1、 1 2016-2017 学年上期期末联考高二理科数学试题 本试 卷 分第 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分，满分 150 分， 考试 时间 120 分钟 . 第 I 卷 (共 60 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.以下四个命题中，其中正确的个数为（ ） 命题“若 2 3 2 0,xx? ? ? 则 1x? ”的逆命题为“若 1x?, 则 2 3 2 0xx? ? ? ”； “ =4? ”是“ cos2 0? ”的充分不必要条件； 若命题 P： 20 0 0, 1 0,x R
2、 x x? ? ? ? ?则 2, 1 0P x R x x? ? ? ? ? ?： ； 若为 pq? 假 ,为 pq? 真 ,则 pq, 有且只有一个是真命题 . A 4 B 3 C 2D 1 2.已知向量 (1 , 5 , 2 ) , ( 3 ,1 , 2 ) , ( , 3 , 6 ) ,A B B C D E x? ? ? ? ?若 DE 平面 ABC ,则 x 的值是 ( ) A.5 B.3 C.2 D.-1 3.在 ABC? 中 , 2 2, ,6AB BC A ? ? ? ?则 ABC? 的面积等于 （ ） A 32 B 3 C 12D 1 4.抛物线 214yx? 的焦点坐标为
3、（ ） A 1( ,0)16? B 1( ,0)16 C (0, 1)? D (0,1) 5.已知 数列 na 满足 *3 3 1lo g 1 lo g ( )nna a n N? ? ?， 且 2 4 6+ + =9aaa， 则1 5 7 93log ( + + )a a a的值是（ ） A. 15? B. 5? C.15 D.5 6.若对于任意的 0,x? 不等式2 31x axx? 恒成立 ,则实数 a 的取值范围为 ( ) A 15a? B 15a? C 15a? D 15a? 7.在 ABC? 中 ,角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc若 ,ABC 成等差数列 ,2 ,2,2abc
4、 成等比数列 ， 则 sin cos sinA B C ?（ ） A 14 B 34C 38D 38 2 8.焦点为 (0,10),F 渐近线方程为 4 3 =0xy? 的双曲线的方程是（ ） A 22=164 36xy? B 22=164 36yx? C 22=19 16xy? D 2 2 =19 16y x? 9.若不等式 22( -3 -4 ) -( -4 ) -1 0a a x a x ?的解集为 ,R 则实数 a 的取值范围为（ ） A (0,4) B (0,4C 0,4) D 0,4 10.已知椭圆的中心为原点 ,离心率 32e? ,且它的一个焦点与抛物线 2 43xy? 的焦点重
5、合，则此椭圆方程为 （ ） A 22 116 4yx ? B 22 =14 16yx ?C 2 2=14x y? D 22 =14yx ? 11.已知椭圆 ? ?2 2 11x ymm ? ? ?和双曲线 ? ?2 2 10x ynn ? ? ?有相同的 焦点 12,FF P 是它们的一个交点，则 12FPF? 的形状是 （ ） A.随 ,mn的变化而变化 B.锐 角三角形 C.钝角三角形 D.直 角三角形 12.在实数集 R 上定义一种运算“ *”，对任意 , , *a b R a b? 为唯一确定的实数 ,且 具有性质 (1)对任意 , *0= ;a R a a? (2)对任意 , , *
6、 = ( * 0 ) ( * 0 )a b R a b a b a b? ? ?. 则函数1( ) ( )*x xf x e e? 的最小值为 ( ) A 8 B 6 C 3D 2 第 卷 (共 90 分 ) 二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分 .把答案填在题中横线上 ) 13.设抛物线 2 4yx? 上一点 P 到直线 20x? 的距离是 6, 则点 P 到抛物线焦点 F 的距离为_ _ 14.正数 ,ab满足 11+ =1ab ，则 14+11ab?的最小值为 . 15.两个正数 ,ab的等差中项是 5,2 一个等比中项是 6, 且 ab? 则双曲线 22=
