1、全国万人“新常态课堂”全国万人“新常态课堂” 精品课件 理解和把握标准中的运算能力 孙XX 中央民族大学（2015-11，杭州） 内容： 一、运算能力的历史 二、运算能力的现状 三、运算能力的内涵 四、运算能力的实现 核心概念的变化（核心内容、重要的数学学习内容） 20012001：数感数感 符号感符号感 空间观念空间观念 统计观念统计观念 应用意识应用意识 推理能力推理能力 2011版版： 数感数感 符号意识符号意识 运算能力运算能力 模型思想模型思想 空间观念空间观念 几何直观几何直观 推理能力推理能力 数据分析观念数据分析观念 应用意识应用意识 创新意识创新意识 何为运算能力运算能力：
2、标准（2011）的十个核心概念之一，是唯一新增的内 容，值得特别关注。 运算能力“主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运 算的能力。培养运算能力要有助于学生理解运算的算理， 寻求合理简洁的运算途径解决问题。” “寻找”是新提法。 一. 运算能力的历史 19011907 1923 1940 1952 2001 2011 1901-1907，小学校各科教授法中的数学教 育目标： “儿童入校之始，使知应用之方法。必备实质的陶 冶，与形式的陶冶两方面，互相联络，方有心得， 授以生活上必须之知识，谓之实质的陶冶。而算术 之本质，则为形式的陶冶。教者由浅入深，学者循 序渐进，既明且融，变化莫测，而算术之
3、能事尽 矣。” 1923年算术科课程纲要的教学要求： （1）宜注意从学生生活里使学生发展需要工具的动 机；（2）计算宜注重练习，以便养成正确而迅速的 习惯；（3）问题以切合学生生活的为主体；成人的 事务，若是学生不能想象的，虽似实用也不适宜； （4）方法、原理宜用归纳的建造，不宜用演绎的推 展。 1940年代小学算术教学法的教学注意事项 和教学原则： “教学原则（1）培养儿童计算的观念于日常生活中，实现做学 教合一；（2）设置算学的环境，将校内走廊、运动场、学校 校园，标明长阔的尺寸及其面积，各教室中标明长、阔、高及 面积与体积等；（3）教学新方法，应从实在的需要出发，使 数目的计算有相当的依
4、据，切忌选用无意义的问题；（4）练 习时宜多方变化，能利用儿童的成功的兴趣，使之自动地努力， 切忌苛责儿童过失。即使有错误，应循循善诱地推求其错误的 原因，设法消除它；（5）心算是算术的基础，笔算、珠算是 帮助心算的工具，所以三者应充分地联络，切不可故意割裂， 造成事倍功半的现象。” 19521952陈建功先生三大原则陈建功先生三大原则 心理性原则心理性原则教材的内容教材的内容，对于学生对于学生宜富于兴趣宜富于兴趣；枯燥；枯燥 无味的东西无味的东西，决不能充作教材；决不能充作教材； 论理性原则论理性原则成人所喜之推理或实用问题成人所喜之推理或实用问题，未必为未成未必为未成 年的青年所满足年的青
5、年所满足。吾人应该站在学生的立场；吾人应该站在学生的立场；顺应学生的顺应学生的 心理发展心理发展去教育学生去教育学生，才能满足他们的真实感才能满足他们的真实感。 实用性原则实用性原则某些教材某些教材, ,虽然具有高度的实用性价值或虽然具有高度的实用性价值或 高度的论理性价值高度的论理性价值, ,假使学生假使学生不发生任何真实感不发生任何真实感, ,就心理的就心理的 原则而言原则而言, ,这些教材这些教材, ,简直是没有教育的价值简直是没有教育的价值。 1952小学算术教学大纲 “在算术教学中，培养儿童有计算的熟练技巧是非常重要“在算术教学中，培养儿童有计算的熟练技巧是非常重要 的。这主要依靠各
6、种练习来完成。例如演算式题，解应用的。这主要依靠各种练习来完成。例如演算式题，解应用 题题。演算式题和解应用题的练习除在课内进行外还要在。演算式题和解应用题的练习除在课内进行外还要在 课外进行，养成巩固的熟练技巧。课外进行，养成巩固的熟练技巧。必须要求儿童在笔算必须要求儿童在笔算 和口算方面都要做到完全正确和准确，书写要工整，并对和口算方面都要做到完全正确和准确，书写要工整，并对 演算结果负责。”演算结果负责。” “无论如何不应为联系各科而破坏了算术本身的系统性“无论如何不应为联系各科而破坏了算术本身的系统性” 分析： 系1952年教育部根据苏联小学算术教学大纲全文 翻译，因此不是中国而是苏联
7、的大纲； 1950年代后的20多年，中国的算术跟着苏联走向了 “对、快、训练”的道路； 当然，有苏联的影响，也有时代的局限，但反思历 史仍有现实意义。 提出“重视口算，加强估算、提倡（鼓励）算法多样化”； 虽然“算法多样化”略显粗糙，但运算能力已经开始走上一 条新路； 2001年标准（实验稿）中的运算能力 标准（2011） 中的运算能力运算能力： 重在运算的道理及算法的发现，是“算法多样化”的新进 展（升级版 ）。 运算能力：“主要是指能够根据法则和运算律正确地进行 运算的能力。培养运算能力要有助于学生理解运算的算理， 寻求合理简洁的运算途径解决问题。” 可以概括为：理解算理、发现算法。 分析
