1、题组层级快练题组层级快练(六十六六十六) 1 (2020 广东中山第一次统测)过抛物线 y24x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点如果 x1x26，那么|AB|( ) A6 B8 C9 D10 答案 B 解析 |AB|AF|BF|x1x2p8.故选 B. 2若抛物线 y4x2上一点到直线 y4x5 的距离最短，则该点的坐标是( ) A. 1 2，1 B(0，0) C(1，2) D(1，4) 答案 A 解析 设与直线 y4x5 平行的直线为 y4xm， 由平面几何的性质可知， 抛物线 y4x2 上到直线 y4x5 的距离最短的点即为直线 y4xm 与抛物
2、线相切的点而对 y4x2求 导得 y8x，又直线 y4xm 的斜率为 4，所以 8x4，得 x1 2，此时 y4 1 2 2 1， 即切点为 1 2，1 ，故选 A. 3(2020 安徽芜湖模拟)已知抛物线 y22px(p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则y1y2 x1x2的值一定等于( ) A4 B4 Cp2 Dp2 答案 A 解析 若焦点弦 ABx 轴，则 x1x2p 2，则 x1x2 p2 4，y1y2p 2，则y1y2 x1x24.若焦 点弦 AB 不垂直于 x 轴， 可设直线 AB： yk xp 2 ， 联立 y22px 得 k2x2(k
3、2p2p)xp 2k2 4 0，则 x1x2p 2 4 .y122px1，y222px2，y12y224p2x1x2p4.又y1y20，y20，根据根与系数的关系，得 x1x25，x1x2 4.易知 F(1，0)，所以FM (x11，y1)，FN (x21，y2)，所以FM FN (x11) (x21) y1y2x1x2(x1x2)14 x1x245188.故选 D. 7(2020 黑龙江大庆模拟)已知 F 是抛物线 C：y22px(p0)的焦点，过点 R(2，1)的直线 l 与抛物线 C 交于 A， B 两点， R 为线段 AB 的中点 若|FA|FB|5， 则直线 l 的斜率为( ) A3
4、 B1 C2 D.1 2 答案 B 解析 本题主要考查抛物线的定义，利用点差法求解有关弦的中点问题由于 R(2，1)为 AB 中点，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)根据抛物线的定义|FA|FB|xAxBp22p 5， 解得 p1， 抛物线方程为 y22x.yA22xA， yB22xB， 两式相减并化简得yByA xBxA 2 yAyB 2 211，即直线 l 的斜率为 1.故选 B. 8(2020 石家庄市质检)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 和抛物线上一点 M(2，2 2) 的直线 l 交抛物线于另一点 N，则|NF|FM|等于( ) A12 B13 C1 2 D1 3
5、答案 A 解析 方法一：抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为(1，0)，M(2，2 2)，直线 l 的方程为 y 2 2(x1)由 y 24x， y2 2（x1），得 2x 25x20，解得 x2 或 x1 2，点 N 的横坐 标为1 2.抛物线 y 24x 的准线方程为 x1，|NF|3 2，|MF|3，|NF|MF|12.故 选 A. 方法二：抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为(1，0)，M(2，2 2)，直线 l 的方程为 y2 2(x 1)由 y 24x， y2 2（x1），得 y 2 2y40，解得 y2 2或 y 2，点 N 的纵坐 标为 2.过点 M 作 MMx 轴，垂足为
6、 M，过点 N 作 NNx 轴，垂足为 N，则 MMFNNF，|NF|MF|NN|MM| 2|2 212.故选 A. 方法三：M(2，2 2)是抛物线上的点，且抛物线 y24x 的准线方程为 x1，|MF| 3.又 1 |MF| 1 |NF| 2 p1，|NF| 3 2，|NF|MF|12.故选 A. 9 (2020 东北三省四市一模)已知抛物线 C： y22px(p0)的焦点为 F， 过 F 且倾斜角为 120 的直线与抛物线 C 交于 A， B 两点， 若 AF， BF 的中点在 y 轴上的射影分别为 M， N， 且|MN| 4 3，则抛物线 C 的准线方程为( ) Ax1 Bx2 Cx3