7、1xyab? 的离心率 e 等于 16.已知实数 ,xy满足 1,xy? 则 y53x? 的取值范围是 . 三、解答题 (本大题共 6 小题 ,满分 70 分 .解答应写出文字说明 ,证明过程或演算 步骤 ) 3 17.(本小题满分 10 分 ) 已知命题 p： 方程 113 22 ? ayax 表示双曲线 ,命题 q： 点 (2, )a 在圆22( 1) 8xy? ? ? 的内部 .若 pq? 为假命题 , q? 也为假命题 ,求实数 a 的取值范围 18.(本小题满分 12 分 )在等差 数列 ?na 中 2 7 3 8+ 2 3, + 2 9a a a a? ? ? ?. ( )求数 列
8、 ?na 的 通项公式 ； ( )设数列 ? ?+nnab是首项为 1,公比为 c 的等比数列 ,求 ?nb 的前 n 项和 nS . 19.(本小题满分 12 分 )已知椭圆 C 的焦点分别为 )0,22(1 ?F 和 2(2 2,0),F 长轴长为 6, 设直线2?xy 交椭圆 C 于 A 、 B 两点，求线段 AB 的中点坐标 20.(本小题满分 12 分 )如图， 四棱锥 ABCDP? 的底面是正方形， ABCDPD 底面? ， DCPD? ，点 E 是 PC 的中点，作 PBEF? 交 PB 于点 F . ( )求证： PA 平面 EDB ； ( )求二面角 DPBC ? 的大小 .
9、 21.(本小题满分 12 分 )在 ABC? 中 ,角 ,ABC 所对的边分别为 , , ,abc 且2c o s 2 c o s 2 2 s in s in 2 .A B A B c o c C? ? ? ( )求角 C 的值； ( )若 ABC? 为锐角三角形，且 3c? ，求 ab? 的取值范围 F B E P D C A 4 22.(本小题满分 12 分 )已知抛物线 2yx? 与直线 ( 1)l y k x?： 相交于 ,AB两点 . ( )求证： OA OB? ； ( )当 OAB? 的面积等于 10 时 ,求 k 的值 . 5 2016-2017 学年上期期末联考 高二理科数学
10、参考答案 一、选择题 1-5 CAADB 6-10 ACBBD 11-12 DC 二、填空题 13. 5； 14. 4； 15. 133 ； 16. ( , 1) (1, )? ? ? ?. 三、解答题 17.解： 因为方程 113 22 ? ayax 表示双曲线 ,所以 (3 )( 1) 0aa? ? ?,所以 13p a a? ? ?： 或 ? 3 分 因为点 (2, )a 在圆 22( 1) 8xy? ? ? 的内部 ,所以 24 ( 1) 8a? ? ? ,解得 , 1 3,a? ? ? 所以 q： 13a? ? ? ? 6 分 由 pq? 为假命题 , q? 也为假命题知 p 假、
11、q 真 故 a 的取值 范围为 (1,1? ? 10 分 18.解 ： ( )设 等差 数列 ?na 的公差为 d 依题意 3 8 2 7+ ( + ) 2 6 ,a a a a d? ? ? ?从而 3d? . 所以 2 7 1+ 2 7 23,a a a d? ? ? ?解得 1 1a? . ? 4 分 所以数列 ?na 的 通项公式为 23nan? . ? 6 分 ( )由数列 ? ?+nnab是首项为 1,公比为 c 的等比数列 ,得 1+ nnna b c ? , 即 12 3 ,nnn b c ? ? ? 所以 132 nnb n c ? ? ? . ? 8 分 所以 211 4
12、7 ( 3 2 ) (1 )nnS n c c c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21( 3 1 )= (1 ) .2 nnn c c c ? ? ? ? ? ? ? 10 分 从而当 1c? 时 , 2(3 1) 322n n n n nSn? ? ?； 当 1c? 时 , (3 1) 121 nn n n cS c?. ? 12 分 19.解 ： 设椭圆 C 的方程为 12222 ?byax ( 0)ab? ? 2 分 由题意 3?a ， 22?c ，于是 221b a c? ? ? 椭圆 C 的方程为 19 22 ?yx ? 6 分 6 C GD B zxyP A E F
