1、 1 2016 2017年度高中二年级第二学期期中考试 数学试卷（文科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共 150 分。考试时间 120分钟。 第卷 （客观题 共 60 分） 一、选择题（本题共 60 分，每小题 5分） 1 设复数 iiz 510)2( ? （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数 z 为（ ） A i43? B i43? C i43? D i43? 2 “ 所有 9的倍数都是 3的倍数，某奇数是 9的倍数，故某奇数是 3的倍数 ” 上述 推理是 （ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D没有错误 3.极坐标方程 ( 1)( ) 0( 0)? ?
2、 ? ? ? ? ?表示的图形是（ ） A两个圆 B两条直线 C.一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线 4.用反证法证明“方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ?至多 有两个解 ” 的假设中 ， 正确的是（ ） A至多有一个解 B有且只有两个解 C至少有三个解 D至少有两个解 5. 若不等式 42?ax 的解集为 )3,1(? ，则实数 a 等于 ( ) A 8 B 2 C 4? D 2? 6.已知 0, 0ab?，且 4a b ab? ，则 ab? 的最小值为（ ） A 4 B 9 C 10 D 4 7. 点 P 所在轨迹的极坐标方程为 2cos? ，点 Q 所在轨迹的 参数方
3、程为 333xtyt?（ t 为参数），则 |PQ 的最小值是（ ） A 2 B 312? C. 1 D 312? 8. 已知 , , 0,abc? ，且 2 2 2 3,abc? ? ? 则 ab bc ca?的最大值为（ ） A 3 B. 333 C. 1 D. 0 2 9. 若直线1 1 2 ,: 2,xtl y kt? ?（ t为参数）与直线2 ,: 1 2 ,xsl ys? ?（ s为参数）垂直， k 的值是（ ） A. 1 B. 1? C. 2 D. 2? 10.设集合 ? ?1,A x x a x R? ? ? ?， ? ?2,B x x b x R? ? ? ?.若 AB? ，
4、则实数 ,ab必满足 （ ） A. 3ab? B. 3ab? C. 3ab? D. 3ab? 11.点集 ? ? 3 c o s ,03 s in ,xM x y y ? ? ? ? ? ? ? ?是 参 数 ， ? ? ?bxyyxN ? , ，若 ?NM ，则则 b 应满足（ ） A. 233 ? b B. 230 ?b C. 323 ? b D. 2323 ? b 12.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有 3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有 4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这 4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结
5、束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且 3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为 n ，则 n? （ ） A 15 B 11 C. 8 D 7 第卷 （共 90分） 二、填空题（本题共 20 分，每小题 5分） 13.圆心的极坐标为 (3, )6C ? ，半径为 3的圆的极坐标方程是 14. 在复平面内平行四边形 ABCD的三个顶点 A、 B、 C对应的复数分别是 13,i? ,i? 2,i?则点 D对应的复数为 3 15利用数学归纳法证明不等式 111 23? ? ? ? 1 ( )( 2 , )21n f n n n N
6、 ? ? ? ?的过程，由nk? 到 1nk?时，左边增加了 _项 16.若对于任意非零实数 m ，不等式 2 1 1 ( 1 2 3 )m m m x x? ? ? ? ? ? ?恒成立，则实数 x的取值范围 三、解答题 17.（本题 10 分）已知复数 2124 ( 2 ) , 2 s i n ( c o s 2 )z m m i z i? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，（其中 i 是虚数单位， ,mR? ） . （ 1）若 1z 为纯虚数，求实数 m 的值； （ 2）若 12zz? ，求实数 ? 的取值范围 . 18.(本题 12 分 ) 在 平面直角 坐标系 xOy 中 ， 已知
7、 直线 l 过点 ( 3,2)P ，倾斜角为 60 ；以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2241 sin? ? ? (1)求 曲线 C 的 直角 坐标方程 ； (2)设 直线 l 与曲线 C 于 A、 B两点 ， 求 PA PB? 的值 19.(本题 12 分 ) 已知 函数 ( ) 2 1 4f x x x? ? ? ? (1)解不等式 ( ) 0fx? ； (2)若 存在 ? ?0 7,7x ? ，使得0 212) 4( mfx m?成立， 求 实数 m 的取值范围 20. 如 图 四 棱 锥 P ABCD? 中 ， 底
