f(k) k2成立 2 10 观察下列各等式： 55 4 33 4 2， 22 4 66 4 2， 77 4 11 4 2， 1010 4 2 2 4 2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为 ( ) A. nn 4 8 n8 n 4 2 B. n 1n 1 4 n 1 5n 1 4 2 C. nn 4 n 4n 4 4 2 D. n 1n 1 4 n 5n 5 4 2 11 函数 xexy ? 22 在 2,2? 的图像大致为 （ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 1 2设函数 ()y
5、f x? 在 (, )ab 上的导函数为 ()fx, ()fx在 (, )ab 上的导函数为 ()fx,若在(,)ab 上 , ( ) 0fx? 恒成立 ,则称函数函数 ()fx在 (, )ab 上为 “ 凸函数 ” 已知当 2m?时 , 3211() 62f x x mx x? ? ?在 ( 1,2)? 上是 “ 凸函数 ” 则 ()fx在 ( 1,2)? 上 ( ) A既有极大值，也有极小值 B有极大值，没有极小值 C没有极大值，有极小值 D没有极大值，也没有极小值 二、填空题： 本大题共 4小题 ,每小题 4分 ,共 16分 .将答案填在 答卷纸上 . 13 物体运动方程为 41 34S
6、t?，则 2t? 时瞬时速度为 _ 14 dxex x? ?10 )2(= 15. 函数 ( ) 2 ln(1 )f x x x? ? ?的递减区间是 16.已知 f(x)， g(x)都是定义在 R 上的函数， g(x)0 ，若 f( x)g(x) f(x)g( x)，且 f(x)ax g(x)(a 0且 a1) 及 fg f g 103，则 a的值为 _ 三、解答题 (本小题共 6小题 ,共 74分 ,解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 ) 17. （本题满分 12分） 已知 x y z 1 证 明 ： （ 1） x2 y2 z2 xy yz zx， 1yx2? 2O1yx2? 2O1
7、yx2? 2O1yx2? 2O3 （ 2） x2 y2 z2? 13 18. （本题满分 12分） 已知复数 z (2 i)m2 6m1 i 2(1 i)，当实数 m取什么值时， 复数 z是 (1)虚数， (2)纯虚数 19 （本题满分 12分） 已知函数 32()f x x ax bx c? ? ? ?在 1x? 与 2x? 处都取得极值 （ 1）求 ,ab的值及函数 ()fx的单调区间； （ 2）若对 2,3x? ，不等式 23() 2f x c c?恒成立，求 c 的取值范围 20. （本题满分 12 分） 已知数列 ?na 中， 12,1 11 ? ? nn aaa ， （ 1）求 5
8、432 , aaaa ；（ 2）猜想 na 的表达式，并用数学归纳法加以证明 . 4 21 （本题满分 12分） 已知函数 21( ) ln2f x x a x?（ a R） (1)若 ()fx在 1,e 上是增函数，求 a的取值范围； （ 2）若 1,1a x e? ? ? ,证明： )(xf232x22 （本题满分 14分） 设函数 2() mxf x e x mx? ? ? （ 1）证明： ()fx在 ( ,0)? 单调递减，在 (0, )? 单调递增； （ 2）若对于任意 12, 1,1xx? ，都有 12| ( ) ( ) | 1f x f x e? ? ?，求 m 的取值范围 20
9、16-2017学年第二学期期中考 高二数学（理科）试卷参考答案 2017年 4月 一、选择题：（本大题共 12 小题每小题 5分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A C D A B C D A D B 二、填空题：（ 本大题共 4小题 ,每小题 4分 ,共 16分） 13. 8 14. e12? 15. 1( ,1)2 16. 13 三、解答题 (本小题共 6小题 ,共 74分 ) 17. （本题满分 12分） 证明 ： x y z 1， (x y z)2 x2 y2 z2 2(xy yz zx) 1 5 又 x2 y22 xy， y2
