1、 1 高二数学（理） 一选择题（每小题 5分，共 12 小题，共 60 分，每小题只有一个正确答案） 1.下面四个命题中正确命题的个数是（ ） ； 任何一个集合必有两个或两个以上的子集； 空集没有子集； 空集是任何一个集合的子集。 A . 0 个 B . 1 个 C . 2 个 D . 3 个 2函数 0.5 1 log (4 3) y x ? ? 的定义域为（ ） A. 3 (, 1 ) 4B. 3 (, ) 4 ? C. (1, ) ? ? D. 3 (, 1 )( 1 , ) 4 ? ? 3已知集合 | 0 2 Axx ? ? ， | ( 1 ) ( 1 )0 Bxxx ? ? ，则A
2、B ? ?（ ） A? 01 ， B? 12 ， C(,1 )( 0 ,) ? ? ? ? U D(,1 )( 1 ,) ? ? ? U4函数 2 () l n fx x x ? 的零点所在的区间是（ ） A (1, 2) B(2, ) e C (, 3 ) e D (3, ) ? ? 5设 f(x)是定义在上的奇函数，当 0 x ? 时 1 () 3 2 x fx ? ? ? ? ? ，则 (1) f ? （ ）. 5 2. . . 5 2 ? 6设 0.1 3 59 2, l n, l o g 21 0 abc ? ，则 , abc的大小关系是（ ） A.abc ? B.acb ? C.b
3、ac ? D.bca ? 7已知命题p： ?xR，x 2 +x-6 ?0，则命题 ?P 是（ ） A ?xR，x 2 +x-60 B ?xRx 2 +x-60 C ?xR，x 2 +x-60 D. ?xRx 2 +x-60恒成立， 则下列不等式成立的是( ) A f(-3)f(-1)f(2) B f(-1)f(2)f(-3) C f(2)f(-3)f(-1) D f(2)f(-1)f(-3) 10函数 x x x y sin cos ? ? 的部分图象大致为( ) 11已知 () f x 是定义在 R上的偶函数，且 ) ( ) 1 ( x f x f ? ? ? ，若 () f x 在1 ,
4、0 - 上单调递 减，则 () f x 在1, 3上是( ) A增函数 B 减函数 C 先增后减的函数 D 先减后增的函数 12 已知函数 ) ( , 1 ) ( , 1 2 ) ( 2 x F x x g x f x 构造函数 ? ? ? ? ， 定义如下： 当 ) ( | ) ( | x g x f ? 时， ) ( ), ( ) ( , ) ( | ) ( | |; ) ( | ) ( x F x g x F x g x f x f x F 那么 时 当 ? ? ? ? （ ） A 有 最大值 1 ，无最小值 B 有最小值 0 ，无最大值 C 有最小值1 ，无最大值 D 无最小值，也无最
5、大值 二填空题（ （每小题5分，共 4 小题，共 20 分） 13曲线C： ? sin e 2 x fx x 在 x0 处的切线方程为_ 14已知幂函数 () fxx ? ? 的图像经过点(2, 2)，则 (4) f 的值为_. 15关于x的方程 32 30 xxa ? 有三个不同的实数解，则 a的取值范围是 . 16有下列命题： 函数 ) 2 ( ? ? ? x f y 与 ) 2 ( ? ? x f y 的图象关于y 轴对称； 若函数 ) ( 1 2 ) 2010 ( 2 R x x x x f ? ? ? ? ? ，则函数 ) (x f 的最小值为2； 若函数 ) 1 , 0 ( log
6、 ) ( ? ? ? a a x x f a 在 ) , 0 ( ? ? 上单调递增，则 ) 1 ( ) 2 ( ? ? ? a f f ； 3 若 ? ? ? ? ? ? ? ? ) 1 ( , log ) 1 ( , 4 ) 1 3 ( ) ( x x x a x a x f a 是 ) , ( ? ? ? ? 上的减函数，则a的取值范围是 ) 3 1 , 0 ( 。其 中正确命题的序号是 。 三解答题： （共6小题，共70分） 17 （本题满分 10 分）已知函数 ? 2 m fx x x ? ? 且 ? 7 4 2 f ? ， （1）求m的值； （2）判断 ) (x f 在 ) , 0
7、 ( ?上的单调性，并用定义给予证明 18 （本题满分 12 分）已知集合 | 1 2 1 Axaxa ? ? ? ， | 0 1 Bxx ? ?， （1）若 2 1 ? a ，求 B A ? ； （2）若AB ? ? ，求实数 a 的取值范围. 19( 本题满分 12 分) 已知命题 : P 函数 ? ? log a fxx ? 在区间 ? ? 0, ? ? 上是单调递增函数； 命题 : Q 不等式? ? ? 0 4 2 2 2 2 ? ? ? ? ? x a x a 对任意实数x恒成立.若PQ ? 是真命 题，且PQ ? 为假命题，求实数a的取值范围. 4 20 （本题满分 12 分）已知
8、函数 ) (x f y ? 是定义在 ) , 0 ( ? ? 上的增函数，对于任意的 0, 0 xy ? ，都有 () ()() f xy f x f y ? ，且满足 1 ) 2 ( ? f . （1）求 ) 4 ( ) 1 ( f f 、 的值; （2）求满足 2 ) 3 ( ) ( ? ? ? x f x f 的 x 的取值范围 21.（本题满分 12 分）设函数 2 () l n fxxa xbx ? ? ，曲 线 () yfx ? 过P （1,0） ，且在P 点 处的切线斜率为 2 （1）求 a，b 的值； （2）证明： () 2 2 fxx ? ? 22 （本题满分 12 分）已知
9、函数 f（x）=x 3 + 5 2 x 2 +ax+b,g（x）=x 3 + 7 2 x 2 + 1nx+b， （a，b 为常 数） （1）若 g（x）在 x=l 处的切线方程为 y=kx5（k 为常数） ，求 b 的值； （2）设函数f（x）的导函数为 () f x ? ，若存在唯一的实数 x0，使得 f（x0）=x0与 f（x0） =0 同时成立，求实数 b的取值范围； （3）令 F（x）=f（x）g（x） ，若函数 F（x）存在极值，且所有极值之和大于 5+1n2，求 a 的取值范围 5 数学理科参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） BA BBC A
10、 BA BD D C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分） 13 23 yx 1 4 2 1 5 ( 4 ，0) 16 三、解答题（共 6 小题，共 70 分） 17.（10 分）解： （1）因为 ? 7 4 2 f ? ，所以 27 4 42 m ? ? ，所以 1 m ? （2） ? f x 在? 0, ? 上为单调增函数 证明：设 12 0 xx ? ， ，则 ? ? ? 12121 2 12 1 2 22 2 1 fx fx x x xx xxx x ? ? ? ? ? ? ， 因为 12 0 xx ? ，所以 12 12 2 0,1 0 xx xx ? ?
