1、题组层级快练题组层级快练(五十一五十一) 1(2015 广东)若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面 内，l2在平面 内，l 是平面与平面 的交线，则下列命题正确的是( ) Al 与 l1，l2都不相交 Bl 与 l1，l2都相交 Cl 至多与 l1，l2中的一条相交 Dl 至少与 l1，l2中的一条相交 答案 D 解析 可用反证法假设 l 与 l1，l2都不相交，因为 l 与 l1都在平面 内，于是 ll1，同理 ll2，于是 l1l2，与已知矛盾，故 l 至少与 l1，l2中的一条相交 2若 P 是两条异面直线 l，m 外的任意一点，则( ) A过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都
2、平行 B过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都垂直 C过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都相交 D过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都异面 答案 B 解析 对于选项 A，若过点 P 有直线 n 与 l，m 都平行，则 lm，这与 l，m 异面矛盾；对 于选项 B，过点 P 与 l，m 都垂直的直线，即过 P 且与 l，m 的公垂线平行的那一条直线； 对于选项 C，过点 P 与 l，m 都相交的直线有一条或零条；对于选项 D，过点 P 与 l，m 都 异面的直线可能有无数条 3如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O 是 B1D1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于 点 M
3、，则下列结论正确是( ) AA，M，O 三点共线 BA，M，O，A1不共面 CA，M，C，O 不共面 DB，B1，O，M 共面 答案 A 解析 连接 A1C1，AC，则 A1C1AC， A1，C1，A，C 四点共面，A1C平面 ACC1A1， MA1C，M平面 ACC1A1，又 M平面 AB1D1， M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上， 同理 O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 A，M，O 三点共线 4下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的 图形是( ) 答案 D 解析 在 A 中易证 PSQR，P，Q，R，S 四点共面
4、 在 C 中易证 PQSR，P，Q，R，S 四点共面 在 D 中，QR平面 ABC， PS面 ABC P 且 PQR， 直线 PS 与 QR 为异面直线 P，Q，R，S 四点不共面 在 B 中 P，Q，R，S 四点共面，如图所示，证明如下： 取 BC 中点 N，可证 PS，NR 交于直线 B1C1上一点 E，P，N，R，S 四点共面，设为 . 可证 PSQN，P，Q，N，S 四点共面，设为 . ，都经过 P，N，S 三点，与 重合，P，Q，R，S 四点共面 5 (2019 江西景德镇模拟)将图中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的中线折起得到空 间四面体 ABCD(如图)，则在空间四面
5、体 ABCD 中，AD 与 BC 的位置关系是( ) A相交且垂直 B相交但不垂直 C异面且垂直 D异面但不垂直 答案 C 解析 在题图中，ADBC，故在题图中，ADBD，ADDC，又因为 BDDCD， 所以 AD平面 BCD，又 BC平面 BCD，D 不在 BC 上，所以 ADBC，且 AD 与 BC 异 面，故选 C. 6空间不共面的四点到某平面的距离相等，则这样的平面的个数为( ) A1 B4 C7 D8 答案 C 解析 当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图当平面一侧有一点，另一侧 有三点时，令截面与四个面之一平行时，满足条件的平面有 4 个；当平面一侧有两点，另 一侧有两点时
6、，满足条件的平面有 3 个，所以满足条件的平面共有 7 个 7.如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( ) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 答案 D 解析 连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角连接 A1C1，设 AB1，则 AA12，A1C1 2，A1BBC1 5，故 cosA1BC1 552 2 5 5 4 5. 8(2020 湖南五市十校共同体联考)已知 E，F 分别是三棱锥 PABC 的棱 AP，BC 的中点， AB6，
7、PC6，EF3 3，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为( ) A120 B45 C30 D60 答案 D 解析 本题考查异面直线所成的角如图，取 AC 中点 D，连接 ED， FD.因为E， F分别是三棱锥PABC的棱AP， BC的中点， 所以EDPC， FDAB，则EDF 或其补角为异面直线 AB 与 PC 所成的角又因为 AB6，PC6，EF3 3，所以 DF3，DE3.在DEF 中，cos EDFDE 2DF2EF2 2DEDF 1 2，即EDF120，所以异面直线 AB 与 PC 所成的角为 60. 故选 D. 9(2020 广东茂名联考)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体
