1、绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数 学 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 考生注意： 1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规 定的位置上。 2答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的 作答一律无效。 参考公式：参考公式： 如果事件 A， B 互斥， 那么 ()( )( )P ABP AP B 如果事件 A， B 相互独立， 那么 ()( )
2、 ( )P ABP A P B 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( )C(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kppkn 台体的体积公式 1122 1 () 3 VSS SSh 其中 12 ,S S分别表示台体的上、下底面积，h表示 台体的高 柱体的体积公式VSh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式 2 4SR 球的体积公式 3 4 3 VR 其中R表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题
3、，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1已知集合 P= |14xx，Q= |23xx，则 PIQ= A |1 2xx B |23xx C |3 4xx D |14xx 2已知 aR，若 a1+(a2)i(i 为虚数单位)是实数，则 a= A1 B1 C2 D2 3若实数 x，y 满足约束条件 310 30 xy xy ，则 2zxy 的取值范围是 A( ,4 B4,) C5,) D(,) 4函数 y=xcos x+sin x 在区间，上的图象可能是 5某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是 A 7 3 B14
4、 3 C3 D6 6已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n“l ，m，n 共面”是“l ，m，n 两两相交”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7已知等差数列an的前n项和为Sn，公差0d ，且 1 1 a d 记 12 bS ， 1222 nnn bSS ，n N，下列 等式不可能 成立的是 A 426 2aaa B 426 2bbb C 2 428 aa a D 2 42 8 bb b 8已知点O（0，0），A（2，0），B（2，0）设点P满足|PA|PB|=2，且P为函数 2 3 4yx 图象上 的点，则|OP|= A 22 2 B 4 1
5、0 5 C 7 D10 9已知 a，bR 且 ab0，对于任意 x0 均有(xa)(xb)(x2ab)0，则 Aa0 Cb0 10设集合 S，T，SN*，TN*，S，T 中至少有 2 个元素，且 S，T 满足：对于任意的 x，yS，若 xy， 则 xyT；对于任意的 x，yT，若 xy，则 y x S下列命题正确的是 A若 S 有 4 个元素，则 ST 有 7 个元素 B若 S 有 4 个元素，则 ST 有 6 个元素 C若 S 有 3 个元素，则 ST 有 5 个元素 D若 S 有 3 个元素，则 ST 有 4 个元素 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每
6、题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11 我国古代数学家杨辉， 朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题， 如数列 (1) 2 n n 就是二阶等差数列 数 列 * (1) () 2 n n n N的前 3 项和是_ 12二项展开式 2345 0123 5 45 (2 )1xaa xa xa xa xa x，则 4 a _， 135 aaa_ 13已知tan2，则cos2_， tan() 4 _ 14已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单 位：cm）是_ 15已知直线 (0)ykxb k 与圆 22 1xy和圆 22 (4)1xy均相
7、切，则k _，b=_ 16盒中有 4 个球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球从盒中随机取球，每次取 1 个，不放回，直到取 出红球为止设此过程中取到黄球的个数为，则 (0)P_，( )E_ 17 已知平面单位向量 1 e， 2 e满足 12 2|2|ee 设 12 aee， 12 3bee， 向量a，b的夹角为， 则 2 c o s 的最小值是_ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18（本题满分14分） 在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知2 sin30bAa （）求角B的大小； （）求cosA+cosB+cos
8、C的取值范围 19（本题满分15分） 如图，在三棱台ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACB=ACD=45，DC=2BC （）证明：EFDB； （）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值 20（本题满分 15 分） 已知数列an，bn，cn满足 11111 2 1, n nnnnn n b abccaa cc n b * N （）若bn为等比数列，公比0q ，且 123 6bbb ，求 q 的值及数列an的通项公式； （）若bn为等差数列，公差0d ，证明： * 123 1 1, n ccccn d N 21（本题满分 15 分） 如图，已知椭圆 2 2 1: 1 2 x Cy，抛物线 2
9、 2: 2(0)Cypx p，点 A 是椭圆 1 C与抛物线 2 C的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 1 C于点 B，交抛物线 2 C于点 M（B，M 不同于 A） （）若 1 16 p ，求抛物线 2 C的焦点坐标； （）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值 22（本题满分 15 分） 已知12a，函数 exf xxa，其中 e=2.71828是自然对数的底数 （）证明：函数 yf x 在(0, )上有唯一零点； （）记 x0为函数 yf x在(0,)上的零点，证明： （） 0 12(1)axa ； （） 0 0 (e )(e 1)(1) x x fa