8、： 历史告诉我们，标准2011中的运算能力并不 是从2001之后才有的； 标准2011中的运算能力算得上是中国人自己 的传统，而有些貌似传统的内容，其实是“舶来 品”，回顾历史的目的就是要把这其中的关系弄 清。 二二. . 运算能力的现状运算能力的现状 质疑的声音不少（均引自文献）： 现在新的课程标准和新的教材对计算能力的要求较 以前减弱； 最近几年学生的运算能力越来越差； 引入计算器之后，很多学生对计算器有了依赖，口 算，笔算能力都有退化的迹象； 。 问题究竟在哪里？ 以中国与日本小学生数学学力比较结果为例： 试卷A：从“知识”层面考察学生，其中包括计算题和简单 常规问题，共9大题（19小题
9、）。 试卷B：从“灵活运用”层面考察学生，题目均较贴实际生 活，题型为选择题和问答题，选择题有单项和多项，某些 问答题需要学生写出解答和思考过程。共6大题（12小题）。 测试时间：试卷A为20分钟、试卷B为40分钟。 中国与日本小学生数学学力比较结果 N 极小值 极大值 均值 标准差 偏度 中国试卷A 19 40.4 99.6 85.000 13.7639 -1.980 日本试卷A 19 54.3 98.4 82.205 13.0807 -.791 N 极小值 极大值 均值 标准差 偏度 中国试卷B 14 20.4 93.7 67.914 19.7610 -1.173 日本试卷B 14 18.
10、2 91.0 63.379 20.8857 -.810 下表分别为试卷下表分别为试卷A和试卷和试卷B的各个描述统计量的各个描述统计量 测试结果分析： 在（在（A卷）计算技能上，中国学生优于日本卷）计算技能上，中国学生优于日本，这反映了我 国算术教学的传统和优势；但中国学生在掌握一些重要的中国学生在掌握一些重要的 概念方面不如日本学生概念方面不如日本学生扎实，如关于数轴和刻度概念的理 解与应用，中国学生有明显的分数差距。 在（在（B B卷）的数学阅读和数据处理的能力上，中国学生上明卷）的数学阅读和数据处理的能力上，中国学生上明 显低于日本显低于日本，比日本学生平均低20分，其中要求读百分比 图作
11、出选择和判断，中国学生得分只有20分，比日本学生 低24分。 思考：思考： 从这个测试结果看，中国学生的机械计算能力已经较强， 是我们的强项； 解决与现实生活相关的实际问题方面能力较弱，是我们的 弱项； 据统计，当前我国小学各类数学试卷中，涉及机械计算的 题目仍占85%以上； 可见，强项仍在锦上添花，“投入与产出”之间可能存在 问题。 怎么办？怎么办？ 听听弗兰登塔尔的声音（听听弗兰登塔尔的声音（作为教育任务的数学作为教育任务的数学 (1973) (1973) ）： 为了“快“快”的教学是一种类似于把学生的教学是一种类似于把学生 训练成计算机的教育训练成计算机的教育, ,即学生只能被动的执行程
12、序即学生只能被动的执行程序, ,缺少自缺少自 己发挥主动性和创造性的空间。己发挥主动性和创造性的空间。其结果其结果, ,不仅在计算方面人不仅在计算方面人 无法与计算机相比无法与计算机相比, ,反而极大的抑制了学生主动性和创造性反而极大的抑制了学生主动性和创造性 的发展。的发展。 怎么办？再看看标准中的运算能力运算能力： 主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算 的能力。培养运算能力要有助于学生理解运算的算 理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。 注：这是一个与“主动性、创造性”密切相关的运算 能力要求。 结论： 对机械训练对机械训练“用力过度用力过度”的倾向需要调整；的倾向需要调整； 就运算能
13、力而言，就运算能力而言， 应该强项适度，弱项为要；机械训练适应该强项适度，弱项为要；机械训练适 度，理解为要；度，理解为要； 改革就是弥补弱项，要关注对算理、算法的认知，着眼改革就是弥补弱项，要关注对算理、算法的认知，着眼 “理解、寻找”；“理解、寻找”； 在课程标准中，运算能力已经成为“算法多样化的”升级在课程标准中，运算能力已经成为“算法多样化的”升级 版，但离真正成为一块学生探索、发现的沃土尚有距离。版，但离真正成为一块学生探索、发现的沃土尚有距离。 能否成为新常态？能否成为新常态？ 三、运算能力的内涵 何谓算理、何谓算法？何谓算理、何谓算法？ 算理是指算理是指： 关于什么是运算以及使运
