1、题组层级快练题组层级快练(三十三三十三) 1(2015 北京)设 a，b 是非零向量“a b|a|b|”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若 a b|a|b|， 则 a 与 b 的方向相同， 所以 ab.若 ab， 则 a b|a|b|， 或 a b|a|b|， 所以“a b|a|b|”是“ab”的充分不必要条件，选 A. 2已知 a(1，2)，2ab(3，1)，则 a b( ) A2 B3 C4 D5 答案 D 解析 a(1，2)，2ab(3，1)，b2a(3，1)2(1，2)(3，1)(1，3) ab(1，2) (1
2、，3)1235. 3已知|a|6，|b|3，ab12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( ) A4 B4 C2 D2 答案 A 解析 a b|a|b|cosa，b18cosa，b12，cosa，b2 3.a 在 b 方向 上的投影是|a|cosa，b4. 4(2019 课标全国，理)已知AB (2，3)，AC (3，t)，|BC |1，则AB BC ( ) A3 B2 C2 D3 答案 C 解析 因为BC AC AB (1，t3)，所以|BC |1（t3）21，解得 t3，所以BC (1，0)，所以AB BC 21302，故选 C. 5(2016 山东，理)已知非零向量 m，n 满足 4
3、|m|3|n|，cosm，n1 3.若 n(tmn)， 则实数 t 的值为( ) A4 B4 C.9 4 D9 4 答案 B 解析 由 n(tmn)可得 n (tmn)0，即 tm nn20，所以 t n2 mn n2 |m|n|cosm，n |n|2 |m|n|1 3 3|n| |m|3 4 34.故选 B. 6已知向量 a(1，2)，ab5，|ab|2 5，则|b|等于( ) A. 5 B2 5 C5 D25 答案 C 解析 由 a(1，2)，可得 a2|a|212225. |ab|2 5，a22a bb220. 525b220.b225.|b|5，故选 C. 7 (2020 东北四校模拟
4、)若向量 a， b 满足|a|b|1， (ab) b3 2， 则向量 a， b 的夹角为( ) A30 B45 C60 D90 答案 C 解析 (ab) bb2a b1a b3 2， ab|a|b|cosa，b1 2，cosa，b 1 2， a，b60.故选 C. 8设 a，b，c 是单位向量，且 abc，则 a c 的值为( ) A2 B.1 2 C3 D.1 3 答案 B 解析 由|a|b|c|1，bca，两边平方得 b2(ca)2，1112a c，ac1 2. 9(2020 沧州七校联考)在以 BC 为斜边的直角ABC 中，AB2，2BE EC ，则AB AE ( ) A3 B.7 3
5、C.8 3 D2 答案 C 10(2020 人大附中模拟)已知 a，b 是非零向量，且向量 a，b 的夹角为 3 ，若向量 p a |a| b |b|，则|p|( ) A2 3 B.2 3 C3 D. 3 答案 D 解析 |p|2112cos 3 3，|p| 3. 11(2014 四川)若平面向量 a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m( ) A2 B1 C1 D2 答案 D 解析 根据平面向量的数量积的坐标运算求解 因为 a(1，2)，b(4，2)，所以 cmab(m，2m)(4，2)(m4，2m2)根据题 意可得 c a |c|
6、a| c b |c|b|，所以 5m8 5 8m20 20 ，解得 m2. 12.如图所示，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的 是( ) A.P1P2 P1P3 B.P1P2 P1P4 C.P1P2 P1P5 D.P1P2 P1P6 答案 A 解析 由于P1P2 P1P5 ，故其数量积是 0，可排除 C；P1P2 与P1P6 的夹角为2 3，故其数量积 小于 0， 可排除 D； 设正六边形的边长是 a， 则P1P2 P1P3 |P1P2 |P1P3 |cos303 2a 2， P 1P2 P1P4 |P1P2 |P1P4 |cos60a2.故选 A. 13.(2
7、020 河南鹤壁高级中学段考)如图，BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两 条直径，BF 2FO ，则FD FE 等于( ) A3 4 B8 9 C1 4 D4 9 答案 B 解析 BF 2FO ，圆 O 的半径为 1，|FO |1 3，FD FE (FO OD ) (FO OE )|FO |2 FO (OE OD )OD OE 1 3 2 018 9.故选 B. 14 (2020 武昌区调研)已知向量 a， b 的夹角为 60， |a|2， |b|5， 则(2ab) b_ 答案 15 解析 因为向量 a，b 的夹角为 60，|a|2，|b|5，所以(2ab) b2|a| |b|cos60|
8、b|2 2251 25 215. 15(2015 浙江)已知 e1，e2是平面单位向量，且 e1e21 2.若平面向量 b 满足 b e1b e21， 则|b|_ 答案 2 3 3 解析 因为 b e1b e21，|e1|e2|1，由数量积的几何意义，知 b 在 e1，e2方向上的投影 相等，且都为 1，所以 b 与 e1，e2所成的角相等由 e1e21 2，知 e1与 e2的夹角为 60， 所以 b 与 e1，e2所成的角均为 30，即|b|cos301，所以|b| 1 cos30 2 3 3 . 16(2020 江西上饶一模)在边长为 1 的正方形 ABCD 中，2AE EB ，BC 的中
9、点为 F，EF 2FG ，则EG BD _ 答案 1 4 解析 以 A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系 正方形 ABCD 的边长为 1， B(1，0)，D(0，1)，E 1 3，0 ，F 1，1 2 . 设 G(a，b)，由EF 2FG ，得 2 3， 1 2 2 a1，b1 2 ， 解得 a 4 3， b3 4， G 4 3， 3 4 .EG 1，3 4 . BD (1，1)，EG BD 13 4 1 4. 17设两个向量 e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1与 e2的夹角为 3 ，若向量 2te17e2与 e1te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围 答案 7， 14 2 14 2 ，1 2 解析 由向量 2te17e2与 e1te2的夹角为钝角，得（2te17e2） （e1te2） |2te17e2|e1te2| 0， 即(2te17e2) (e1te2)0， 化简即得 2t215t70，解得7t1 2. 当夹角为时，也有(2te17e2) (e1te2)0， 但此时夹角不是钝角 设 2te17e2(e1te2)，0， 可求得 2t， 7t， 0， 14， t 14 2 . 所求实数 t 的范围是 (7， 14 2 )( 14 2 ，1 2)