13、由? ? ? 19222 yxxy 得 0273610 2 ? xx 因为该二次方程的判别 式 0? ，所以直线与椭圆有两个不同交点 ? 9 分 设 ),(),( 2211 yxByxA 则12 185xx? ? ，故线段 AB 的中点坐标为 )51,59(? 12 分 20.( )证明：如图建立空间直角坐标系 ,D xyz? 设 1?DC . 则 (1,0,0),A (0,0,1),P 11(0, , ),22E 11( , ,0),22G (1,0, 1)PA? ? ? , 11( ,0, ),22EG ? EGPA 2? ， 即 EGPA/ ，而 EG EDB? 平 面 且 PA EDB
14、? 平 面 ， 故 /PA EDB平 面 . ? 4 分 ( )解：依题意得， (1,1,0),B (1,1, 1)PB?, 又 11(0, , )22DE ? ， 110 0 ,22P B D E? ? ? ? ? ,PB DE? 又 ,PB EF? EF DE E? ? PB EFD? 平 面 . ? 8 分 ? DFPB? ，故 EFD? 是二面角 DPBC ? 的平面角 .设 )( zyxF ， ，则 ( , ,z 1)PF x y?. PBkPF? ， ? ( , 1) (1 1 1)x y z k? ? ?, ， ，即 ,1x k y k z k? ? ? ?, . ? (1 1
15、1 ) , , 1 1 1 1 (1 ) 3 1 0P B D F k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， （ ）,? 31?k ,? 10 分 点 )323131( ，F .又点 )21210( ，E ， ? 1 1 1( ),3 6 6FE ? ? ?， ， 1 1 2()3 3 3FD ? ? ? ?， ，. 故1 1 1 1 1 2( ) ( )13 6 6 3 3 3c o s26663F E F DEFDF E F D? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ?3EFD ?， 即二面角 DPBC ? 的大小为 3? . ? 12 分
16、21. 解： ( ) 2c o s 2 c o s 2 2 s i n s i n 2 ,A B A B c o c C? ? ?Q 2 2 21 2 s i n 1 2 s i n 2 s i n s i n 2 (1 s i n ) ,A B A B C? ? ? ? ? ? ? 即 2 2 2s in s in s in s in s inC A B A B? ? ? ? 3 分 7 由正弦定理得 ： 2 2 2=,c a b ab? 2 2 2 1c o s ,22a b cC ab? ? ?且角 C 角为三角形的内角 ,即 3C ? . ? 6 分 ( )由 ( )知 2233A B
17、 B A? ? ? ?， ? 7 分 由 sin sin sina b cA B C?得 , 2 sin , 2 sin ,a A b B? 22 s i n 2 s i n 2 s i n 2 s i n ( ) s i n 3 c o s 2 s i n ( ) ,33a b A B A A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 ABC? 为锐角三角形 ,0 2B ?， 又 2 ,3BA? ( , ) ( , ),6 2 3 6 6AA? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin( ) ( 1,1),3A ? ? ? ?即 ab? 的取值范围为 (1,1)? .
18、 ? 12 分 22.( )证明：联立 2( 1)yxy k x? ? ?消去 ,x 得 2 0.ky y k? ? 2 分 设 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y则1 2 1 21+ , 1 .y y y yk? ? ? ? 4 分 因为 221 1 2 2= , ,y x y x? ? ?所以 21 2 1 2( ) .y y x x? 所以 121,xx? 所以 1 2 1 2+ 0.x x y y ? 即 0OAOB? 故 .OA OB? ? 6分 ( )解： 设直线 l 与 x 轴的交点为 ,N 则 N 的坐标为 (1,0)? ? 7 分 所以 21 2 1 2 1 2 21 1 1 1( ) 4 1 4 1 02 2 2ABCS
