1、 1 湖南省株洲市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文 考试时间 ： 120 分 钟 总分 ： 150 分 一、选择题（本 大 题 共 12 小题，每小 题 5 分， 共 60 分 ） 1 设集 合 A 1, 0,1, 2， B x | x2 x ，则集 合 A B （ B） A. 1, 0,1 B. 1, 2 C.0,1, 2 D. 1,1, 2 2、设 i 是虚数单位，则复数 2i 1 i 在复平面内所对应的点位于 （ A ） A第一象 限 B 第二象限 C 第三象限 D第四象限 3、若 a b 0 ， c d 0 ，则一定有（ B ） A. a b B. d c a b C
2、 . a d c c b D. d a b c d 4、 “ |x 1|2” 是 x3 的 ( A ) A充分不必要条 件 B必要不充分条件 C充分必要条 件 D既不充分也不必要条件 4、 若关 于 x 的不等 式 | ax 2 | 3 的解集 为 x | 5 x 1 3 3 ， 则 a 【解题提示 】 求解绝对值不等式。 【解析 】 由 | ax 2 | 3 得 到 3 ax 2 3 ， 1 ax 5 ，又知 道 解集为 x | 5 x 1 3 3所 以 a 3 。 5、 曲线的极坐标方 程 4sin 化为直角坐标为 （ ）。 A. x 2 ( y 2) 2 4 B. x 2 ( y 2)
3、2 4 C. ( x 2) 2 y 2 4 D. ( x 2) 2 y 2 4 x 1 2t 6、 若直线的参数方程 为 y 2 3t (t为参数 ) ，则直线的斜率为 （ ） 2 2 3 A、 B、 C、 2 3 3 2 D、 3 23 x2 ?y 2 ? 1 B x2 ?y 2 ? 1 C x2 ? y2 ? 1 D x2 ?y2 3 4 4 3 2 2 2 ? ,2 B ?x 2 t sin 30 5. 若曲 线 y 1 t sin 30 （ t 为参数）与曲 线 2 2 相交 于 B,C 两点， 则 BC 的值 A. 2 7 B. 2 15 C. 7 2 D. 30 7 已知椭圆的一个
4、焦点 为 F(0， 1)，离心 率 e 1 ，则该椭圆的标准方程 为 ( A ) 2 A 1 8.若 2x 3y 1，则 4x2 9y2 的最 小 值 是 （ A ） 1 1 A. B. 2 4 C. 1 D. 2 9、 函 数 f ( x) lg(3x 1) 的定义域 是 （ ） 1 x A ( 1 ,1) B ( 1 , ) C ( 1 , 1) D ( , 1) 3 3 3 3 3 10、 11、 y 2 x2 12、 已知双曲 线 a2 b2 1(a 0, b 0) 的离心率 为 2 ， 且 双 曲 线 与 抛 物线 x 4 3y 的 准线交 于 A, B ， S OAB 3 ，则双曲
5、线的实轴长 （ A ） A 2 2 B 4 2 C 2 D 4 12、已知函 数 f ( x) x2 ax b ex ， 当 b 1 时 ， 函 数 f ( x) 在 , 2 ， 1, + 上均为增函 数 ， 则 a b 的取值范围 是 （ A ） a 2 A 2, 2 1 ,2 C , 2 D 2 3 3 3 3 12、 已知函 数 F ( x) ex 满 足 F(x) g(x) h(x) ， 且 4 ? ?g(x,) h(x) 分别 是 R 上的偶函数和奇函数， 若 x (0, 2 使得不等 式 g(2x) ah(x) 0 恒成立，则实 数 a 的取值范围是 （ B ） A. ( , 2
6、2) B. , 2 2 C. 0, 2 2 D. (2 2, ) 二、填空题（本 大 题 共 4 小题，每小 题 5 分， 共 20 分 .） 13 设复 数 z 满 足 i( z 1) 3 2i ， 则 z 的虚部 是 。3 14按流程图的程序计算，若开始输入的值 为 x 3 ，则输出 的 x 的值是 231 5 ?输 入 x 计 算 x x( x 1) 的值 2 x 100 ? 否 是 输出结 果 x ex 15 设 g ( x) , x 0. 则 g(g(0) _。 0 lnx, x 0. 16、 函 数 y 1 log x 2 的定义域 是 。 x 1 2 x 1, (x 0) 11、
7、设 f (x) , (x 0) ， 则 f f f ( 1) 1 ； 0, (x 0) x 5 cos 13、 椭 圆 y 3sin （ 为参数）的离心率 为 。 16、 如图所示的螺旋线是用以下方法画成的 ， ABC 是边长 为 1 的 正 三 角 形 ， 曲 线 CA1 , A1 A2 , A2 A3 分别 是 A, B, C 为圆心 ， AC , BA1 , CA2 为 半 径 画 的 弧 ， 曲 线 CA1 A2 A3 称为螺旋线的第一圈 ；然后 又 以 A 为 圆 心 ， AA3 半 径 画 弧 ， 如 此 继 续 下 去 ， 这 样 画 到 第 n 圈 。 设 所 得 螺 旋 线
8、CA1 A2 A 3 A3n 2 A3n 1 A3n 的总长度 为 S n 。求 A2 （ 1） S1 ； （ 2） S n = B A A3 C A1 （ 1） 4 （ 2） n 3n 1 x2 y2 16、 椭 圆 C : a2 b2 6 1(a b 0) 的 右顶点 为 A ， P 是椭 圆 C 上一点 ， O 为坐标原 点 .已知 POA 60 ， 且 OP AP ，则椭 圆 C 的离心率 为 . 【解析】由题意 可 得 OP OA cos 60 a ， 易 得 P( 1 a, 3 a) ，因 为 是椭 圆 C 上一点， 2 4 4 7 2 所 以 1 3a 2 1 ， 即 a2 5b
