1、 - 1 - 河北省景县梁集中学 2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文 第 I卷（选择题） 一、单选题（每题 5分，共 60 分） 1 命题 “ 20 , 2 3 0x x x? ? ? ? ?” 的否定是 A. 20, 2 3 0x x x? ? ? ? ? B. 20 , 2 3 0x x x? ? ? ? ? C. 20, 2 3 0x x x? ? ? ? ? D. 20 , 2 3 0x x x? ? ? ? ? 2 “ 1xm?或 1xm?” 是 “ 2 2 3 0xx? ? ? ” 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围（ ） A. ? ?0,2 B. ? ?0,2
2、 C. ? ?0,2 D. ? ?0,2 3 给出如下四个命题： 若 “ 或 ” 为假命题，则 ， 均为假命题； 命题 “ 若 且 ，则 ” 的否命题为 “ 若 ，则 ” ； 在 中， “ ” 是 “ ” 的充要条件； 命题 “ 若 ” 的逆否命题为真命题。其中正确命题的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4 在极坐标系中，圆 cos3?的圆心的极坐标为（ ） A. 1,23?B. 1,23?C. 1,3?D. 1,3?5 已知 M 为曲线 C ： 3, x cosy sin ?（ ? 为参数）上的动点设 O 为原点，则 OM 的最大值是 A. 1 B. 2 C. 3 D.
3、4 6 椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则 的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 7 过抛物线 ： 的焦点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，且 ，则原点到 的距离- 2 - 为（ ） A. B. C. D. 8 由命题 “ 存在 ，使 ” 是假命题， 得 的取值范围是 ，则实数 的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 9 过双曲线 的右焦点 作 轴的垂线与双曲线交于 两点， 为坐标原点，若 的面积为 ，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. 10 若函数 在 内无极值，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11 已知当 x 时 ,a +ln x恒成
4、立 ,则 a的最大值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12 若 的定义域为 ， 恒成立， ，则 的解集为（ ） A. B. C. D. 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（每题 5分，共 20 分） 13 若双曲线 的离心率为 ，则 的值为 _ 14 已知函数 . 当 时，曲线 在 处的切线方程为 _ 15 在极坐标系中，点 2,6?到直线 ? ?33cos sin? ? ?的距离为 _ - 3 - 16 已知 ? ?,Pxy 是椭圆 22143xy?上的一个动点 ， 则 xy? 的最大值是 _ 三、解答题（ 70分） 17 (10分 )已知函数 . （ ）若 在 上是增函
5、数，求 的范围； （ ）若 是 的极值点，求 在 上的最大值 . 18 （ 12分） 已知函数 . （ 1）当 时，求函数 的单调区间； （ 2）函数 在 上是减函数，求实数 a的取值范围 . 19 （ 12分） 在极坐标系中，曲线 1C 的极坐标方程是 244cos 3sin? ? ? ，以极点为原点 O ，极轴为 x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系 xOy 中，曲线 2C 的参数方程为： x cosy sin?（ ? 为参数） . （ 1）求曲线 1C 的直角坐标方程与曲线 2C 的普通方程； （ 2）将曲线 2C 经过伸缩变换 2 2 2xxyy?后得到曲线 3C ，若
6、 M ， N 分别是曲线 1C 和曲线 3C 上的动点，求 MN 的最小值 . 20 （ 12分） 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 为参数，直线 和圆 交于 ， 两点 . （ 1）求圆 的直角坐标方程； （ 2）设 上一定点 ，求 的值 . - 4 - 21 （ 12分） 已知椭圆 C1的方程为 2 2 14x y?，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、 右顶点，而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点， O为坐标原点 (1)求双曲线 C2的方程； (2)若直线 l： y kx 2 与双曲线 C2恒有两个不同
7、的交点 A 和 B，且 2OA OB?，求 k 的取值范围 22 （ 12 分） 已知中心为坐标原点 O ，焦点在 y 轴上的椭圆 M 的焦距为 4，且椭圆 M 过点? ?1, 3 . （ 1）求椭圆 M 的方程； （ 2）若过点 ? ?0,1C 的直线 l 与椭圆 M 交于 ,AB两点， 2AC CB? ，求直线 l 的方程 . - 5 - 参考答案 1 A 【解析】 命题 “ 20 , 2 3 0x x x? ? ? ? ?” 的否定是 20, 2 3 0x x x? ? ? ? ?,所以选 A. 2 A 【解析】 2 2 3 0 3 1 ,x x x x? ? ? ? ? ? ?或 2
8、2 3 0xx? ? ? ” 的必要不充分条件就是找到比这个不等式的解集大的范围即可，即 ? ? ? ? ? ? ? ?, 1 3 , , 1 1 ,mm? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 0 2.m? ? ? 故答案为： A. 3 B 【解析】 根据或命题的真假性可知 正确 .否命题要否定条件和结论 ,且的否定要改为或 ,故 错误 .当 ,故 错误 . 的原命题为真命题 ,故逆否命题为真命题 ,所以正确 .综上所述 ,正确的命题个数为 ,故选 . 4 A 【解析】 由圆 cos3?，化为 2 13c o s s in22? ? ? ?， 22 1322x y x y?