11、 ，所以 ? ? ? ? 12 fxfx ? ， 所以 ? f x 在? 0, ? 上为单调增函数 18.解： （1）当 2 1 ? a 时 1 0 , 2 2 1 ? ? ? ? ? ? ? x x B x x A , 1 0 2 2 1 ? ? ? ? ? ? ? x x x x B A ? ? 1 0 ? ? ? x x . (2) 因为AB ? I ,当A= ?时， 则a-12a+1，即a-2 当A ?时， 则 1 1 ? ? a 或 0 1 2 ? ? a ,解得： 2 1 ? ? a 或 2 ? a . 综上： 2 1 ? ? a 或 2 ? a . 19. （12 分） 解析：若
12、命题P 为真，则 1 a ? ， 若命题Q为真，则 20 a?或 2 20 4( 2) 14( 2) 0 a aa ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，即22 a ? ?. PQ ? 是真命题，且PQ ? 为假命题 6 P 真Q假或P 假Q真 1 22 a aa ? ? ? ? ? ? 或 1 22 a a ? ? ? ? ?，即 2 a ? 或21 a ? ? . 20 （12 分）解： （1）取 1 ? ? y x ，得 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( f f f ? ? ， 则 0 ) 1 ( ? f ， 取 2 ? ? y x ，得 ) 2 ( ) 2 ( ) 4 ( f f f
13、 ? ? ， 则 2 ) 4 ( ? f（2）由题意得， ) 4 ( ) 3 ( f x x f ? ? ，故 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 3 0 4 ) 3 ( x x x x解得， 4 ? x21 （12 分）解： （1） () 12 . b fx a x x ? ? ?由已知条件得 (1) 0, 1 0, (1) 2. 1 2 2. fa fa b ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ，解得 1, 3 . ab ?（2） () ( 0 , ) fx ? 的定义域为 ，由（1）知 2 () 3 l n. fxxx x ?设 2 () ()( 2 2 ) 2 3 l n, g
14、x fx x x x x ? ? ?则g / (x)=-1-2x+ x 3 =- x x x ) 3 2 )( 1 ( ? ?01 , ( ) 0 ;1 , ( ) 0 . () ( 0 , 1 ) , ( 1 , ) . xg xxg x gx ? ? ? ? ? ? 当 时当 时 所以 在 单调增加 在 单调减少而 (1) 0, 0 , ( ) 0, ( ) 2 2. gxg xf x x ? ? 故当 时 即22 （ 12 分） 解析： （1） ? ? 2 1 37, 11 1 gx x x g x ? ? 所以直线 5 yk x ? ? 的 11 k ? ， 当 1 x ? 时， 6
15、y ? ，将（1，6）代入 32 7 () l n 2 gx x x xb ? ? ，得 3 2 b ? （2） ? 2 0 35 fxxxa ? ，由题意知 2 00 32 0000 35 0 5 2 xxa x xa xbx ? ? ? ? ? ? ? ? 消去a， 得 32 000 5 20 2 xxxb ? ? 有唯一解 7 令 32 5 () 2 2 hx x x x ? ，则 2 ( ) 6 5 1 ( 2 1)(3 1) hx x x x x ? ? ? ， 所以 () hx在区间（-，- 2 1 ） ，区间（- 3 1 ，+）上是增函数，在 11 (,) 23 ? ? 上是减函
16、数， 又 1117 () ,() 2835 4 hh ? ? ? ?，故实数b的取值范围是 71 (,)(,) 54 8 ? ? ? ? （3） 2 2 21 () l n, () x ax Fx axx x Fx x ? ? ? ? ? Q 因为 () Fx存在极值，所以 2 21 ( ) 0 xa x Fx x ? ? 在 ) , 0 ( ? ? 上有根即方程 0 1 2 2 ? ? ?ax x 在 ) , 0 ( ? 上有根 记方程 0 1 2 2 ? ? ?ax x 的两根为 2 1 ,x x 由韦达定理 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 0 2 1 1 2 2 1 a x x x x ，所以方程的根必为两 不等正根 22 12121212 () () ( )( )( l n l n) FxFxa xxxx xx ? 2 1 ln 1 4 2 2 2 ? ? ? ? a a ? 1 5l n 2 ? 所以 16 2 ? a 满足方程 0 1 2 2 ? ? ?ax x 判别式大于零 故所求取值范围为 ) , 4 ( ?