14、算可执行依据的道理，关于什么是运算以及使运算可执行依据的道理，大体可分为大体可分为 二个层次：二个层次： 1.1.什么是运算（隐性算理）什么是运算（隐性算理） 2.2.使运算可执行所必须遵循的规则（显性算理）使运算可执行所必须遵循的规则（显性算理） 1. 什么是运算 “俩得一个”（映射俩得一个”（映射：A AA AA A； （a,ba,b） c c）；）； 两个如何得一个，如：两个如何得一个，如： 1.1.加法：加法：a ab b：从：从a a向前数到向前数到b b； 2.2.减法：减法：a ab b：从：从a a向后数到向后数到b b； 3.3.乘法：乘法：a ab b：a a个相同的数（连
15、加）向前连数个相同的数（连加）向前连数b b次；次； 4.4.除法：除法：a ab b：b b个相同的数从个相同的数从a a （连减）向后连数到不（连减）向后连数到不 够数（不够减）；够数（不够减）； 1.什么是运算 “俩得一个”（映射俩得一个”（映射：A AA AA A； （a,ba,b） c c）是）是隐性的、最具成长性的道理，隐性的、最具成长性的道理， “数（三声）”是一切“算法”之本，代数之源；数（三声）”是一切“算法”之本，代数之源； 但仅仅知道什么是运算的道理还远远不够，但仅仅知道什么是运算的道理还远远不够，“数”数” 虽是“算法”之本，但不具可行性。虽是“算法”之本，但不具可行性
16、。 2.2.什么是使运算可执行所必须遵循的规则什么是使运算可执行所必须遵循的规则 如： 十进制（位值制、位置值、进位制、10）； 相等、等式（及其性质）； 算律（交换、结合、分配）； 特殊的数（元素），如0和1； 这些使任何运算可执行必须遵循的道理，都是（显性）算理， 且最具成长性。 算理的特征： 1.算理应当是规则的不可替代（最小）集； 2.算理可以有弹性，但不要泛化。（因为算理越多， 算法越少，探索的空间就越小。） 三、运算能力的内涵 何谓算法？ 除前述“算理”之外基本都是算法； 算法即运算途径，即基于算理，能使运算合理简洁 （巧、快、灵、省）进行的方法（如：“凑十法” 中的 “想大算小”
17、；乘法口诀；竖式；通 分；） ； 算法是需要在学生寻找、发现的过程中产生。 算法的特征： 1.（无论心算、口算、笔算、整数、小数、分 数，）任何算法及其变化、演进，技巧、均基 于算理； 2.算法是技能，是经过寻找、发现得到的技能； 3.算法确立的标准是（建立在比较基础上的）合理 简洁。 思考： 运算能力是由算理到算法、从算的“慢、笨”到 “快、巧”的探索过程中逐步形成的； 运算能力离不开“对、快” 不过要在解决了“理解 和寻找”的问题之后，再适度训练，再讲究“快”； 要想清楚“训练”的教育意义，“快”要讲究依据。 四、运算能力的实现 例：639412=? 6394 6000 500 394 3
18、60 30 34 24 2 10 12 532 r. 10 6394 2400 200 3994 2400 200 1594 1200 100 394 360 30 34 24 2 10 12 532 r. 10 6394 1200 100 5194 1200 100 3994 1200 100 2794 1200 100 1594 1200 100 394 120 10 274 120 10 154 120 10 34 24 2 10 12 532 r. 10 6394 532 60 39 36 34 24 r. 10 12 3.形成合理简洁的新竖式（算法） 1. 基于算理解决问题 2.对得
19、到的竖式进行调整和加工; 4.用数学语 言精确表述 得到的新算 法; 159 0 5300 159 100 3 103 53 5459 基于算理的竖式解决问题 基于位值的一般竖式算法 53 5459 103 53 15 159 159 0 0 “理解与寻找”的结果是： 建议：建议： 运算能力，是当前教学改革需要关注的一个焦点，对教师是运算能力，是当前教学改革需要关注的一个焦点，对教师是 挑战也是机遇；挑战也是机遇； 只要给学生留出较充分的探索空间，教师再多一些恰当引导，只要给学生留出较充分的探索空间，教师再多一些恰当引导， 每个算法都可能被学生找到，运算能力能成为发现和创造的每个算法都可能被学生找到，运算能力能成为发现和创造的 富饶土壤；富饶土壤； 引导学生寻找，并不是一种比讲授更复杂的教学方式，为这引导学生寻找，并不是一种比讲授更复杂的教学方式，为这 种教学方式的常态化而努力是值得的。种教学方式的常态化而努力是值得的。 建议： 我们应当站在新的历史起点上为运算能力的教育价 值定位 我们要从学生的全面发展、健康成长出发思考运算 能力的培养问题 围绕运算能力的探讨与实践是提升教师教学能力、 实现新常态的重要抓手！ 谢 谢 大 家