10、 z22 yz， z2 x22 xz， 2(x2 y2 z2)2( xy yz zx)， 即 x2 y2 z2 xy yz zx， 1 x2 y2 z2 2(xy yz zx)3( x2 y2 z2) x2 y2 z2 ? 13. 18. （本题满分 12分） 解 由于 m R，复数 z可表示为 z (2 i)m2 3m(1 i) 2(1 i) (2m2 3m 2) (m2 3m 2)i， (1)当 m2 3m 2 0，即 m 2且 m 1时， z为虚数 (2)当? 2m2 3m 2 0m2 3m 2 0 ，即 m12时， z为纯虚数 19 （本题满分 12分） 解（ 1） 2( ) 3 2f
11、 x x ax b? ? ?， 由题意得： ( 1) 0(2) 0ff? ?即 3 2 012 4 0abab? ? ? ? ? ?，解得 326ab? ? ? 323( ) 62f x x x x c? ? ? ?， 2( ) 3 3 6f x x x? ? ? 令 ( ) 0fx? ，解得 12x? ? ? ，令 ( ) 0fx? ，解得 1x? 或 2x? ()fx的减区间为 ( 1,2)? ，增区间为 ( , 1)? ， (2, )? （ 2）由（ 1）知， ()fx在 ( , 1)? 上单调递增；在 ( 1,2)? 上单调递减； 在 (2, )? 上单调递增 2,3x? 时， ()f
12、x的最大值即为 (1)f? 与 (3)f 中的较大者 7( 1) 2fc? ? ? ， 9(3) 2fc? ? ，当 1x? 时， ()fx取得最大值， 要使 23() 2f x c c?，只需 2 3( 1) 2c f c? ? ? ，即 22 7 5cc? ，解得 1c? 或 72c? c 的取值范围为 7( , 1) ( , )2? ? ? 20. （本题满分 12 分） .解 6 4分 （ 2） 当 n=1时 a1=21-1=2-1=1 6分 假设 n=k时 ak=2k-1 成立 8分 则当 n=k+1时 a(k+1)=2ak+1 由 a(n+1)=2an+1而得 =2(2k-1)+1
13、 =2*2k-2+1 =2(k+1)-1 所以当 n=k+1时等式成立 10分 综上 所以 an=2n-1 12分 21（本题满分 12分）解： (1)xaxxf ? )(,且在 1,e上是增函数 , 0 恒成立， 即 a -2x在 1,e上恒成立 , a -1 （ 2）证明：当 a=1时，xxxf ln21)( 2 ?x 1,e 令 F(x)= )(f-232x=xx ln21 2 ?-232x, 0)21)(1(21)( 22 ? x xxxxxxF, F(x) 在 1,e上是减函数， F(x) F(1)=0321 ? x 1,e时，)(xf23x22 （本题满分 14分） 解（ 1）证明
14、： ( ) ( 1) 2mxf x m e x? ? ? 若 0m? ，则当 ( ,0)x? 时， 10mxe ? ， ( ) 0fx? ； 当 (0, )x? ? 时， 10mxe ? ， ( ) 0fx? ； 若 0m? ，则当 ( ,0)x? 时， 10mxe ? ， ( ) 0fx? ； 当 (0, )x? ? 时， 10mxe ? ， ( ) 0fx? ； 所以， ()fx在 ( ,0)? 时，单调递减，在 (0, )? 单调递增 （ 2）由（ 1）知，对任意的 m ， ()fx在 1,0? 单调递减，在 0,1 单调递增，故 ()fx在 0x? 处取7 得最小值 所以对任意的 12
15、, 1,1xx? ， 12| ( ) ( ) | 1f x f x e? ? ?的充分条件 是 (1) (0) 1( 1) (0) 1f f ef f e? ? ? ? ? ? ?即 11mme m ee m e? ? ? ? ? ? 设函数 ( ) 1tg t e t e? ? ? ?，则 ( ) 1tg t e? 当 0t? 时， () 0gt? ；当 0t? 时， () 0gt? ， 故 ()gt 在 ( ,0)? 单调递减，在 (0, )? 单调递增， 又 (1) 0g ? ， 1( 1) 2 0g e e? ? ? ? ?，故当 1,1t? 时， () 0gt? 当 1,1m? 时， ( ) 0gm? ，即合成成立； 当 1m? 时，由 ()gt 的单调性， ( ) 0gm? ，即 1me m e? ? ? 当 1m? 时， ( ) 0gm?，即 1me m e? ? ? ? 综上， m 的取值范围是 1,1?