8、中，有下列四个命 题： AFGC；BD 与 GC 为异面直线且夹角为 60； BDMN；BG 与平面 ABCD 所成的角为 45. 其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 将平面展开图还原成正方体(如图所示) 对于，由图形知 AF 与 GC 异面垂直，故正确； 对于， BD 与 GC 显然成异面直线 如图， 连接 EB， ED， 则 BMGC， 所以MBD 即为异面直线 BD 与 GC 所成的角(或其补角)在等边 BDM 中，MBD60，所以异面直线 BD 与 GC 所成的角为 60，故正确； 对于，BD 与 MN 为异面垂直，故错误； 对于，由题意得，GD平面 ABC
9、D，所以GBD 是 BG 与平面 ABCD 所成的角但在 RtBDG 中，GBD 不等于 45，故错误综上可得正确 10如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 BC1，CD1的中点，则下列说法错 误的是( ) AMN 与 CC1垂直 BMN 与 AC 垂直 CMN 与 BD 平行 DMN 与 A1B1平行 答案 D 解析 如图，连接 C1D， 在C1DB 中，MNBD，故 C 正确； 因为 CC1平面 ABCD，所以 CC1BD， 所以 MN 与 CC1垂直，故 A 正确； 因为 ACBD，MNBD， 所以 MN 与 AC 垂直，故 B 正确； 因为 A1B1与 BD 异面
10、，MNBD， 所以 MN 与 A1B1不可能平行，故 D 错误 11.(2020 福建龙岩期末)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 M，N 分别是 BD 和 AD 的中点，则 B1M 与 D1N 所成角的余弦值为( ) A. 30 30 B. 30 15 C. 30 10 D. 15 15 答案 C 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体的棱长为 2， 则 B1(2， 2， 2)，M(1，1，0)，D1(0，0，2)，N(1，0，0)，B1M (1，1，2)，D1N (1， 0， 2)， B1M与D1N所成角的余弦值为 B1M D1N |B1M |D1N | 14 11
11、4 14 30 10 . 故选 C. 12.如图所示，M 是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 DD1的中点，给出下列 四个命题： 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，B1C1都相交； 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，B1C1都垂直； 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB，B1C1都相交； 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB，B1C1都平行 其中真命题是( ) A B C D 答案 C 解析 将过点 M 的平面 CDD1C1绕直线 DD1旋转任意不等于k 2 (kZ)的角度，所得的平 面与直线 AB，B1C1都相交，故错误，排除 A、B、D，选 C. 13.(2020 内蒙
12、古包头模拟)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在 线段 AD1上运动，则异面直线 CP 与 BA1所成的角 的取值范围是( ) A. 0， 2 B. 0， 2 C. 0， 3 D. 0， 3 答案 D 解析 当 P 与 D1重合，CPBA1，所成角为 0；当 P 与 A 点重合，CAA1C1，连接 BC1， A1BC1为正三角形，所成角为 3 ，又由于异面直线所成角为 0， 2 ，所以选 D. 14 (2020 江西高安段考)已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是边长为 1 的正方形， AA1 2，则异面直线 A1B1与 BD1所成角的大小为_ 答案 60 解析 A1
13、B1AB，ABD1为异面直线 A1B1与 BD1所成的角，连接 AD1，则在 Rt ABD1中，AB1，易得 AD1 3，tanABD1AD1 AB 3，ABD160. 15(2020 江西莲塘一中、临川二中联考)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 CC1上的动点，过点 A，P，Q 的平面截正方体所得的截面为 S，当 CQ1 时，S 的面积为_ 答案 6 2 解析 当 CQ1 时，Q 与 C1重合. 如图，取 A1D1，AD 的中点分别为 F，G.连接 AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.F 为 A1D1的中 点，P 为 B
14、C 的中点，G 为 AD 的中点，AFFC1APPC1 5 2 ， PG 綊 CD，AF 綊 D1G.由题意易知 CD 綊 C1D1，PG 綊 C1D1，四边形 C1D1GP 为平行四 边形， PC1綊 D1G， PC1綊 AF， A， P， C1， F 四点共面， 四边形 APC1F 为菱形 AC1 3，PF 2，过点 A，P，Q 的平面截正方体所得的截面 S 为菱形 APC1F， 其面积为1 2AC1PF 1 2 3 2 6 2 . 16如图所示，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，BAD FAB90，BCAD 且 BC1 2AD，BEAF 且 BE 1 2AF，G，H 分别为 FA，FD 的 中点 (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？ 答案 (1)略 (2)共面，证明略 解析 (1)证明：G，H 分别为 FA，FD 的中点，GH 綊1 2AD.又BC 綊 1 2AD， GH 綊 BC.四边形 BCHG 为平行四边形 (2)C，D，F，E 四点共面理由如下： 由 BE 綊1 2AF，G 是 FA 的中点，得 BE 綊 GF. 所以 EF 綊 BG. 由(1)知，BG 綊 CH，所以 EF 綊 CH.所以 ECFH. 所以 C，D，F，E 四点共面
