1、题组层级快练题组层级快练(四十四四十四) 1下列函数中，最小值为 4 的是( ) Ayx4 x Bysinx 4 sinx(0x) Cy4exe x Dylog3xlogx3(0x1) 答案 C 解析 注意基本不等式等号成立的条件是“ab”，同时考虑函数的定义域，A 中 x 的定义 域为x|x0，当 x0，y0，且 x4y40，则 lgxlgy 的最大值是( ) A40 B10 C4 D2 答案 D 解析 x4y40，且 x0，y0，x4y2 x 4y4 xy.(当且仅当 x4y 时取“”)， 4 xy40.xy100. lgxlgylgxylg1002. 3若 x2y4，则 2x4y的最小值
2、是( ) A4 B8 C2 2 D4 2 答案 B 解析 2x4y2 2x22y2 2x 2y2 248， 当且仅当 2x22y， 即 x2y2 时取等号， 2x4y的最小值为 8. 4已知 a，b(0，1)且 ab，下列各式中最大的是( ) Aa2b2 B2 ab C2ab Dab 答案 D 解析 只需比较 a2b2与 ab.由于 a，b(0，1)，a2a，b2b，a2b20，且 b0，若 2ab4，则 1 ab的最小值为( ) A.1 4 B4 C.1 2 D2 答案 C 解析 42ab2 2ab，ab2， 1 ab 1 2，当且仅当 a1，b2 时取等号 7若 x1)的最小值是( ) A
3、2 32 B2 32 C2 3 D2 答案 A 解析 x1，x10. yx 22 x1 x 22x2x2 x1 x 22x12（x1）3 x1 （x1） 22（x1）3 x1 x 1 3 x122 （x1） 3 x1 22 32. 当且仅当 x1 3 x1，即 x1 3时，取等号 9已知 x2，y3，(x2)(y3)4，则 xy 的最小值是( ) A7 B9 C5 D11 答案 B 解析 方法一：xy(x2)(y3)52 （x2）（y3）5459，当且仅当 x 2y32 时，取“” 方法二：x2，y3，x20，y30，(x2)(y3) （x2）（y3） 2 2 ，x y54，xy9，当且仅当
4、x2y32 时取“”，故选 B. 10已知正数 a，b 满足 ab2，则 a b1的最大值为( ) A. 3 B. 21 C. 6 D. 31 答案 C 解析 ( a b1)2ab12 a b1ab1ab16. a b1 6. 故选 C. 11设实数 x，y，m，n 满足 x2y21，m2n23，那么 mxny 的最大值是( ) A. 3 B2 C. 5 D. 10 2 答案 A 解析 方法一：设 xsin，ycos，m 3sin，n 3cos，其中 ，R. mxny 3sinsin 3coscos 3cos()故选 A. 方法二：由已知(x2y2)(m2n2)3，即 m2x2n2y2n2x2
5、m2y23，m2x2n2y2 2(nx) (my)3，即(mxny)23，mxny 3. 12 (高考真题 山东卷)已知 x， y， z(0， )， 且满足 x2y3z0， 则y 2 xz的最小值为( ) A3 B6 C9 D12 答案 A 13(2019 四川成都外国语学校)若正数 a，b 满足1 a 1 b1，则 1 a1 9 b1的最小值为( ) A16 B9 C6 D1 答案 C 解析 方法一：因为1 a 1 b1，所以 abab，即(a1) (b1)1，所以 1 a1 9 b1 2 1 a1 9 b1236. 方法二：因为1 a 1 b1，所以 abab， 1 a1 9 b1 b19
6、a9 abab1b9a10(b 9a) 1 a 1 b 1016106. 方法三：因为1 a 1 b1，所以 a1 1 b1，所以 1 a1 9 b1(b1) 9 b12 9236. 14已知 ab0，则 a 4 ab 1 ab的最小值为( ) A.3 10 2 B4 C2 3 D3 2 答案 D 解析 因为 a1 2(ab)(ab)， 所以 a 4 ab 1 ab 1 2(ab) 4 ab 1 2(ab) 1 ab.因为 ab0， 所以 ab0， ab0， 由基本不等式可得1 2(ab) 4 ab2 1 2（ab） 4 ab2 2 ，1 2(ab) 1 ab2 1 2（ab） 1 ab2 2
7、 2 2 .由可知当且仅当 a3 2 2 ，b 2 2 时，a 4 ab 1 ab的最小值为 3 2.故选 D. 15(1)当 x1 时，x 4 x1的最小值为_； (2)当 x4 时，x 4 x1的最小值为_ 答案 (1)5 (2)16 3 解析 (1)x1，x10. x 4 x1x1 4 x11415. 当且仅当x1 4 x1.即x3时“”成立 x 4 x1的最小值为 5. (2)x4，x13. 函数 yx4 x在3，)上为增函数， 当 x13 时，y(x1) 4 x11 有最小值 16 3 . 16若 a0，b0，ab1，则 ab 1 ab的最小值为_ 答案 17 4 解析 a0，b0，
8、ab ab 2 2 1 4，当且仅当 ab 1 2时取等号 令 abx，则 yx1 x在 x 0，1 4 上为减函数 ab 1 ab的最小值为 1 44 17 4 . 17已知 a0，b0，若不等式3 a 1 b m a3b恒成立，则 m 的取值范围为_ 答案 (，12 解析 因为 a0，b0，所以 m 3 a 1 b (a3b)min.又因为 3 a 1 b (a3b)69b a a b6 2 9b a a b12，当且仅当 9b a a b，即 a3b 时，等号成立，所以 m12，所以 m 的取值范围 为(，12 18 (2020 湖南长沙雅礼中学模拟)现为一球状巧克力设计圆锥形包装盒， 若该球状巧克力的 半径为 3，求其包装盒的体积的最小值 答案 72 解析 作出圆锥的轴截面，如图，设圆锥的底面半径为 r，高为 h，则 BDr，易证 POCPBD，则 3 h3 r h2r2，化简得 h 6r2 r29，r3，则圆锥的体积 V 1 3r 2h1 3 6r4 r29 2r4 r29， 令 r 29t， t0， 则 V2（t9） 2 t 2 t81 t 18 2 2 t 81 t 18 72，当且仅当 t9 时取等号，故圆锥形包装盒的体积的最小值为 72.