7、 2 Dx3 答案 D 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线 C 的焦点为 p 2，0 ，知 AF，BF 的中点的纵坐标 分别为y1 2， y2 2 ，则|MN| y2 2 y1 2 1 2|y2y1|4 3，所以|y2y1|8 3.由题意知直线 AB 的 方程为 y 3 xp 2 ，与抛物线方程 y22px 联立消去 x，得 y 3 y2 2p p 2 ，即 3y2 2py 3p20， 所以 y1y2 2 3p， y1y2p 2， 于是由|y 2y1|8 3， 得(y2y1) 24y 1y2 192，所以 2 3p 2 4p2192，解得 p6，p 23，所以抛物线 C 的
8、准线方程为 x3. 故选 D. 10直线 l 与抛物线 C：y22x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA，OB 的斜率 k1，k2满足 k1k22 3，则直线 l 过定点( ) A(3，0) B(0，3) C(3，0) D(0，3) 答案 A 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 k1k22 3，所以 y1 x1 y2 x2 2 3.又 y1 22x 1，y2 22x 2，所以 y1y26.将直线 l：xmyb 代入抛物线 C：y22x 得 y22my2b0，所以 y1y22b 6，所以 b3，即直线 l：xmy3，所以直线 l 过定点(3，0) 11(2020 衡
9、水中学调研)已知抛物线 y24x，过点 P(4，0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)， B(x2，y2)两不同点，则 y12y22的最小值为( ) A12 B24 C16 D32 答案 D 解析 当直线的斜率不存在时，方程为 x4， 由 x4， y24x，得 y 14，y24，y1 2y 2 232. 当直线的斜率存在时，设其方程为 yk(x4)， 由 y24x， yk（x4），得 ky 24y16k0，y 1y24 k，y1y216， y12y22(y1y2)22y1y216 k23232. 综上可知，y12y2232. y12y22的最小值为 32.故选 D. 12(2019 东城区
10、期末)已知抛物线 C1：y 1 2px 2(p0)的焦点与双曲线 C 2：x 2 3y 21 的右焦 点的连线交 C1于第一象限的点 M，若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p ( ) A. 3 16 B. 3 8 C.2 3 3 D.4 3 3 答案 D 解析 由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为 0，p 2 ，双曲线焦点坐标为(2，0)，所以两 个焦点连线的直线方程为 yp 4(x2)设 M(x0，y0)，则有 y 1 px0 3 3 x0 3 3 p.因为 y0 1 2px0 2，所以 y 0p 6.又有 p 6 p 4 3 3 p2 p4 3 3 ，故选 D. 13
11、(2020 湖南郴州模拟)如图，F 是抛物线 C：y22px(p0)的焦点，直 线 l 过点 F 且与抛物线及其准线交于 A，B，C 三点若|BC|3|BF|，|AB| 9，则抛物线 C 的标准方程是( ) Ay22x By24x Cy28x Dy216x 答案 C 解析 如图，过点 A，B 分别作准线的垂线，分别交准线于点 E，D.设准 线与 x 轴的交点为 G， |BF|a， 则|BC|3a， |DB|a， |DB| |BC| 1 3.BCD ACE，|AE| |AC| 1 3，即 3|AE|AC|.在 RtACE 中，|AB|9，|AC| 93a，3(9a)93a，解得 a3.BDFG，
12、|DB| |FG| |BC| |FC|，即 3 p 9 12，解得 p4. 抛物线 C 的标准方程为 y28x.故选 C. 14(2020 长沙调研)过点(0，3)的直线 l 与抛物线 y24x 只有一个公共点，则直线 l 的方程 为_ 答案 y1 3x3 或 y3 或 x0 解析 当直线 l 的斜率 k 存在且 k0 时，由相切知直线 l 的方程为 y1 3x3；当 k0 时， 直线 l 的方程为 y3，此时直线 l 平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点 9 4，3 ；当 k 不存在时，直线 l 与抛物线也只有一个公共点(0，0)，此时直线 l 的方程为 x 0.综上，过点(0，3