9、? ?， 化为 221 3 14 4 4xy? ? ? ? ?， 圆心为 13,44?，半径 r=12 tan= 3? ，取极角 3? ， 圆 cos3?的圆心的极坐标为 1,23? 故选 A 5 D 【解析】 因为 M 为曲线 C ： 3, x cosy sin ?上的动点，所以可设 ? ?3 cos ,M sin? ， 则? ?223 c o s s i nOM ? ? ? 1 0 6 c o s 1 0 6 4? ? ? ? ?， 即 OM 最大值为 4 ， 故选 D. 6 A 【解析】 椭圆 与双曲线 有相同的焦点， ，且椭圆的焦点应该在 轴- 6 - 上， 或 ，故选 A. 7 C
10、【解析】 由抛物线 的焦点 ， 设直线 的方程为 ， 由 ，则 ，所以 ， 根据抛物线的定义 可知 ，解得 ， 当 时，直线 的方程为 ，所以原点到 的距离为 ， 当 时，直线 的方程为 ，所以原点到 的距离为 ， 所以原点到直线 的距离为 ，故选 C 点睛：本题考查了抛物线的定义，点到直线的距离公式及直线与抛物线的位置关系的应用，其中对于直线与圆锥曲线问题，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，进而求解问题，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等 8 C 【
11、解 析】 命题 “ 存在 ， 使 ” 是假命题， 对任意的 ， 有 ， 为真命题， ， 又当 时 ， 取得最小值， 的取值范围是 ，故选 C. 9 B 【解析】 由题得 解（ 1）（ 2）得 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，故选 B. 10 D 【解析】 由函数的解析式可得： ， 函数 在 内无极值，则 在区间 内没有实数根， 当 时， 恒成立，函数 无极值，满足题意， - 7 - 当 时，由 可得 ，故： ，解得： ， 综上可得：实数 的取值范围是 . 本题选择 D选项 . 11 A 【解析】 令 f(x)= +ln x, 则 f(x)= . 当 x 时 ,f(x)0. f(x)在区间 内单调
12、递减 ,在 (1,2上单调递增 , 在 x 上 ,f(x)min=f(1)=0, a0, 即 a的最大值为 0. 选 A. 12 B 【解析】 设 ，则 ， 因为 恒成立 ,所以 即函数 F(x)在 R上单调递减 . 因为 ,所以 ， 则不等式即 ， 据此可得： . 所以 ，即不等式 解集为 . 本题选择 B选项 . 点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能 挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技
13、巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这- 8 - 种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。 13 2 【解析】 双曲线 的焦点必在 轴上，因此 ， ， 双曲线 的离心率为 ， ，可得 ，解之得 ，故答案为 . 14 . 【解析】 的定义域为 .当 时， ， 所以曲线 在 处的切线方程为 15 32 【解析】 直角坐标系中，直线方程为 33xy?， 点坐标为 ? ? 2 c o s , 2 s in 3 ,166?， 到直线距离? ?223 3 3 3213d? 16 7 【解析】 Px y（ ，
14、 ） 是椭圆 22143xy? 1上的一个动点， 设 23x cos y sin?， ， 2 3 7x y c o s s in s in? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） ， 最大值为 7 . 17（ 1） （ 2） 【解析】 试题分析：（ I）首先求函数的导数，转化为 恒成立问题，然后利- 9 - 用参变分离转化为 ，将问题转化为求函数的最值；（ ） ，解得 ，再利用导数求函数的最大值 . 试题解析： （ 1） . （ ）若 是 的极值点，求 在 上的最大值 . （ 2） 在 1,4上的最大值为 18 (1)减区间为 （ 0， ），（ 1， + ）， 增区间 为 （ ， 1）； (2
15、) 【解析】 试题分析：（ 1） 求导得 ， 得到减区间为 （ 0， ），（ 1， + ）， 增区间为 （ ， 1）； （ 2） ，在 x （ 2， 4） 上恒成立，等价于 上恒成立 ， 所以实数 a的取值范围 试题解析： （ 1） 函数 的定义域为（ 0， + ），在区间（ 0， ），（ 1， + ）上 f （ x） 0. 函数 为减函数；在区间（ ， 1）上 f （ x） 0. 函数 为增函数 . （ 2）函数 在（ 2， 4）上是减函数，则 ，在 x （ 2， 4） 上恒成立 . - 10 - 实数 a的取值范围 点睛 ： 本题考查导数的综合应用。导数的基本应用就是判断函数的单调性， ，
16、 单调递增， ， 单调递减。当函数含参时，则一般采取分离参数法，转化为已知函数的最值问题，利用导数求解。 19 (1) 4 3 24 0xy? ? ? 221xy? (2) 24 2 415? 【解析】 试题分析： （ 1）根据 x=cos ， y=sin 求出 C1， C2的直角坐标方程即可；（ 2）求出 C3的参数方程，根据点到直线的距离公式计算即可 试题解析 ： （ 1） 1C 的极坐标方程是 244cos 3sin? ? ? ， 4 c o s 3 sin 2 4? ? ? ?，整理得4 3 24 0xy? ? ?， 1C 的直角坐标方程为 4 3 24 0xy? ? ?. 曲线 2C ： x cosy sin?， 221xy?，故 2C 的普通方