8、面 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， ABC?60 ，4 2,AB PA 1AD ? ? ?,且 . PA? 平面 ABCD . （ 1）求证： PB AC? ； （ 2）求顶点 A 到平面 PCD 的距离 . 21.极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，已知曲线 1C 的极坐标方程为 4cos? ，曲线 2C 的参数方程为 cossinx m tyt ? ?（ t 为参数， 0 ?），射线 ,44? ? ? ? ? ? ? ? ? ?与曲线 1C 交于（不包括极点 O ）三点 A 、B 、 C . （ 1）求证： O B O C 2
9、O A? ； （ 2）当 12? 时， B,C 两点在曲线 2C 上，求 m 与 ? 的值 . 22. 已知 函数 ( ) 1 2 ,f x m x x m R? ? ? ? ? ?，且 ( 1) 0fx?的解集为 ? ?0,1 . (1)求 m 的值； (2)若 , , , , ,a b c x y z R?，且 2 2 2 2 2 2 ,x y z a b c m? ? ? ? ? ?求证： 1ax by cz? ? ? A B C D 5 2016 2017年度高中二年级第二学期期中考试 数学试卷（文科）答案 一、选择题 1-5 ADCCD 6-10 BCABD 11-12 AB 二、填
10、空题 13 、 6cos( )6? 14、 35i? 15、 2k 16、 ? ? ? ?, 3 1,? ? ? ? ? 三、解答题 17. (本题满分 10分 ) 解： （ I） 因为 z1为纯虚数，则 ?4 m2 0，m 2 0， ? 解得： m 2 （ II） 由 z1 z2，知 ?4 m2 2sin ，m 2 cos 2， ? 4 cos2 2sin sin2 2sin 3 (sin 1)2 2； ? . 因为 sin 1,1，所以 (sin 1)2 2 2， 6. 18 （本小题满分 12分） 解： （ I） 由 2 1 sin2 知， 2 2sin2 4，? 所以 曲线 C的直角坐
11、标方程 为 x24y22 1. ? （ ） 已知 直线 l过点 P( 3， 2)，倾斜角为 60，所以 直线的 参数方程 可设 为： ?x 3 12t，y 2 32 t（ t为参数 ）， 代入 曲线 C的直角坐标方程 x24y22 1得： 7t2 20 3t 28 0，? 设 A、 B两点对应的参数为 t1、 t2，则 t1t2 4，故 |PA| |PB| |t1t2| 4. 19. （本小题满分 12 分） 6 解：（ I） 由 f(x) |2x 1| |x 4|? x 5 x 1 2 ，3x 3 1 2 x 4，x+5 x ? 解得： x|x 5或 x 1； （ ） 当 x0 7， 7时，
12、 f(x0) 9 2 ， 12，? 由题意知， 9 2 4m 1 2 m2，即 m2 8m 9 0， 解得： 1 m 9 20. (本题满分 12分 ) 证明： (I) PA平面 ABCD， AC?平面 ABCD， PA AC；? 2分 在 ABC中， ABC=60 ， BC 2， AB=， AC2 AB2 BC2 2 AB BC cos60 1 4 2 3， 则 AB2 AC2 BC2， AB AC；? 4分 又 PA AB A，则 PB AC； 6分 ( )由 (I)知 : AC CD，又 PA CD，则 CD平面 PAC， CD?平面 PCD，平面 PCD平面 PAC； 8分 过 A作
13、AH PC，垂足为 H，则 AH平面 PCD；? 10 分 在 Rt PAC中， AH PA ACPC 32 即 A到平面 PCD的距离为 32 12 分 21. (本题满分 12分 ) 解： （ 1） 设点 A,B,C 的极坐标分别为1 2 3( , ), ( , ), ( , )44? ? ? ? ? ?.? 2分 点 A,B,C 在曲线 1C 上， 1 2 34 c o s , 4 c o s ( ) , 4 c o s ( ) ,44? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4分 2 3 1O B O C 4 c o s ( ) 4 c o s ( ) 4 2 c o s 244? ?
14、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 O B O C 2 O A? 6分 （ 2） 由 2C 的方程知 2C 的倾斜角为 ? ，过定点 ( ,0)m ， ? 7分 A B C D 7 当 12? 时， B,C 的极坐标分别为 (2, ),(2 3, )36?， ? .9分 化为直角坐标为 B(1, 3),C(3, 3)? 10 分 斜率 tan 3k ? ? ， 0 ?， 23? 12 分 22. (本题满分 12 分 ) 解： （ 1） ( 1) 0fx?， 1x x m? ? ? . 当 1m? 时， 11xx? ? ? ，不等式 1x x m? ? ? 的解集为 ? ，不
15、符题意 . 当 1m? 时， 当 0x? 时，得 12mx ? ， 1 02m x? ? 3分 当 01x?时，得 1x x m? ? ? ，即 1m? 恒成立 4分 当 1x? 时，得 12mx ? ， 11 2mx ? 5分 综上， 1x x m? ? ? 的解集为 1122mmxx? ? ? ?.由题意得1 021 12mm? ? ?， 1m? 6分 （ 2） 2 2 2 2 2 22 , 2 , 2 ,x a a x y b b y z c c z? ? ? ? ? ? 8分 2 2 2 2 2 2 2 ( )a b c x y z a x b y c z? ? ? ? ? ? ? ?， ? .10分 由 （ 1） 可知 2 2 2 2 2 2 1,x y z a b c? ? ? ? ? ? 2( ) 2,ax by cz? ? ? 1ax by cz? ? ? 12分