13、)且与抛物线 y24x 只有一个公共点的直线 l 的方程为 y1 3x3 或 y 3 或 x0. 15 (2020 郑州质检)设抛物线 y216x 的焦点为 F， 经过点 P(1， 0)的直线 l 与抛物线交于 A， B 两点，且 2BP PA ，则|AF|2|BF|_ 答案 15 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)P(1，0)， BP (1x2，y2)，PA (x11，y1) 2BP PA ，2(1x2，y2)(x11，y1)， x12x23，2y2y1. 将 A(x1，y1)，B(x2，y2)代入抛物线方程 y216x，得 y1216x1，y2216x2. 又2y2y1，4x2x
14、1.又x12x23，解得 x21 2，x12.|AF|2|BF|x142(x2 4)242 1 24 15. 16 (2020 湖南五市十校联考)过抛物线 C： y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 M， N 两点(其中 M 点在第一象限)，若MN 3FN ，则直线 l 的斜率为_ 答案 2 2 解析 方法一：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中 y10，y20.MN 3FN ，y12y2.设直 线 l 的方程为 yk xp 2 ，联立 y 22px， yk xp 2 ，得 ky 22pykp20，y 1y2p 2，y 2 2p 2 ，x2p 4，k 2p 2 0 p
15、 4 p 2 2 2. 方法二：由题意知可知MF 2FN ，设直线 l 的倾斜角为 ， 由抛物线焦点弦的性质可知 p 1cos 2p 1cos， 即 22cos1cos， 解得 cos1 3，为直线的倾斜角， sin2 2 3 ，tan2 2， 即直线 l 的斜率为 2 2. 17(2020 广西柳州模拟)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点 (1)若AF 3FB ，求直线 AB 的斜率； (2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为点 C，求四边形 OACB 面积的 最小值 答案 (1) 3或 3 (2)4 解析 (1)依题意
16、可得，抛物线的焦点为 F(1，0)，设直线 AB：xmy1，将直线 AB 与抛 物线联立 xmy1， y24x y24my40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24m，y1y2 4. AF 3FB y13y2m21 3，斜率为 1 m 3或 3. (2)S四边形OACB2SAOB21 2|OF|y1y2|y1y2| （y1y2）24y1y2 16m2164， 当 m0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值为 4. 18(2019 课标全国)已知曲线 C：yx 2 2 ，D 为直线 y1 2上的动点，过 D 作 C 的两条切 线，切点分别为 A，B. (1)证明：直线 AB
17、 过定点； (2)若以 E 0，5 2 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程 答案 (1)直线 AB 过定点 0，1 2 (2)x2 y5 2 2 4 或 x2 y5 2 2 2 解析 (1)证明：设 D t，1 2 ，A(x1，y1)，则 x122y1. 由于 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故 y11 2 x1tx1. 整理得 2tx12y110. 设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210. 故直线 AB 的方程为 2tx2y10. 所以直线 AB 过定点 0，1 2 . (2)由(1)得直线 AB 的方程为 ytx1 2. 由 ytx 1 2， yx 2 2 可得 x22tx10.于是 x1x22t，y1y2t(x1x2)12t21. 设 M 为线段 AB 的中点，则 M t，t21 2 . 由于EM AB ，而EM (t，t22)，AB 与向量(1，t)平行，所以 t(t22)t0.解得 t0 或 t 1. 当 t0 时，|EM |2，所求圆的方程为 x2 y5 2 2 4； 当 t 1 时，|EM | 2，所求圆的方程为 x2 y5 2 2 2.
