1、 1 湖北省长阳县 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文 一、选择题： 1 设集合 | 2 0 1 7 , | 0 1M x x N x x? ? ? ? ?，则下列关系中正确的是（ ） A M N R? B | 0 1M N x x? ? ? C NM? D MN? 2 已知命题 p ： ,x R$? 使 1sin 2xx0” 是 “ 22ab? ” 的（ ） A.充分 而 不 必要条件 B.必要 而不 必要条件 C.充分必要 条件 D.既不 充分不必要条件 4. 已知 函数 ? ?26 logf x xx?， 在下列区间中，包含 ?fx零点 的区间是（ ） A.? ?0,1 B
2、.? ?1,2 C.? ?2,4 D.? ?4,? 5若函数 f(x) sinx 3cosx ， x R，又 f(xB1B) 2， f(xB2B) 0，且 |xB1B xB2B|的最小值为 34 ，则正数 的值为 ( ) A.13 B.23 C.43 D.32 6. 若( ) 3 4 , , ,i x yi i x y R? ? ? ?则复数x yi?的 模是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 7 在函数 ()y f x? 的图象上有点列 ( , )nnxy ，若数列 nx 是等差数列，数列 ny 是等 比数列，则函数 ()y f x? 的解析式可 以 为 ( ) A ( ) 2 1f x
3、 x? B 2( ) 4f x x? 开始 输入 x k=0 x=2x+1 k=k+1 x115? . O D A B 输出 x,k 结束 否 是 输出 k 2 C 3( ) logf x x? D 3( ) ( )4 xfx? 8如图，已知 P是边长为 2的正三角形的边 BC上的动点 ，则 ()AP AB AC?（ ） A最大值 为 8 是定值 6 最小值为 2 . 与 P的位置有关 9 按下图所示的程 序框图运算：若输出 k 2，则输入 x的取值范围是 （ ） A (20,25 B (30,32 C (28,57 D (30,57 10当实数 ,xy满足不等式 0022xyxy?时，恒有
4、2ax y? 成立，则实数 a 的取值集合 是（ ） A (0,1 B ( ,1? C (1,1? D (1,2) 11已知 F 是双曲线 22 1( 0, 0 )xy abab? ? ? ?的左焦点， E 是双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 ,AB两点，若 ABE? 是锐角三角形，则该双曲 线的离心率 e 的取值范围为（ ） A (1,2) B (1, 2) C (1,3) D (1, 3) 12若函数 2( ) 2 lnf x x x?在其定义域的一个子区间 ( 1, 1)kk?内存在最小值，则实数 k 的取值范围是（ ） . 3 A 1, )? B 31, )
5、2 C 1,2) D 3 , 2)2 二、填空题： 13 若函数 ( ) ( 0xf x a x a a? ? ? ?且 1)a? 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 14. 在在 ABC? 中，内角 A,B,C所对应的边分别为 , cba ，若 32ab? ， 则 2222sin sinsinBAA?的值为 15 7.已知 圆 ? ? ? ?22: 3 4 1C x y? ? ? ?和 两点 ? ?,0Am? ， ? ? ?,0 0B m m ? ， 若圆 C 上 存在点 P ，使得 90APB?， 则 m 的 最大 值为 16 所有真 约数（ 除 本身 之外的正 约数）的和等于它本身的
6、正整数 叫做完全数 如： 6=1 2 3? ； 28=1 2 4 7 14?； 4 9 6 = 1 2 4 8 1 6 3 1 6 2 1 2 4 2 4 8? ? ? ? ? ? ? ? 已经证明：若 21n? 是质数，则 12 (2 1)nn? ? 是完全数， n ?N .请写出一个四位完全数 ；又 6 2 3?，所以 6 的所有正约数之和可表示为 (1 2) (1 3)? ? ? ； 228 2 7?，所以 28 的所有正约数之和可表示为 2(1 2 2 ) (1 7)? ? ? ?；按此规律，请写出所给的四位数的所有正约数之和可 表示 为 （请参照 6与 28 的形式给出） 三、解答题
7、： 17.（本小题满分 10分） 已 知函数 2( ) 2 3 s in c o s 2 c o s 1f x x x x? ? ? （ 1） 求函数 )(xf 的最小正周期及单调递增区间； （ 2） 在 ABC? 中，若 ( ) 22Af ? , 1b? ， 2c? ，求 a 的值 . 4 18（本小题满分 12分） .已知 ?na 是等差 数列，满足 1 3a? ， 4 12a? ， 数列 ?nb 满足 1 4b? ， 4 20b? ， 且 ? ?nnba? 是 等比数列 . （ 1） 求 数列 ?na 和 ?nb 的 通项公式； （ 2） 求数列 ?nb 的 前 n 项 和 . 19.
8、（本小题满分 12 分） 从某校随机抽取 100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： （ 1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12小时的概率； （ 2）求频率分布直方图中的 a， b的值； （ 3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 20 （本小题满分 12分） 一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，其中俯视图中 060DAB? E为侧棱 PD的中点 （ 1）求证： PB/平面 AEC； 5 AABCDP PD B
9、CP1222260正 视 图 侧 视 图俯 视 图ABCDFEP（ 2）若 F为侧棱 PA上的一点，且 PFFA? ， 则 ? 为何值时， PA? 平面 BDF？并求此时几何体 F BDC的体积 21（本题满分 12分） 已知抛物线 21 : 2 ( 0)C y px p?的焦点 F 以及椭圆 222 : 1 ( 0 )yxC a bab? ? ? ?的上、下焦点及左、右顶点均在圆 22:1O x y?上 （ 1）求 抛物线 1C 和 椭圆 2C 的标准方程； （ 2）过点 F 的直线交抛物线 1C 于 ,AB两不同点，交 y 轴于点 N ，已知 12,N A AF N B BF?，求 12?