9、2 5(a2 c2 ) ，所以离心 率 e 2 5 . 16 16b 2 5 三、解答 题 (本 大 题共 6 小 题 ， 共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 .) 17.（本题满 分 10 分 ） 命 题 p : x2 2 x 3 0; q : |x 3| m ，若 p是 q 的 充 分不必要条件 ， 求 m 取值范围。 18在某校 对 30 名女生 与 80 名男生进行是否有懒惰习惯进行调查，发现女生中 有 15 人有懒惰 习惯，男生中 有 50 人有懒惰习惯。 （ 1）请根据上述数据填 写 22 列联表； 懒惰 不懒惰 总计 女 男 总计 （ 2）能否判断懒惰是否与性
10、别有关 。 （参考公式 ： k n(ad bc) 2 ） (a b)(c d )(a c)(b d ) 临界值表 P( K 2 k ) 0 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （ 1） 懒惰 不懒惰 总计 女 15 15 30 男 50 30 80 总计 65 45 110 （ 2）由列联表的数据可得 ： k 110 (15 30 50 15) 30 80 65 45 1.410 2.706 没有
11、充 分 的证据显示 ， 懒惰与 性 别有关 。 19、 “ 开门大 吉 ” 是某电视台推出的游戏节目 选手面 对 1 8 号 8 扇 大 门 ， 依 次 按 响 门 上 的 门铃， 门铃会播放一段音乐（将一 首 经典流行歌曲以单 音 色旋律的方式演绎 ） ，选手需 正 确回答 出这首歌的名字 ， 方可获得该扇门对应的家庭梦想基 金 在一次场外调查 中 ， 发现参赛选手 8 多数分为两个年龄段 ： 20 30； 30 40（ 单 位 ： 岁 ）， 其 猜 对 歌 曲 名 称 与 否 的 人 数 如 图 所 示 （ 1） 写 出 2 2 列 联 表 ； 判 断 是 否 有 90%的把握认为猜对歌曲
12、名称是否与年龄有 关 ； 说明你的理 由；（下面的临界值表供参考） 2 P(K k0 ) 0.10 0.05 0.010 0.005 9 年 龄 、 正误 正确 错误 合计 20-30 10 30 40 30-40 10 70 80 合计 20 100 120 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 （ 2） 现计划在 这 次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选 取 6 名 选 手 ， 并 抽 取 2 名幸运选手， 求 2 名幸运选手中恰有一人 在 20 30 岁之间的概率 n(ad bc)2 （参考公式 ： K 2 (a b)(a c)(c d )(d b) 其 中 n a b
13、 c d ） 正误 年龄 正确 错误 合计 20-30 30-40 合计 （ ） 2 2 列联表： ? 3 分 2 2 K 2 n(ad bc) 120 (10 70 10 30) 3 2.706 (a b)(a c)(c d )(d b) 20 40 80 100 所以 有 90%的把握认为猜对歌曲名 称 与否和 年龄有关 -6 分 ( )设事 件 A 为 3 名幸运选手中至少有一人 在 2030 岁 之 间 ， 由 已 知得 2030 岁 之 间 的 人 数 为 2 人 ， 3040 岁之间的人数 为 4 人 ， ? 8 分 记 2030 岁 之 间 的 2 人 a,b， 3040 岁 之
14、 间 的 4 人数 为 1 2 3 4; (a， b)， (a， 1)， (a， 2)， (a， 3)， (a， 4)， (b， 1)， (b， 2)， b， 3)， (b，4)， (1， 2)， ( 1， 3)， (1，4)， (2， 3)， (2， 4)， (3， 4)， 共 15 种可能 ， ? ? 9 分 事 件 A 的结果 有 8 种 ， ? ? ?10 分 8 则 p( A) 15 ? ? ? ? ? ? 12 分 19. （本小 题 12 分 ） 已知函 数 f ( x) l n x 1 ax2 2x 1, a R. 2 (1)若 (2)若 f ( x) 在 x 2 处的切线与直
15、 线 2 x y 0 垂直， 求 a 的值； f ( x) 存在单调递减区间， 求 a 的取值范围 10 为极点， 1 2 x y 21.（本 小 题 12 分 ） 在平面直角坐标 系 xOy 中 ， 直线 l 的参数方程 为 5 2 t 2 5 2 t 2 t 为参 数 ， 若 以 O x 轴的正半轴为极轴 ， 取相同的单位长度建立极坐标系 ， 已知曲 线 C 的极坐标方 程 为 4 cos （ 1）求曲 线 C 的直角坐标方程及直 线 l 的普通方程； 1 （ 2）将曲 线 C 上的所有点的横坐标缩短为原来 的 2 ，再将所得曲线向左平 移 1 个单位，得到曲 线 C1，求曲 线 C1 上的点到直 线 l 的距离的最小值 21.解 ： （ 1）曲 线 C 的直角坐标方程为： x2 y 2 4x 即 ： x 2 2 y 2 4 直 线 l 的普通方程 为 x y 2 5 0 5 分 （ 2）将曲 线 C 上的所有点的横坐标缩为原来 的 ， 得 2x 2 2 2 y2 4 ， 即 x 1 2 y 21 4 y 2 再将所得曲线向左平 移 1 个单位， 得 C1 ： x 1 4 x cos 又曲 线 C1 的参数方程 为 y 2 sin