10、a 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，共 40 分。 1B 2C 3B 4A 5A 6B 7D 8D 9C 10A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 1110 1280,122 13 3 1 , 5 3 141 15 32 3 , 33 16 1 ,1 3 17 28 29 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。 18本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识，同时考查数学运算等素养。满分 14 分。 （）由正弦定理得2sinsin3sinBAA，故 3 sin 2 B ， 由题意得 3
11、 B . （）由ABC得 2 3 CA， 由ABC是锐角三角形得 (,) 6 2 A. 由 213 coscos()cossin 322 CAAA 得 311131 3 coscoscossincossin()(, 2226222 ABCAAA . 故coscoscosABC的取值范围是 31 3 (, 22 . 19本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查直观想象和数学 运算等素养。满分 15 分。 （）如图，过点 D 作DOAC，交直线 AC 于点O，连结 OB. 由45ACD，DOAC得2CDCO， 由平面 ACFD平面 ABC 得 DO平面 ABC，所
12、以DOBC. 由45ACB， 12 22 BCCDCO得BOBC. 所以 BC平面 BDO，故 BCDB. 由三棱台ABCDEF得BCEF，所以EFDB. （）方法一： 过点O作OHBD，交直线 BD 于点H，连结CH. 由三棱台ABCDEF得DFCO，所以直线 DF 与平面 DBC 所成角等于直线 CO 与平面 DBC 所成角. 由BC 平面BDO得OHBC，故OH 平面 BCD，所以OCH为直线 CO 与平面 DBC 所成角. 设2 2CD . 由2,2DOOCBOBC，得 2 6,3 3 BDOH， 所以 3 sin 3 OH OCH OC ， 因此，直线 DF 与平面 DBC 所成角的
13、正弦值为 3 3 . 方法二： 由三棱台ABCDEF得DFCO， 所以直线 DF 与平面 DBC 所成角等于直线 CO 与平面 DBC 所成角， 记为. 如图，以O为原点，分别以射线 OC，OD 为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz. 设2 2CD . 由题意知各点坐标如下： (0,0,0), (1,1,0), (0,2,0),(0,0,2)OBCD. 因此(0,2,0),( 1,1,0),(0, 2,2)OCBCCD . 设平面 BCD 的法向量 ( , ,z)x yn. 由 0, 0, BC CD n n 即 0 220 xy yz ，可取 (1,1,1)n. 所以 |3
14、sin|cos,| 3| | OC OC OC n| n n| . 因此，直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值为 3 3 . 20本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查数学运算和逻辑推理等素养。满分 15 分。 （）由 123 6bbb 得 2 16qq，解得 1 2 q 由 1 4 nn cc 得 1 4n n c 由 1 1 4n nn aa 得 1 2 1 42 144 3 n n n aa （）由1 2 n nn n b cc b 得 1 2 1 11 111 () n nnnn bb cd c b bdbb ， 所以123 1 11 (1) n n d cccc d
15、b ， 由 1 1b ，0d 得 1 0 n b ，因此 * 123 1 1, n ccccn d N 21本题主要考查抛物线的几何性质，直线与椭圆、抛物线的位置关系等基础知识，同时考查数学抽象、 数学运算与逻辑推理等素养。满分 15 分。 （）由 1 16 p 得 2 C的焦点坐标是 1 (,0) 32 （）由题意可设直线: (0,0)l xmyt mt ，点 00 (,)A xy 将直线l的方程代入椭圆 2 2 1: 1 2 x Cy得 222 (2)220mymtyt， 所以点M的纵坐标 2 2 M mt y m 将直线l的方程代入抛物线 2 2: 2Cypx得 2 220ypmypt，
16、 所以 0 2 M y ypt ，解得 2 0 2 (2)p m y m ， 因此 22 0 2 2 (2)p m x m 由 2 20 0 1 2 x y得 24 2 122 4()2()160mm pmm ， 所以当2m ， 10 5 t 时， p取到最大值 10 40 22本题主要考查函数的单调性、零点，导数的运算及其应用，同时考查数学抽象、逻辑推理与数学运算 等素养。满分 15 分。 （）因为 (0)10fa ， 22 (2)e2e40fa，所以 ( )yf x 在(0, )上存在零点 因为( )e1 x fx，所以当0 x 时， ( )0fx ，故函数 ( )f x在0,)上单调递增
17、， 所以函数以 ( )yf x 在(0, )上有唯一零点 （） （）令 2 1 ( )e1(0) 2 x g xxxx，( )e1( )1 x g xxf xa ， 由（）知函数 ( )g x在0,)上单调递增，故当0 x 时， ( )(0)0g xg ， 所以函数 ( )g x在0,)单调递增，故( )(0)0g xg 由( 2(1)0ga 得 2(1) 0 ( 2(1)e2(1)0() a faaaf x ， 因为 ( )f x在0,)单调递增，故 0 2(1)ax 令 2 ( )e1(01) x h xxxx，( )e21 x h xx， 令 1( ) e21(01) x h xxx，
18、1( ) e2 x h x ，所以 x 0 (0,ln2) ln2 (ln2,1) 1 1( ) h x 1 0 e2 1( ) h x 0 e3 故当01x时， 1( ) 0h x ，即 ( )0h x ，所以 ( )h x在0,1单调递减， 因此当01x时， ( )(0)0h xh 由(1)0ha 得 1 0 (1)e10() a faaaf x ， 因为 ( )f x在0,)单调递增，故 0 1ax 综上， 0 12(1)axa （）令( )e(e 1)1 x u xx，( )e(e 1) x u x ，所以当1x 时， ( )0u x ， 故函数( ) u x在区间1,)上单调递增，因此( )(1)0u xu 由 0 0 exxa可得 0 22 000000 (e )()(e1)(e2)(e 1) xaa x fx f xaxaxax， 由 0 1xa得 0 0 (e )(e 1)(1) x x faa