10、 的值； 22 （本题满分 12分） 已知函数 2( ) 2 ,f x x x? ( ) exg x x? . 6 （ 1）求 ( ) ( )f x g x? 的极值； （ 2）当 ( 2,0)x? 时， ( ) 1 ( )f x ag x? 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 7 高二数学（文） 参考答案 B DAC B DDB CBAB 13 1a? 14. 72 15 6 16 8128 2 3 4 5 6(1 2 2 2 2 2 2 ) (1 1 2 7 )? ? ? ? ? ? ? ? 【解析】若 21n? 是质数，则 12 (2 1)nn? ? 是完全数，中令 7n? 可得一个四位
11、完全数为64 127 8128? 。由题意可令 8128 6 7 62 (2 1) 2 127? ? ? ? 其所有正约数之和为 2 3 4 5 6(1 2 2 2 2 2 2 ) (1 1 2 7 )? ? ? ? ? ? ? ? 17 解： （ 1） 3 2 2( ) s i n c o sf x x x? 22 6sin( )x ? 2T ? ? 由 2 2 22 6 2k x k? ? ? ? ? ? ?得， 63k x k? ? ? ?( Zk? ).， 故 )(xf 的单调递增区间为63,kk?( Zk? ). 5分 （ 2） 22Af ?() ,则 2sin( ) 26A ? s
12、in( ) 16A ? 22 , 2 ,6 2 3A k A k k Z? ? ? ? ? ? ? ? ? 又 20, 3AA ? ? ? ? 2 2 2 2 co s 7a b c bc A? ? ? ? 7a? 10 分 8 18. .解：（ I） 设等差 数列 ?na 的公差为 d ，由题意得： 41 12 3 333aad ? ? ? ?， 所以 1 ( 1 ) 3 ( 1, 2 , )na a n d n n? ? ? ? ? L， 设 等比数列 ? ?nnba? 的公比为 q ，由题意得： 3 44112 0 1 2 843baq ba? ? ? ?，解得 2q? . 所以 111
13、1( ) 2nnnnb a b a q ? ? ? ?，从而 13 2 ( 1, 2, )nnb n n? ? L. 6 分 （ II）由（ 1）知， 13 2 ( 1, 2, )nnb n n? ? ? L， 数列 ?3n 的前 n项和为 3 ( 1)2nn? ，数列 ? ?12n? 的前 n项和为 121 2 112n n? ? ? ， 所以数列 ?nb 的前 n项和为 3 ( 1) 2 12 nnn? ? ? .12分 19.解：（ 1）根据频数分布表， 100名学生中 课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有 6=2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于 12小时的频率 是 1
14、01 0.9100?.从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于 12小时的概率为0.9 . 4分 （ 2） 课外阅读时间落在组 4,6) 的有 17 人，频率为 0.17 ，所以 0 .1 7 0 .0 8 52a ? ? ?频 率组 距， 课外阅读时间落在组 8,10) 的有 25人，频率为 0.25 ，所以 0 .2 5 0 .1 2 52b ? ? ?频 率组 距. 8分 （ 3） 估计 样本中的 100名学生 课外阅读时间的平均数在第 4组 . 12分 20（ 1）由图形可知该四棱锥和底面 ABCD是菱形，且有一角为 60 ，边长为 2， 锥体高度为 1。 设 AC，
15、BD和交点为 O，连 OE， OE 为 DPB的中位线， OE/PB， EO? 面 EAC， PB? 面 EAC内， ?PB/面 AEC 4 分 （ 2）过 O作 OF? PA垂足为 F 在 Rt POA中， PO=1， AO= 3 ， PA=2， PO2=PF PA， 2PF=1 9 1 3 1,2 2 3PFPF FA FA? ? ? ?在棱形中 BD? AC，又因为 PO? 面 ABCD，所以 BD? PO， 及 BD? 面 APO，所以 PA? 平面 BDF 当 13PFFA?时，在 POA中过 F作 FH/PO，则 FH? 面 BCD， FH=3344PO? 1 1 1 3 32 3
16、 , 32 3 3 4 4B C D B C DS V S F H? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 12分 21 解：（ 1）由抛物线 21 : 2 ( 0)C y px p?的焦点 ( ,0)2pF 在 圆 22:1O x y?上 得： 2 14p? ，2p?，抛物线 21:4C y x? 同理由椭 圆 222 : 1 ( 0 )yxC a bab? ? ? ?的上、下焦点 (0, ),(0, )cc? 及左、右顶点 ( ,0),( ,0)bb? 均在圆 22:1O x y? 上 可 解 得 ： 1, 2b c a? ? ? ? 得 椭 圆222 :12yCx? 5分 （ 2）设
17、直线 AB 的方程为 1 1 2 2( 1), ( , ), ( , )y k x A x y B x y? ，则 (0, )Nk? 联立方程组 2 4( 1)yxy k x? ? ?，消去 y 得： 2 2 2 2(2 4 ) 0 ,k x k x k? ? ? ? 216 16 0,k? ? ? ?且212 212241kxxkxx? ? ?由 12,N A AF N B BF?得： 1 1 1 2 2 2(1 ) , (1 ) ,x x x x? ? ? ? 整理得： 1212,11xx?221 2 1 212 21 2 1 2224 22 1241 ( ) 11kx x x x kkx x x xk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 10 22.解：
